8.6.2 直线与平面垂直的判定 教学设计

人教A版高中数学教科书·必修第二册第八章
《直线与平面垂直的判定》教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
直线与平面垂直的概念，直线与平面垂直的判定定理。
（二）内容解析
1．内容的本质：直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,通过一条直线与构成该平面的基本元素(直线)之间的关系来刻画这种位置关系。直线与平面垂直的判定定理实际上寻找的是线面垂直的充分条件，即研究该直线与构成该平面的基本元素之间满足哪些条件时，能使直线与平面垂直这一问题。
2．内容蕴含的数学思想方法:直线与平面垂直的研究，按照“直观感知一操作确认一归纳总结”的认知过程,类比线面平行的研究方法,引导学生对实例进行直观感知,抽象出线面垂直的定义的过程,蕴含着类比、转化等思想方法;借助具体实例、模型分析猜想、折纸实验,发现线面垂直的判定定理,积累从现实生活中抽象出几何图形和几何问题研究经验的过程,蕴含着平面化、降维、数形结合等思想方法。
3．内容的上下位关系:直线与平面垂直为后续的线面角、面面垂直及二面角的研究学习做了准备。学习直线与平面垂直的判定定理,要类比线面平行、面面平行的研究方法与路径,应用类比、转化、归纳等思想方法。
4．内容的育人价值:依靠直观感知、操作确认、归纳总结的研究思路,从生活实例中的垂直关系进行研究,提出线面垂直的定义,将生活中的垂直转化到数学中的垂直,发展了学生的直观想象素养和数学抽象素养;通过折叠三角形纸片,探究折痕与桌面垂直的条件,归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理,将三维问题转化为二维问题,发展了学生的逻辑推理素养,培养学生的质疑思辨、创新的精神。
（三）教学重点
直线与平面垂直的定义及判定。
二、教学目标及其解析
（一）教学目标
1.了解直线与平面垂直的位置关系；
2. 掌握直线与平面垂直的判定定理。
（二）目标解析
达成以上目标的标志是：
1.学生通过实例直观感知,抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；
2.学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理,能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直。
三、教学问题诊断分析
（一）问题诊断
学生在日常生活中,已积累了对直线与直线垂直、直线与平面垂直的直观感知;通过直线与平面平行的学习,也初步积累了研究直线与平面位置关系的基本路径和方法,感受利用直线与直线的位置关系刻画直线与平面的位置关系的过程,但学生将空间问题转化为平面问题的意识还不够强,在处理直线与平面垂直的定义的抽象研究时,容易出现对定义中的“任意一条直线”的论证等问题缺乏深入的理解。
在探究直线与平面垂直的判定定理时,学生通过探究和动手实践,可以发现“当直线与平面内的两条相交直线垂直时,直线便与该平面垂直”的结论,但这个结论还需结合直线与平面垂直的定义和平面向量基本定理,经过严格的逻辑推理论证,说明其合理性,才能作为定理使用。因此,直线和平面的判定定理的论证对学生而言是比较困难的,原因在于学生的逻辑推理论证能力不足,积累的经验不够丰富。
基于以上诊断,解决以上问题的关键在于引导学生经历直观感知、操作确认、归纳总结的过程,使学生积累使用数学思想方法解决问题的经验,体会数学研究过程的完整性。
（二）教学难点
直线与平面垂直的定义方式,判定定理的发现。
四、教学支持条件分析
1.运用GeoGebra 数学软件和多媒体技术动态演示、直观呈现,能帮助学生更好地分析问题、解决问题。
2.依托AI数字人技术，介绍有关直线与平面垂直的相关数学历史，激发学生的求知欲。
3.安排探究实验:通过折叠三角形纸片,探究折痕与桌面垂直。能更好地培养学生的几何直观能力,使得学生在直观感知、操作确认的基础上,归纳、概括直线与平面垂直的判定定理。
五、教学过程设计
（一）学习活动设计
教学环节 学生学习活动设计 教师教学行为
环节一、复习回顾，引出概念 学生听讲，思考探索直线与平面垂直的思路，并回答问题 由引导语引出课题，通过问题1、确定直线与平面垂直的探索思路
环节二、提出问题，抽象概念 学生独立思考旗杆影子问题，借助手中笔及桌面操作确认，得到直线与平面垂直的定义；再通过填写定义的表格及练习，巩固对直线与平面垂直定义的理解 通过问题2引导学生感知、动手操作，得到直线与平面垂直的定义；再通过问题3及练习，加深对定义的理解
环节三、观察实验，得出猜想 首先，小组合作动手完成探究任务1-3并展示探究结果； 其次，独立完成表格，尝试用三种语言表述定理； 最后，通过思考、回答追问1、2问题，加深对定理的理解 通过让学生完成探究活动，分享探究结果及教师用GeoGebra 软件总结归纳结果，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理；通过问题5，让学生完成三种语言表述定理的表格，加深理解；再通过追问1、2，进一步加深对定理的理解；最后，教师借助AI数字人介绍有关该定理历史上的证明方法，增加严谨性
环节四、应用巩固 学生独立分析、完成问题6和例题1的作答，并展示证明过程； 借助例1规范学生书写过程，通过问题6和例题1加深巩固学生对知识的理解与运用
环节五、课堂小结，提炼学习收获 独立思考交流，总结回顾学习内容 通过课堂小结引导学生思考
环节六、作业设计，课堂反馈 独立完成，检验学习效果 通过必做题帮助学生检验学习效果，通过选做题有利于学生知识的进一步拓展
（二）教学过程设计
教学环节一、复习回顾，引出概念
引导语：前面我们研究了直线、平面的平行关系，从直线与平面的位置关系来看，你认为还可以研究什么？
【问题1】对于直线与平面垂直,我们要研究哪些内容
师生活动:通过提问引导学生独立思考本节问题探究的研究路径。类比直线与平面平行研究的内容与研究方法，获得处理空间位置关系的一般方法。然后，教师引导学生类比直线与平面平行的研究路径,在日常生活中举例常见的线面垂直关系,例如,旗杆与地面是垂直的,教室里相邻墙面的交线与地面也是垂直的,帮助学生建立线面垂直现象的直观感知。
设计意图：引言中提出刚学习的直线与平面平行的关系，为学生能够类比提出要研究直线与平面垂直的定义、判定和性质做铺垫。通过问题1,明确研究对象,类比之前的学习过程,使学生感悟到思想方法的统一性和重要性，为研究直线与平面垂直做好思想方法的准备。通过举例生活中常见的线面垂直关系,帮助学生建立线面垂直现象的直观感知。
教学环节二、提出问题，抽象概念
【问题2】如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化,旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直
师生活动:学生可以用手中的笔代替旗杆，观察笔所在直线与其影子所在直线的位置关系,教师引导学生分析，通过直观感知、操作确认得到初步结论:随着时间的推移,尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直。
追问1：对于地面上不经过点B的直线,旗杆AB所在直线还与它垂直吗 为什么
师生活动:学生依据异面直线所成角的定义,可以做出判断:
对于地面上不过点B的任意一条直线,总能在地面上找到一条过点B的直线与之平行,根据异面直线所成角的定义,可知旗杆AB所在直线与直线也垂直.因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。
然后，教师举例欧几里得在《原本》一书中关于直线与平面垂直的定义。
设计意图：借助旗杆与地面垂直、旗杆在地面上的影子与旗杆垂直等直觉经验,结合实际操作进行判断，并利用异面直线所成角的定义做出理性分析，直观感知可以通过直线与平面内的所有直线垂直来定义直线与平面垂直，为抽象出定义做好准备。
【问题3】你能试着给出直线与平面垂直的定义吗？完成下表。
定义 图形表示 符号表示 作用
师生活动:学生完成此表，展示，教师检查。然后学生完成下面练习。
练习：判断下列说法是否正确
(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与平面内无数条直线都垂直.
(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
(3)如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意一条直线垂直.
(4)如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
(5)如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内任意一条直线都不垂直.
设计意图：通过问题3帮助学生提高数学表达能力，再通过练习加深对定义的理解。
教学环节三、观察实验，得出猜想
【问题4】用定义判断直线与平面垂直方便吗 你有更好的办法吗
师生活动:学生知道需要探索判定定理。类比直线与平面平行的判定定理,需要将垂直于平面中的“任意一条直线”转化为直线垂直于平面内的有限条直线。
设计意图：在一般观念的指导下，通过类比，形成研究思路。
探究活动：一条直线至少与平面内的几条直线垂直,就能够判定直线与平面垂直
探究1：一条直线和平面内的一条直线垂直,能否判定直线与平面垂直 为什么
探究2：一条直线和平面内的两条直线垂直,能否判定直线与平面垂直 为什么
探究3：如图准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD,DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直 为什么
师生活动:学生利用手中的道具三角纸，根据上述要求展开探究小组活动。然后上台展示讨论结果。
探究1，学生能自己举出反例。
探究2，类比平面与平面平行的研究,学生将平面内的两条直线分为平行和相交两种情况进行探究，经过探究排除两条直线平行的情况，猜想两条直线相交时应该可以判定直线与平面垂直。
探究3，学生先操作，发现当折痕AD不垂直于BC时,翻折后的纸片竖起放在桌面上时折痕AD不垂直于桌面。当沿着边BC上的高线翻折纸片并竖起放在桌面上时，折痕AD垂直于桌面。原因是：如果不沿着高线翻折，那么竖起放在桌面上时，折痕AD与桌面内的BD，DC这两条直线就不垂直，依据定义折痕 AD不垂直于桌面。
最后，教师用GeoGebra 数学软件动态演示归纳结果，形成直线与平面垂直的判定定理。
探究成果：你能根据探究的结果,归纳出如何判定直线和平面垂直吗
【问题5】请同学们根据探究的结果，用三种语言表述定理，完成下表。
文字语言 图形语言 符号语言
直线与平面垂直的判定定理
作用
追问1：你能从向量的角度解释吗
追问2：直线与平面垂直的判定定理的本质是什么
师生活动：学生独立完成表格,教师规范强调。学生口答完成追问1、追问2。
设计意图： 让学生体会按照问题4的思路。设计探究活动，引导学生展开有序探究，
让学生感受如何自然地提出问题,并进行研究。这个过程层层递进,借此可以逐步找到直线与平面垂直的充分条件。探究活动让学生充分地进行直观感知和操作确认,并归纳出直线与平面垂直的判定定理,引导学生依据定义、基本事实的推论2、平面向量基本定理进行说理，用三种语言表示,培养用数学语言规范、严谨表达的习惯。
数学史介绍：教师对直线与平面垂直判定的证明方法给出介绍，目前证明方法有：
(1)欧式证法——欧几里得《几何原本》
(2)勒让德证法——勒让德《初等几何》
(3)等腰三角形法——《几何基础》
(4)对称法——Tappan《平面与立体几何》
设计意图：通过介绍数学历史上关于该定理的证明方法，让学生感受数学的严谨性，理解判定定理的可靠性,培养其理性精神。
教学环节四、应用巩固
【问题6】(1)如何验证门轴与地面垂直？
(2)与门轴平行的另一条边与地面垂直吗？由此你可以得出什么结论？
例1 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
追问：你能用符号语言写出已知、求证，画出图形并证明吗？
师生活动：通过问题6给同学们创造一个用所学知识解决生活实际问题的机会，然后通过问题6（2）由同学们得出的结论直接设计为例1，让学生独立证明，通过追问，让同学们把此例题的文字语言转化为符号语言和图形语言（画图），然后再证明。让学生上台板演,共同交流完成证明过程。随后引导学生比较证明直线与平面垂直的定义法与判定定理法的异同。
设计意图：通过问题6与例题1结合一起，层层递进。例题巩固直线与平面垂直的判定定理，把握判定定理使用的关键，辨析定义法和判定定理法在证明过程中的区别,提升学生思维的灵活性。
教学环节五、课堂小结，提炼学习收获
课堂小结：在知识方面和思想方法方面，你收获了哪些？
师生活动：学生总结本节课知识和思想方法收获，知识方面：掌握了直线与平面垂直的方法：一是定义法，二是直线与平面垂直的判定定理；思想方法方面：掌握了无限条直线向有限条直线转化、线线垂直向线面垂直的转化思想方法。
设计意图： 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
教学环节六、作业设计，课堂反馈
1.必做题：完成教材152页：第2、3题；
2.选做题:查阅资料，梳理关于直线与平面垂直定义、判定的数学史.
设计意图：巩固应用直线与平面垂直的判定定理解决问题的方法。数学文化作业，提升学生对数学史的理解，帮助学生理解数学、掌握数学。
六、板书设计
标题：直线与平面垂直的判定
1.判定直线与平面垂直的方法：
(1 )定义法
(2) 直线与平面垂直的判定定理
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