13.2 勾股定理的应用 课件(2个课时,共36张PPT)2025-2026学年数学华东师大版八年级上册

(共36张PPT)
13.2 勾股定理的应用
13.2.1 勾股定理的实际应用
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.
学习目标
情境学新知
蚂蚁通过计算自己行走的步数以及每步的角度来估计距离和方向.这种方法类似于路径积分，虽然我们不完全清楚蚂蚁是如何精确计算步长和步数的，但研究显示它们能够通过这种计算来确定自己的位置.
本节课，我们一起来验证蚂蚁是否能通过最短距离找到食物并顺利搬运回家！
如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
A
B
C
D
任务一：蚂蚁在圆柱体上找食物
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
C
B
D
A
B
C
D
解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.
由勾股定理，可得
答:爬行的最短路程约为10.77cm.
A
C
B
D
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm)
任务二：蚂蚁在正方体上找食物
A
B
分析：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.
A
B
10
10
10
B
C
A
解：最短路程即为长方形的对角线AB,
答：爬行的最短路程约是22.36cm.
10
10
10
B
C
A
变式 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
(1)经过前面和上底面;
蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
解：(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
∴最短路程约为4.24cm.
∵4.24＜4.47＜5.10，
一只蚂蚁高0.9mm，背着一块边长为1.6mm的正方形饼干(饼干比蚂蚁宽），要将食物搬进形状如图所示的巢穴通道，下面是长方形ABCD，上面是半圆形，问这只蚂蚁能否通过该巢穴通道 并说明理由.
A
D
C
B
2mm
2.3mm
任务三：蚂蚁将食物搬回巢穴
长方形
半圆
解：在Rt△OPE中，由勾股定理得，
EP2＝OE2－OP2＝12－0.82＝0.36，
∴EP＝0.6mm，∴EF＝EP＋PF＝0.6＋2.3＝2.9(mm)，
∵2.9＞2.5，(关键点：蚂蚁和饼干的高度低于EF才能通过)
∴蚂蚁能通过巢穴通道．
A
D
C
B
2mm
2.3mm
长方形
半圆
O
E
P
F
分析：由于饼干宽1.6mm，所以蚂蚁背着食物能否通过，只要比较距巢穴通道中线0.8mm处的高度与蚂蚁和食物的高度和即可,蚂蚁和食物的高度和为0.9+1.6=2.5mm.如图所示，点P在离巢穴通道中线0.8mm处，且EP⊥AD，与地面相交于点F.
随堂练习
1.小明和同学在放风筝时，风筝挂在了树上，如图，风筝线垂直落在地面，结果发现风筝线多出2米；接着小明又把风筝线向外拉了6米(BC＝6米)，这时风筝线紧绷且末端刚好接触地面，则风筝距离地面的高度AB为多少？
解：设AB＝x米，则AC＝(x＋2)米，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝6，
∴在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即x2＋62＝(x＋2)2，解得x＝8.
答：
2.　如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部的A处，想吃到盒内对侧B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？
分析：将圆柱体的侧面展开，圆柱体侧面上两点间的最短路线长就转化为平面上两点之间的距离．作出最短距离，从而结合“勾股定理”求得最短路程．
解：如图，将圆柱体侧面展开为矩形，
则蚂蚁的爬行路线为AP＋BP，
作点A关于DE的对称点M，连结BM交DE于点P，
连结AP.
∴AP＋BP＝MP＋BP＝BM，
此时蚂蚁爬行的路程最短．
由对称的性质可知：ME＝AE＝6 cm，AB＝ AC＝9 cm，
BM2 =AB2 + AM2 =92 +122=225，
∴BM=15cm.
∴蚂蚁爬行的最短路程为15cm．
最短路程问题
利用勾股定理解决实际问题
勾股定理
的应用
课堂小结
13.2.2 勾股定理及其逆定理
的综合应用
能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
学习目标
新课引入
前面学习了勾股定理及其逆定理，两者是解决与直角三角形相关几何问题的基础工具.
本节课我们探究勾股定理及其逆定理的综合应用吧！
如图 ，在 3 × 3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
(1) 画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为 的线段；
问题1
分析：只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.
A
C
B
E
D
解：(1)右图中，AB、AC、AE、AD的长度均为 ；
新知学习
(2) 画出所有以题(1) 中所画线段为腰的等腰三角形.
(2)右图中，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
A
C
B
E
D
A. B.
C. D.
例1 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(　　)
C
问题2
如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m. 求图中着色部分的面积.
解：在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）
=82+62=100，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD= × 10 × 24 - × 6 × 8= 96(m2).
方法总结
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形的步骤：
(1)“找”：找出三边的关系；
(2)“算”：计算两个较短边的平方和及最长边的平方；
(3)“判”：若两者相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角.
例2 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得
AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC=90°，求这块菜地的面积是多少？
解：连接AC，
∵ABC=90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC2=AB2+BC2＝92+122＝225，所以AC=15m.
又∵CD＝8m，AD＝17m，所以AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD=90°，
答：这块菜地的面积是114 m2
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= × 9 × 12 + × 8 × 15= 114(m2).
随堂练习
1.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，有A，B，C，D，E五个点．如果连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接______．(写出一个答案即可)
AD
2.为了美化环境，增加绿地面积，某市现计划在人造湖旁的一块空地上种植草皮，如图所示为该四边形空地，经测量AB＝30m,BC＝40m，CD＝120m，DA＝130m，∠ABC＝90°.若每平方米草皮需要30元，则在这块空地种植草皮需要投入多少元？
解：如解图，连接AC，
∵AB＝30 m，BC＝40 m，∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝50(m)．
∵502＋1202＝1302，即AC2 ＋CD2＝DA2，∴△ACD为直角三角形，
∴这块空地的面积为
×(30×40)＋ ×(50×120)＝600＋3 000＝3 600 m2，
∴种植草皮需要投入3 600×30＝108 000(元)．
答：这块空地种植草皮需要投入108 000元．
勾股定理及
其逆定理的
综合应用
勾股定理与网格
勾股定理
逆定理的
应用
课堂小结
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形的步骤：
(1)“找”：找出三边的关系；
(2)“算”：计算两个较短边的平方和及最长边的平方；
(3)“判”：若两者相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角.