12.3 等腰三角形 课件(2个课时,共46张PPT)2025-2026学年数学华东师大版八年级上册

(共46张PPT)
12.3 等腰三角形
12.3.1 等腰三角形的性质
1.经历等腰三角形性质的探究过程.
2.理解并掌握等腰三角形的性质.
3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
重点
难点
学习目标
1.什么是等腰三角形？
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
2.等腰三角形各部分的名称是什么？
新课引入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
任意给定的一个等腰三角形，具有哪些性质呢？让我们一起来学习吧！
探究1
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
新知学习
D
A
B
C
由以上操作，可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称三角形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.
归纳总结
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两底角相等.(简写成“等边对等角”)
几何语言： 如图，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴∠B= ∠C.
接下来让我们一起证明一下
已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
A
B
C
D
(
(
1
2
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD.
证明：作顶角∠BAC的平分线AD.
在△ABD与△ACD中，
∵AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（角平分线的定义），
AD＝AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)，
∴∠B＝∠C( 全等三角形的对应角相等 ).
1.已知：在△ABC中 ，AB=AC，∠B=80 °，求∠C和∠A的大小.
解：∵AB= AC，
∴∠C=∠B=80°（等边对等角）.
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A=180°-∠B-∠C（等式的性质）
=180°-80°-80°
=20°.
2.填空
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 __________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
75°，30°
72°，72°或36°，108°
30°，30°
归纳总结
在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④ 0°＜顶角＜180°
⑤ 0°＜底角＜90°
探究2
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD＝∠CAD
∠ADB ＝∠ADC=90°
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合
归纳总结
等腰三角形的性质2：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”)
几何语言： 如图 ，在△ ABC 中，
∵ AB=AC， AD ⊥ BC 于 D，
∴ AD 平分∠ BAC(或 BD=CD)；
A
B
D
C
例1 在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.
求：(1)∠ADC的大小；
A
D
C
1
2
∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”).
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义).
解： ∵AB = AC，BD=DC（已知），
B
(2)∠1的大小.
解：∵∠1 +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°），
∠B=30°（已知），
∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
思考
∵等边三角形是特殊的等腰三角形，
由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝∠C，
同理可得 ∠A＝∠B
∴∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
C
B
AB＝AC＝BC
归纳总结
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为
正三角形.
等边三角形有三条对称轴.
例2 如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是三边AB、AC、BC 上 的点，且 DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，请计算△DEF 各个内角的度数.
解：∵△ ABC 是等边三角形，（已知）
∴∠ A= ∠ B= ∠ C=60° .（等边三角形性质）
∵ DE ⊥ AC， EF ⊥ BC， DF ⊥ AB，（已知）
∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90° .（垂直定义）
∴∠ ADE=90°－∠ A=90°－60° =30° .
∴∠ EDF=180° －30°－90° =60°，
同理可得∠ DEF= ∠ EFD=60°，
∴△ DEF 各个内角的度数都是 60° .
1. 如图，在△ABC中，AB = AC，BD ⊥AC，CE ⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，（已知）
∴∠EBC＝∠DCB，（等腰三角形底角相等）
∵BD⊥AC，CE⊥AB，（已知）
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.（垂直定义）
在△BEC和△CDB中，
∵∠BEC＝∠CDB，
∠EBC＝∠DCB，
BC＝CB
∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），
∴BD＝CE .
1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
D
随堂练习
2.如图，直线 a∥b，等边三角形 ABC 的顶点 C 在直线 b 上，∠ 2=40° ，则∠ 1 的度数为( )
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
A
a
b
(
2
(
1
A
B
C
3.如图 ，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC.
(1)求∠ ADB 的度数；
解：(1)∵ AB=AC，(已知)
AD 平分∠ BAC，(已知)
∴ AD ⊥ BC. (等腰三角形 “三线合一”).
∴∠ ADB=90° .(两直线垂直的定义)
3.如图 ，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC.
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B、∠ C 的度数；
(2)在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∠ BAC=100°，（已知）
∴∠ B= ∠ C= ×( 180°－100°) =40° .
(等腰三角形 “三线合一”，两底角相等).
3.如图 ，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC.
(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长 ；
(3)∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，（已知）
∴ AD 是 BC 边上的中线 .(等腰三角形 “三线合一”).
∴ BD= BC= × 3=1.5(cm) .
4. 如图，AB =AC，∠B = 40°，点D在BC上，且 ∠DAC = 50°．求证：BD = CD.
A
B
C
D
证明：∵AB＝AC，∠B＝40°，∠C＝40°，（已知）
∴∠BAC＝100°.(等腰三角形 “三线合一”)
∵∠DAC＝50°，（已知）
∴∠BAD＝∠CAD＝50°.（三角形内角和等于180°）
∵AB＝AC，（已知）
∴BD＝CD（等腰三角形“三线合一”）.
等边三角形
等边对等角
等腰三角形
的性质
有三条对称轴，每个内角等于60°.
等腰三角形的两底角相等.
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合
三线合一
课堂小结
12.3.2 等腰三角形的判定
1.会做辅助线证明等腰三角形的判定定理.
2.会应用等腰三角形判定定理证明等边三角形判定定理.
3.能综合应用等腰三角形性质与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.
重点
难点
学习目标
重点
1.等腰三角形的性质1是什么？
新课引入
2.等腰三角形的性质2是什么？
等腰三角形的两底等.(简写成“等边对等角”)
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”)
如果任意给我们一个三角形，我们又该如何判定它是否为等腰三角形呢？
新知学习
探究1
我们知道判断一个三角形是否为等腰三角形可以按定义，看它是否有两条边相等，除此之外是否还有其他方法可以判断呢？
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画一画
我们如何可以确定一个三角形为等腰三角形呢？试着在草稿纸上画一画.
是否可以画一个有两个角相等的三角形，使其成为等腰三角形呢？
C
A
B
2
1
D
（
（
如：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．
在△ABD与△ACD中，
∵∠1=∠2，（角平分线的定义）
∴△ABD≌△ACD（A.A.S.）.
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).
画∠BAC的平分线交BC于点D.
证明：
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
做高或者做中线
归纳总结
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”）．
应用格式：
在△ABC中，∵∠B=∠C (已知)，
∴AC=AB (等角对等边).
即△ABC为等腰三角形.
等角对等边
等边对等角
B
C
A
(
(
例1 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.
求证：AB=AC.
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70°（已知），
∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质），
=180°-40°-70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换），
∴AB=AC（等角对等边）.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
A
C
B
探究2
接下来我们一起证明一下!
A
B
C
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,（已知）
∴ AC=BC.（等角对等边）
∵ ∠B=∠C,（已知）
∴ AB=AC.（等角对等边）
∴AB=AC=BC.
证明：
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.（已知）
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)= 60°.（等边对等角）
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.（等角对等边）
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，（已知）
∴∠A = ∠B = ∠C.（等边三角形三个角相等）
∵ DE∥BC，（已知）
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.（两直线平行，同位角相等）
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.（三个角相等的三角形为等边三角形）
变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC 是等边三角形，（已知）
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.（等边三角形三个角相等且均等于60°）
∵ AD = AE，（已知）
∴ ∠ADE = ∠AED，
∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED = 60°.（三角形内角和等于180°）
∴ △ADE 是等边三角形.（三个角相等的三角形为等边三角形）
∵ ∠A = 60°（已知）
归纳总结
证明一个三角形是等边三角形，要根据已知条件选择适当的方法．
(1)如果已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定．
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定．
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
1. 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△ABD
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
随堂练习
2.如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：AB=AC.
证明：∵ AB∥CD（已知）,
∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2（已知）,
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）.
1
2
A
B
C
D
(
(
3.已知：AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC.
求证：△ADE是等边三角形．
解：∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)．
∴∠B＝∠C＝30°(已知)，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角互余)．
∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
4.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，AB= A'B'，AC= A'C'，求证： Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A
C
B
B'
A'
C'
B
（A）
（C）
证明：由于直角边AC=A'C'，我们移动Rt△ABC ，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧.
∵∠ACB'= ∠A'C'B' =90°（已知），
∴∠B'C'B =∠ A'C'B' + ∠ A'C'B' = 180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上
在△A'B'B中，∵A'B'=AB=A'B(已知),
∴∠B= ∠B'(等边对等角).
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠B=∠B'(已证)，∠ACB= ∠ A'C'B' (已知)，AC = A'C'(已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A. A. S.).
A
C
B
B'
A'
C'
B
（A）
（C）
等边三角形
的判定
等腰三角形
的判定
等腰三角形
的判定
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等角对等边.
课堂小结