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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。4.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。5.经历勾股定理及其逆定理的探究过程，体会“观察—猜想—验证—证明”的几何研究方法，感悟“数形结合”“从特殊到一般”等数学思想，培养几何推理能力和数学建模能力。6.了解勾股定理的悠久历史和文化价值，尤其是我国古代数学家的贡献，增强民族自豪感和数学学习兴趣。7.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的8.通过实例体会反证法的含义
内容分析 本单元是在学生已经学习了三角形的概念、性质、全等三角形的判定与性质，以及平方根、无理数等知识的基础上进行的，是平面几何的核心内容之一，也是连接几何与代数的重要桥梁。从知识逻辑来看，勾股定理是直角三角形的核心性质，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形、圆的有关性质（如切线长定理、直径所对圆周角为直角等）、立体几何中空间距离计算等内容奠定坚实基础；勾股定理的逆定理则是判断直角三角形的重要依据，是对三角形分类的进一步完善，同时为后续学习四边形、三角函数等知识提供支撑。本单元的知识不仅在几何领域应用广泛，在物理、工程、航海等实际领域也有着重要作用。
学情分析 八年级学生已掌握直角三角形的定义、性质（如两锐角互余），能熟练计算三角形、正方形的面积，理解全等三角形的判定与性质，具备平方根、无理数的运算能力，能在方格图中分析图形的边长和面积关系。这些知识为勾股定理的探究、证明与应用提供了必要的支撑。同时学生已初步具备观察、猜想、动手操作和简单逻辑推理的能力，对几何图形的探究充满兴趣，尤其是动手拼图、实际问题解决等活动能有效激发其学习积极性。同时，学生已接触“从特殊到一般”“数形结合”等思想，为单元探究活动奠定了能力基础。
单元目标 （一）教学目标1.通过对直角三角形三边关系的观察、分析，抽象出勾股定理和逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示定理，抽象出勾股数的概念，识别并探索勾股数的规律。2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—证明勾股定理—探究逆命题—证明逆定理”的完整过程，掌握“归纳推理”和“演绎推理”的方法，能模仿经典方法证明勾股定理及其逆定理，培养严谨的逻辑思维能力。3.能将折叠、测量、航海、折叠等实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理及其逆定理解决问题，形成“实际问题—数学模型—求解验证”的建模思路，提升应用能力。4.通过方格图观察、动手拼图（如赵爽弦图、总统证法拼图）等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系和图形的割补转化，建立“形”与“数”的联系，提升几何直观能力。5.能运用勾股定理准确计算直角三角形的未知边长（含无理数运算），能利用逆定理判断三角形是否为直角三角形，提升平方运算、开方运算、无理数化简的准确性和技巧性。（二）教学重点、难点重点1. 勾股定理及其逆定理的探究与证明过程，理解定理的本质内涵。2. 勾股定理及其逆定理的核心应用：①已知直角三角形两边求第三边；②判断三角形是否为直角三角形；③解决与直角三角形相关的实际问题。3. 勾股数的识别与简单规律探索。4. 实际问题与直角三角形模型的转化方法。难点1. 勾股定理的证明思路构建，尤其是“面积法”的应用（通过图形割补建立面积关系，进而推导边长关系）。2.勾股定理及其逆定理的区别与联系，明确“定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于直角三角形的判定”，避免应用混淆。3.复杂实际问题的建模过程：准确识别实际情境中的直角三角形，明确已知量、未知量与直角边、斜边的对应关系。4.勾股定理综合应用：结合全等三角形、折叠、最值等问题的综合求解，培养综合推理能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理、反证法313.2 勾股定理的应用最短路径问题构造直角三角形解决问题勾股定理逆定理的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1勾股定理及其逆定理1.体验勾股定理的探索过程.2.会用勾股定理解决简单的问题.提出问题,经历观察、猜想、探究的过程,进而归纳出勾股定理,并用以解决简单的问题.任务一：探索勾股定理.任务二：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理.1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.通过动手操作观察,进而得出勾股定理逆定理的证明方法,体会从边的角度证明一个三角形是直角三角形.任务一：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.任务二：勾股定理逆定理的证明.1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的问题.经历对反证法的思维方法及证明过程的一系列探究,提高观察、分析、归纳及逻辑思维能力.任务一：用反证法证明几何命题.任务二：反证法中渗透“正难则反”的思想.13.2勾股定理的应用1.会用勾股定理解决生活中的数学问题.2.体会数形结合及转化的思想.经历用数形结合及转化的思想方法来构造直角三角形并解决问题,感受勾股定理的应用价值.任务一：构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.任务二：渗透数形结合及转化的思想.1.准确运用勾股定理及其逆定理。2.树立“数形结合”的思想.经历勾股定理及其逆定理的应用过程,掌握定理的应用方法,应用“数形结合”的思想来解决问题.任务一：勾股定理及其逆定理的综合运用.任务二：勾股定理的综合运用中渗透数形结合思想.
《勾股定理》 大单元教学设计
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第十三章 勾股定理
13.1.3 反证法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过对“道旁苦李”等案例的分析，抽象出反证法的基本步骤，理解反证法的逻辑本质是“通过否定结论导出矛盾，进而肯定结论”。
01
经历反证法证明命题的完整过程，能准确进行“反设”，能从反设和已知条件出发，严谨推导得出矛盾，培养演绎推理能力和逆向思维能力。
02
能将反证法的逻辑思路转化为具体的证明步骤，建立“否定结论—推导矛盾—肯定结论”的证明模型，能运用该模型解决简单的几何和代数证明问题。
03
02
新知导入
相传，王戎七岁的时候，曾经和小伙伴一起游玩，看到了路边的李树上结满了李子，压弯了枝条。小伙伴们都争相上前采摘，只有王戎一个人不为所动。有人问他，他回答说：“道路边的李树多果实却没有人采摘，果实一定是苦的。”摘下来品尝，果然如王戎所说，这就是”道旁苦李”的故事。
如果当时你在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断是对的吗
02
新知导入
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系 a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形.
如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢
03
新知探究
探究
反证法
【做一做】作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么
（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；
（2）a=2，b=3，c=4；
（3）a=2，b=2.5，c=3.
03
新知探究
探究
反证法
我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致。而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形.
由此，可以猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
03
新知探究
探究
反证法
然而，想从已知条件a2+b2≠c2(a ≤b≤c) 出发，直接经过推理得出结论，十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是直角三角形.
总结归纳
一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.
用反证法证明命题的步骤：
①先假设结论的反面是正确的；
②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确.
拓展提高
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的. 一个命题，当从正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.
反证法是一种间接的证明方法.
03
新知探究
【思考】现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=
90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢
即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗
03
新知探究
假设a2+b2=c2，∵∠C≠90°，∴△ABC不是直角三角形，
∴由勾股定理得a2+b2≠c2，这与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴在△ABC中，如果AB =c，BC=a，CA= b，且∠C ≠90°，
那么a2+b2≠c2是真命题。
使用反证法证明该命题为真命题，需先假设结论不成立，再根据已知条件推出矛盾，从而证明原命题成立。
03
新知探究
【例5】证明：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
03
新知探究
【例5】证明：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2 .这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
03
新知探究
【例6】证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即
∠A> 60°，∠B> 60°，∠C > 60°.
于是 ∠A +∠B+ ∠C > 60°+ 60°+ 60°= 180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
若用反证法来证明这个结论，可以假设( ).
A. ∠A=∠B
B. AB=BC
C. ∠B=∠C
D. ∠A=∠C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.用反证法证明结论为“aA. a>b
B. a≥b
C. a=b
D. a≤b
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) .
A. a、c不垂直
B. a、b都不与c垂直
C. a⊥b
D. a与b相交
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.(用反证法)
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2___180°.
求证：l1与l2_______.
证明：假设l1 ____l2，
则∠1+∠2_____180°( ).
这与_______相矛盾，故______不成立. 所以________________.
≠
不平行
∥
=
两直线平行，同旁内角互补
已知
假设
l1与l2不平行
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.小明在用反证法解答“已知△ABC中， AB=AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤:
①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B<90°；③假设∠B≥90° ;
④由AB =AC，得∠B=∠C，所以∠C ≥90°;
请写出这四个步骤正确的顺序：_______________.(填序号)
③④①②
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色.
小雅说：“红色球在我手上”；
小点说：“红色球不在我手上”；
小训说：“红色球肯定不在小雅手上”.
三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上.
小点
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 已知：如图，D是△ABC内一点.
求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明).
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，
则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，
∴∠ADB+∠BDC +∠ADC < 360°，
这与 ∠ADB +∠BDC +∠ADC =360°矛盾，
∴假设不成立，
∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.
2.用反证法证明命题的步骤：
①先假设结论的反面是正确的；
②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设( )
A. a ⊥ c
B. c不平行于b
C. a不平行于b
D. a不平行于c
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.用反证法证明命题“在一个三角形中，至多有一个内角是直
角”，正确的假设是( ).
A.在一个三角形中，至少有一个内角是直角
B.在一个三角形中，至少有两个内角是直角
C.在一个三角形中，没有一个内角是直角
D.在一个三角形中，至多有两个内角是直角
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不
等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形.
证明：假设该三角形是直角三角形，
则由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题目所给信息矛盾，所以假设不成立，所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中， AB >AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线. 用反证法证明点M与点D不重合.
证明：假设点M与点D重合.
延长AM到N，使AM =MN，连结BN.
∵AM是BC边上的中线，
∴BM=CM.
又∵∠AMC=∠NMB， AM=MN，∴△AMC≌△NMB.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中， AB >AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线. 用反证法证明点M与点D不重合.
∴∠MAC=∠MNB，BN=AC.
∵AM(AD)是∠BAC的平分线，
∴∠BAM=∠MAC，∴∠MNB=∠BAM，
∴BN=AB，∴AC =AB，这与AB>AC相矛盾.
∴点M与点D重合是错误的，∴点M与点D不重合.
Thanks!
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13.1.3 反证法 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十三章
课题 13.1.3 反证法 课时 1课时
课标要求 通过本节课的学习， 了解反证法的基本理念和思考过程，知道反证法是一种间接证明的方法，掌握反证法的基本步骤。能运用反证法证明一些简单的几何命题和代数命题，如“两直线平行，同位角相等”的逆否命题、“一个三角形中不能有两个直角”等。感受反证法在数学证明中的独特价值，提升对数学证明严谨性的认识，增强数学学习的逻辑素养。
教材分析 《反证法》是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第1节的第3课时内容，是在学生已经学习了直接证明方法（如综合法、分析法）、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识的基础上引入的一种间接证明方法。从知识逻辑来看，反证法是对数学证明方法的补充和完善。此前学生接触的证明多为直接证明，即从已知条件出发，依据公理、定理直接推导出结论；而反证法通过“否定结论—推导矛盾—肯定结论”的逆向思维过程实现证明，适用于直接证明难度较大或无法直接证明的命题。
学情分析 八年级学生已掌握基本的几何公理、定理（如三角形内角和定理、平行线的性质与判定）和代数运算规律，熟悉直接证明的逻辑过程，能运用综合法证明简单命题，这为理解反证法的“推导矛盾”环节提供了知识支撑；同时，学生在日常生活中已接触过“逆向思考”的场景（如排除法解题），为理解反证法的核心思想奠定了直观基础。
核心素养目标 1.通过对“道旁苦李”“三角形无两个直角”等案例的分析，抽象出反证法“反设—归谬—结论”的基本步骤，理解反证法的逻辑本质是“通过否定结论导出矛盾，进而肯定结论”。2.经历反证法证明命题的完整过程，能准确进行“反设”（否定命题结论），能从反设和已知条件出发，严谨推导得出矛盾（与已知条件、公理、定理或自身矛盾），培养演绎推理能力和逆向思维能力。3.能将反证法的逻辑思路转化为具体的证明步骤，建立“否定结论—推导矛盾—肯定结论”的证明模型，能运用该模型解决简单的几何和代数证明问题。
教学重点 1. 反证法的基本步骤：准确反设、严谨归谬、合理结论。2. 运用反证法证明简单的几何命题和代数命题。
教学难点 1.准确进行“反设”：全面、正确地否定命题的结论，避免出现反设不完整或错误的情况2.从反设和已知条件出发，推导得出与已知条件、公理、定理或自身相矛盾的结论，确保推导过程逻辑严密、无漏洞。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 相传，王戎七岁的时候，曾经和小伙伴一起游玩，看到了路边的李树上结满了李子，压弯了枝条。小伙伴们都争相上前采摘，只有王戎一个人不为所动。有人问他，他回答说：“道路边的李树多果实却没有人采摘，果实一定是苦的。”摘下来品尝，果然如王戎所说，这就是”道旁苦李”的故事。如果当时你在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断是对的吗？我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系 a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形.如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 思考教师提出的问题，小组内交流讨论：王戎的思路是“假设李子甜→会被摘光→与‘结了很多李子’矛盾→假设错误，李子苦”，明确这是一种“逆向”的推理思路。 通过“道旁苦李”这一生活化、故事化的案例，直观呈现反证法的核心思路，降低学生对“逆向思维”的陌生感；通过提问引导学生自主梳理推理逻辑，自然引出反证法的概念，为后续学习奠定直观基础。
二、探究 探究反证法【做一做】作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；（2）a=2，b=3，c=4；（3）a=2，b=2.5，c=3.我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致。而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形.由此，可以猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.然而，想从已知条件a2+b2≠c2(a ≤b≤c) 出发，直接经过推理得出结论，十分困难.我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论：(1)假设它是直角三角形；(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；(3)因此假设不成立，即它不是直角三角形.总结归纳一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.用反证法证明命题的步骤：①先假设结论的反面是正确的；②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确.拓展提高反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的. 一个命题，当从正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.【思考】现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？假设a2+b2=c2，∵∠C≠90°，∴△ABC不是直角三角形，∴由勾股定理得a2+b2≠c2，这与假设相矛盾，∴假设不成立，∴在△ABC中，如果AB =c，BC=a，CA= b，且∠C ≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题。使用反证法证明该命题为真命题，需先假设结论不成立，再根据已知条件推出矛盾，从而证明原命题成立。【例5】证明：两条直线相交只有一个交点.已知：两条相交直线l1与l2.求证：l1与l2只有一个交点.分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.这样过点A和点B就有两条直线l1与l2 .这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.【例6】证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即 ∠A> 60°，∠B> 60°，∠C > 60°.于是∠A +∠B+ ∠C > 60°+ 60°+ 60°= 180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 跟随教师引导，明确命题的结论及反面，尝试写出“反设”。参与归谬过程，结合三角形内角和定理推导矛盾，理解“矛盾”的含义（与已知定理冲突）。记录反证法的三个基本步骤，标注每个步骤的关键要点（反设要准确、归谬要严谨）独立思考并写出反设，小组内交流确认反设的准确性结合“两点确定一条直线”的公理，自主推导矛盾，举手分享推导过程。 通过简单几何命题，逐步拆解反证法的推理过程，让学生清晰感知“反设—归谬—结论”的逻辑；易错点强调帮助学生规避“反设错误”这一核心难点，为后续应用奠定基础。选取“几何+代数”两类例题，覆盖反证法的常见应用场景；几何例题强化“与公理矛盾”的归谬思路，代数例题强化“与假设条件矛盾”的归谬思路；通过教师引导与学生自主推导结合，巩固反证法的步骤应用，提升逻辑推理的严谨性。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设( C ). A. ∠A=CB B. AB=BC C. ∠B=∠C D. ∠A=∠C 2.用反证法证明结论为“ab B. a≥b C. a=b D. a≤b3.用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( D ) .A. a、c不垂直 B. a、b都不与c垂直 C. a⊥b D. a与b相交 4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.(用反证法)已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°.求证：l1与l2不平行.证明：假设l1 ∥l2，则∠1+∠2=180°( 两直线平行，同旁内角互补 ).这与___已知____相矛盾，故___假设___不成立. 所以l1与l2不平行.【知识技能类作业】选做题：5.小明在用反证法解答“已知△ABC中， AB=AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤:①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B<90°；③假设∠B≥90° ;④由AB =AC，得∠B=∠C，所以∠C ≥90°;请写出这四个步骤正确的顺序：③④①②.(填序号)6.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色.小雅说：“红色球在我手上”；小点说：“红色球不在我手上”；小训说：“红色球肯定不在小雅手上”.三个同学只有一个说对了，则红色球在_小点_的手上.【综合拓展类作业】7. 已知：如图，D是△ABC内一点.求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明).证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，∴∠ADB+∠BDC +∠ADC < 360°，这与 ∠ADB +∠BDC +∠ADC =360°矛盾，∴假设不成立，∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸1.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法.2.用反证法证明命题的步骤：①先假设结论的反面是正确的；②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 13.1.3 反证法1.什么是反证法2.反证法的步骤3.例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设( D )A. a ⊥ c B. c不平行于b C. a不平行于b D. a不平行于c 2.用反证法证明命题“在一个三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是( B ).A.在一个三角形中，至少有一个内角是直角B.在一个三角形中，至少有两个内角是直角C.在一个三角形中，没有一个内角是直角D.在一个三角形中，至多有两个内角是直角【知识技能类作业】选做题：3.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形.证明：假设该三角形是直角三角形，则由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题目所给信息矛盾，所以假设不成立，所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形.4.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与( B )矛盾.A. 两点确定一条直线B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条D. 垂直的定义【综合拓展类作业】5.如图，在△ABC中， AB >AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线. 用反证法证明点M与点D不重合.证明：假设点M与点D重合.延长AM到N，使AM =MN，连结BN.∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM.又∵∠AMC=∠NMB， AM=MN，∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC=∠MNB，BN=AC.∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM=∠MAC，∴∠MNB=∠BAM，∴BN=AB，∴AC =AB，这与AB>AC相矛盾.∴点M与点D重合是错误的，∴点M与点D不重合.
教学反思 本节课以“反证法”为核心，遵循“故事导入—案例解析—例题讲解—练习巩固—小结作业”的教学流程，注重逆向思维的培养和逻辑严谨性的提升，基本达成预设的核心素养目标。导入环节贴合认知规律。通过“道旁苦李”的生活化故事，直观呈现反证法的核心思路，有效降低了学生对逆向思维的陌生感；通过问题链引导学生自主梳理推理逻辑，自然引出反证法的概念，激发了学生的学习兴趣。总体而言，本节课基本达成教学目标，但在归谬引导和书写规范指导方面仍需改进。后续教学中，将更加注重以学生为中心，根据学生的思维节奏调整引导速度，强化专项训练，提升教学效果。
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