北师大版九年级数学（上）第一章《特殊的平行四边形》同步测试1.3正方形

九年级数学（上）第一章同步测试
1.3正方形
一、选择题
1.
正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角相等
2.
将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（　　）
A．2cm2
B．4cm2
C．6cm2
D．8cm2
3.
有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（　　）
A．1：
B．1：2
C．2：3
D．4：9
4.
如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　）
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
5.
如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A．
B．2
C．+1
D．2+1
6.
如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7.
如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（　　）
A．7
B．8
C．7
D．7
8.
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.
如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
10.
已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（　　）
A．256
B．900
C．1024
D．4096
二、填空题
1.
如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=　
　．
2.
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　
　，使得 ABCD为正方形．
3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为　
．
4.
如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　
　．
5.
如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　cm．
6.
有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为　
　．
7.
如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是　
　．
三、解答题
1.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
2.
已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
3.
如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．
4.
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
5.
如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.D
9.C
10.C
二、填空题
1.
45°．2.
∠BAD=90°．3.；4.；5.13；6.
或20．7.
（21008，0）．
三、解答题
1.
证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
2.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，
∴∠FAD=180°-∠DAB=90°．
在△DCE和△DAF中，
，
∴△DCE≌△DAF（SAS），
∴DE=DF．
3.
（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）∵△ABE≌△EGF，AB=2，
∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，
∵S△ABE=2S△ECF，
∴SEGF=2S△ECF，
∴EC=CG=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∵BC=AB=2，
∴BE=2-1=1．
4.
（1）在正方形ABCD中，
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ-AP=PQ
②AQ-BQ=PQ
③DP-AP=PQ
④DP-BQ=PQ
5.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，有，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．