12.2.5 斜边直角边 课件(共18张PPT)2025-2026学年数学华东师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.2.5 斜边直角边 课件(共18张PPT)2025-2026学年数学华东师大版八年级上册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-06 06:57:16 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
1.经历斜边、直角边判定直角三角形全等（“HL”定理）的探究过程，体会“HL”的合理性.
2.理解并应用“HL”定理证明两个直角三角形全等.
3.能正确应用所学的全等三角形判定定理解决问题．
学习目标
我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别对应相等，那么不能保证这两个三角形全等.
在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
下面，让我们来一起研究一下这个问题.
新课引入
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
△ABC即为所求.
4.连结BC.
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
2 cm
3 cm
M
A
B
C
新知学习
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
由以上操作，可以发现它们完全重合，所画的直角三角形都全等.
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写为“斜边直角边”或“HL”).
”斜边直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
已知 AB=A′B′ , BC=B′C′
例1 如图，已知AC﹦BD，∠C = ∠D = 90°，求证：BC﹦AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (HL)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
A
B
D
C
直角三角形可以用符号“Rt△”来表示
1.如图，要用“HL” 判断Rt△ABC和 Rt△DEF全等的条件是( )
A.AC=DF，BC=EF
B.∠A=∠D，AB=DE
C.AC=DF，AB=DE
D.∠B=∠E，BC=EF
C
随堂练习
2.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.给出下列结论∶①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM；④CD=DN. 其中正确的是 (填序号).
①②③
证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°.
在 Rt△ABE和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AE=DF，(已知)
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABE=∠DCF.
3.如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC.求证∶AC=DB.
在 △ABC和DCB中，
∵BC=CB(公共边)，
∠ABE=∠DCF(已证)，
AB=DC(已知)，∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=DB.
4. 如图，点A是公交站，点B是公园，点C是体育场，点D是图书馆，小明和小丁分别从家E，F出发，小明和小丁的步行速度相同，经过一段时间，同时到达C，D两处，后来小明用了5分钟到了
公交站，小丁用了5分钟到了公园，已知C，D
分别位于A，B的正北和正南处，运动过程中，
速度为平均速度，那么小明家到公交站的距离
与小丁家到公园的距离相等吗？
分析：小明和小丁分别从家E，F出发，经过一段时间，同时到达C，D两处→CE＝DF，小明用了5分钟到了公交站，小丁用了5分钟到了公园→CA＝DB.
解：距离相等，
理由：由题意得，∠A＝∠B＝90°，
∵小明和小丁分别从家E，F出发，经过一段时间，同
时到达C，D两处，
∴CE＝DF，
∵小明用了5分钟到了公交站，小丁用了5分钟到了公园，
∴CA＝DB，
在Rt△AEC与Rt△BFD中，∵CE=DF，AC=BD，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)，
∴AE＝BF，
∴小明家到公交站的距离与小丁家到公园的距离相等．
5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，且∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC的中点，连结AE，AF，证明：AE＝AF.
证明：如解图，连结AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵AB=AD，AC=AC，(已知)
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC＝DC，(全等三角形对应边相等)
∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴BE＝ BC，DF＝ DC，
∴BE＝DF，(等量代换)
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF.(全等三角形对应边相等)
使用方法
内容
斜边直角边
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
在直角三角形中
前提条件
课堂小结
1.经历斜边、直角边判定直角三角形全等（“HL”定理）的探究过程，体会“HL”的合理性.
2.理解并应用“HL”定理证明两个直角三角形全等.
3.能正确应用所学的全等三角形判定定理解决问题．
学习目标
我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别对应相等，那么不能保证这两个三角形全等.
在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
下面，让我们来一起研究一下这个问题.
新课引入
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
△ABC即为所求.
4.连结BC.
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
2 cm
3 cm
M
A
B
C
新知学习
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
由以上操作，可以发现它们完全重合，所画的直角三角形都全等.
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写为“斜边直角边”或“HL”).
”斜边直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
已知 AB=A′B′ , BC=B′C′
例1 如图，已知AC﹦BD，∠C = ∠D = 90°，求证：BC﹦AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (HL)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
A
B
D
C
直角三角形可以用符号“Rt△”来表示
1.如图，要用“HL” 判断Rt△ABC和 Rt△DEF全等的条件是( )
A.AC=DF，BC=EF
B.∠A=∠D，AB=DE
C.AC=DF，AB=DE
D.∠B=∠E，BC=EF
C
随堂练习
2.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.给出下列结论∶①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM；④CD=DN. 其中正确的是 (填序号).
①②③
证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°.
在 Rt△ABE和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AE=DF，(已知)
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABE=∠DCF.
3.如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC.求证∶AC=DB.
在 △ABC和DCB中，
∵BC=CB(公共边)，
∠ABE=∠DCF(已证)，
AB=DC(已知)，∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=DB.
4. 如图，点A是公交站，点B是公园，点C是体育场，点D是图书馆，小明和小丁分别从家E，F出发，小明和小丁的步行速度相同，经过一段时间，同时到达C，D两处，后来小明用了5分钟到了
公交站，小丁用了5分钟到了公园，已知C，D
分别位于A，B的正北和正南处，运动过程中，
速度为平均速度，那么小明家到公交站的距离
与小丁家到公园的距离相等吗？
分析：小明和小丁分别从家E，F出发，经过一段时间，同时到达C，D两处→CE＝DF，小明用了5分钟到了公交站，小丁用了5分钟到了公园→CA＝DB.
解：距离相等，
理由：由题意得，∠A＝∠B＝90°，
∵小明和小丁分别从家E，F出发，经过一段时间，同
时到达C，D两处，
∴CE＝DF，
∵小明用了5分钟到了公交站，小丁用了5分钟到了公园，
∴CA＝DB，
在Rt△AEC与Rt△BFD中，∵CE=DF，AC=BD，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)，
∴AE＝BF，
∴小明家到公交站的距离与小丁家到公园的距离相等．
5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，且∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC的中点，连结AE，AF，证明：AE＝AF.
证明：如解图，连结AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵AB=AD，AC=AC，(已知)
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC＝DC，(全等三角形对应边相等)
∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴BE＝ BC，DF＝ DC，
∴BE＝DF，(等量代换)
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF.(全等三角形对应边相等)
使用方法
内容
斜边直角边
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
在直角三角形中
前提条件
课堂小结