13.1 勾股定理及其逆定理 课件(4个课时,共69张PPT)2025-2026学年数学华东师大版八年级上册

(共69张PPT)
13.1 勾股定理及其逆定理
13.1.1.1 勾股定理
1.掌握勾股定理，理解定理的一般探究方法．
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．
学习目标
如图，从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？
标上字母再看看！
6
8
C
B
A
8m < AB < 14m
新课引入
请同学们画一个边长分别为 8cm 和 6cm 的直角三角形，验证一下斜边的情况！
8cm
6cm
通过研究对比发现，我们每个人画的直角边为6cm和8cm的直角三角形的斜边的长度都近似为10cm
10cm
再试试画直角边为3cm和4cm以及8cm和15cm的直角三角形，看看大家画的斜边的近似值是否一致？
通过画图对比发现，我们每个人画的直角边为3cm和4cm的直角三角形的斜边的长度都近似为5cm，直角边为8cm和15cm的直角三角形的斜边的长度都近似为17cm.
所以说在直角三角形中，三边之间肯定存在着某种特定的数量关系，任意两条边确定了，另外一边也就随之确定
事实上，几千年前，数学家们就发现直角三角形的三边的长度存在一种特殊的关系，让我们一起来探究吧！
（1）正方形P的面积是 平方米；
（2）正方形Q的面积是 平方米；
（3）正方形R的面积是 平方米.
1
2
1
观察正方形瓷砖铺成的地面.
（图中每个小正方形的边长均为1米）
R
Q
P
A
C
B
新知学习
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
问题2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
问题1 上面三个正方形的面积之间有什么关系？
这说明，在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
试一试
(每一小方格表示1平方厘米)
P的面积(平方厘米) Q的面积(平方厘米) R的面积(平方厘米)
图1
图2
P、Q、R的面积关系 Rt△ABC的三边关系
9
16
25
9
4
13
SP+SQ=SR
两直角边的平方和等于斜边的平方
BC2+AC2=AB2
观察左图，填写下列表格：
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
图1
图2
做一做
画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证“两直角边的平方和等于斜边的平方”对这个直角三角形是否成立.
你会做吗？
13
5
12
A
B
C
经过测量，关系成立
归纳总结
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2.
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就. 如图是 2002 年在北京召开的国际数学家大会( ICM-2002)的会标，其图案正是由“弦图”演变而来.
读一读
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法.
a
b
c
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
赵爽弦图
证明：
c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
即c2=4× ab+(b-a)2
拓展
赵爽弦图证明勾股定理
注：赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形
做一做
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 .
(a+b)2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab，
∴ a2+b2=c2.
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
∵ (a+b)2 =
方法总结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
例 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2+BC2=AC2
所以
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.
随堂练习
1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°.
(1)已知a=6，c=10，求b；
解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 .
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 .
(2)已知a=24，c=25，求b.
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到0.1厘米)
解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是 =5(厘米)，周长是3+4+5=12(厘米)；
②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为 (厘米)，周长是 (厘米)，所以此三角形的周长是12厘米或9.6厘米.
3.如图，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积.
解：24÷4=6,
设AC=x,
依题意有(x+3) +3 =(6-x) ,
解得x=1,
4× ×(3+1)×3=4× ×4×3=24.
故该飞镖状图案的面积是24.
4.已知两个全等的Rt△ABE和Rt△FCD，a，b为直角边长(a＞b)，c为斜边长．将两个三角形按如图所示的位置(此时B，F重合)摆放，能够得到结论a2＋b2＝c2.下面是证明该结论的部分过程，请补充完整；
证明：如图，连接AD，DE，
则S四边形ABCD＝S△ABE+S△ADE＋S△DCE，
…
M
解：补充证明过程：
∵Rt△ABE≌Rt△FCD，∴∠DFC=∠EAB
∴∠DFC+∠AEB=∠EAB+∠AEB=90°
∴∠BME=180°-（∠DFC+∠AEB）=90°
∴由S四边形ABCD＝S△ABE+S△ADE＋S△DCE得
（AB+CD）·CF=AE·BM+AE·DM+CD·CE，
（AB+CD）·CF=AE（BM+DM）+CD·CE，
化简得，a2＋ab＝c2＋ab－b2，
∴a2＋b2＝c2.
M
勾股定理
勾股定理
课堂小结
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
字母表示：a2+b2=c2
验证
面积法
13.1.1.2 勾股定理的简单应用
1.掌握勾股定理简单应用．
学习目标
新课引入
勾股定理是数形结合的重要纽带之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一.
本节课让我们用勾股定理解决一些简单应用的问题吧！
问题1：如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm.求AC的长.
解：由已知AB=AC-2，BC=6cm，根据勾股定理，可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
A
B
C
解得AC=10(cm).
新知学习
问题2：如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米．问从点A穿过湖到点B有多远
解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝160米，　BC＝128米，
根据勾股定理，可得
＝96（米）．
答：从点A穿过湖到点B有96米．
1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5cm，BC＝6 cm，则AD＝____ cm.
4
随堂练习
2.如图，一根旗杆在离地面9m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高
12 m
9 m
解：由题可知旗杆顶部到折断处的距离为AC 的长度，
根据勾股定理，得
即 解得AC=15，
旗杆原来的高度为AB+AC=9+15=24 m.
答：旗杆原来高24 m.
A
B
C
3. 如图，飞机在空中水平飞行，某时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4000m处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5000m，则飞机每小时飞行多少千米？
4000m
5000m
解：设点 A 为男孩头顶，点 C 为正上方时飞机的位置，点 B 为 20 s 后飞机的位置，如图，则 AB2 = BC2 + AC2，
即 BC2 = AB2 - AC2 = 9000000，
所以 BC = 3000 m，
所以飞机的速度为 3000 ÷ 20 = 150 (m/s) = 540 (km/h)，
答：飞机每小时飞行 540 千米.
4000m
5000m
4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游.按照探宝图(如图)，他们在点A处登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
C
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C，
则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，
所以AB= =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10千米.
勾股定理的
简单应用
利用勾股定理进行简单计算
课堂小结
13.1.2 直角三角形的判定
1.了解直角三角形的判定条件．
2.能够运用勾股数解决简单实际问题．
学习目标
同学们，用一把刻度尺你能画出直角吗？古埃及人做到了.你们知道他们用的什么方法吗？
新课引入
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
你知道这是什么道理吗
问题1
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1)a=3，b=4，c=5;
(2)a=4，b=6，c=8;
(3)a=6，b=8，c=10.
新知学习
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形是钝角三角形，最长边所对的角是钝角.
a2+b2=c22
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
你能给出勾股定理逆定理的证明吗？
B′
C′
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a +b =c .
求证：∠C=90°.
A
B
C
A′
证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′ =a +b =c ，
即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
例1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　)
A.∠A为直角
B.∠B为直角
C.∠C为直角
D.△ABC不是直角三角形
A
例2 如果线段a，b，c能组成直角三角形，则它们的比可以是( )
A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
B
已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
问题2
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例如3，4，5；6，8，10； n -1，2n，n +1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
勾股数
(1)勾股数必须是正整数，不能是分数或小数；
(2)一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数．
温馨提示
例3 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
1.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
2.以△ABC的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是25，144 ，169，则这个三角形是______三角形.
直角
随堂练习
3.请完成以下未完成的勾股数：
(1)8，15，_____；
(2)15，12，____；
(3)10，26，_____；
(4)7，24，_____.
17　
9　
24　
25　
4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.
4
1
2
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴△BEF是直角三角形.
5. 如图，在△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，已知AD∶DB＝4∶3，若DC＝5，AC＝21，BC＝13.求证：∠ADB＝90°.
证明：∵AC＝21，DC＝5，
∴AD＝AC－DC＝16，
∵AD∶DB＝4∶3，
∵BD2＋CD2＝122＋52＝169＝132，BC2＝132，
∴BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，即∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝90°.
∴DB＝ ×16＝12，
直角三角形
的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
课堂小结
13.1.3 反证法
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.
2.理解并体会反证法的思想内涵.
学习目标
新课引入
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
新知学习
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2=c2 时，这个三角形一定是直角三角形.那么，如果此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
做一做
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a = 1.0，b = 2. 4，c = 2.6；
(2)a = 2，b = 3，c = 4；
(3)a = 2，b = 2. 5，c = 3.
我们可以发现，第一组恰好满足a2 +b2= c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
思考
由此，可以得到什么样的猜想呢？
当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
怎样证明这个猜想是正确的呢？
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理，得出结论，十分困难.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论.
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形.
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
像这样的证明方法叫“反证法”.
回想一下，在以前的学习中用过类似的方法吗？
归纳总结
我们在七年级上学期证明“两直线平行，同位角相等”这一结论时，
其实使用的就是反证法.
反证法的一般步骤：
反设 假设结论的反面是正确的
通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
定论 说明假设不成立，进而得出原结论正确
归谬
王戎是怎么知道李子是苦的呢？请用反证法写出他的推理过程.
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李子为苦李.
问题解决
证明：
反设
归谬
定论
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“ 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2 ”是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
假设结论成立：a2+b2=c2
思考
解：
假设a2+b2=c2；
根据勾股定理逆定理，一定有∠c=90°，与已知条件∠c≠90°矛盾；
因此假设不成立，即a2+b2≠c2.所以是真命题
反设
归谬
定论
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“ 在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2 ”是真命题吗？
例1 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例2 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
归纳总结
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A.三角形中有两个内角是直角
B.三角形中有三个内角是直角
C.三角形中至少有两个内角是直角
D.三角形中没有一个内角是直角
C
随堂练习
2.试说出下列命题的反面：
（1）a是实数; 　　 （2）a大于2;
（3）a小于2; 　　 （4）至少有两个;
（5）最多有一个; 　 （6）两条直线平行.
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
没有两个
一个也没有
两条直线相交
3. 求证：如果a，b，c为三个连续的偶数，那么a＋b＋c≠176.
证明：假设a＋b＋c＝176，
∵a，b，c为三个连续的偶数，
∴设a＝x，则b＝x＋2，c＝x＋4，
故x＋x＋2＋x＋4＝176，
解得x＝ ，
这与x为偶数互相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确，即若a，b，c为三个连续的偶数，则a＋b＋c≠176.
4.已知：a是整数，2能整除a2.
求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”，
因为a是整数，所以a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故2能整除a.
定论
反设
反证法的
一般步骤
归谬
假设结论的反面是正确的
说明假设不成立，进而得出原结论正确
通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
课堂小结