4.有理数的加法
第2课时
【教材训练】5分钟
1.加法的运算律
(1)运算律:加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用.
(2)用字母表示为:
加法的交换律:a+b=b+a;
加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2.利用加法的结合律简化运算常用的三个规律
(1)一般地,总是先把正数或负数分别结合在一起相加.
(2)有相反数的先把相反数相加,能凑整的可先凑整.
(3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)(-3)+2与(-2)+3的值相等. (×)
(2)根据加法的交换律(-2)+(-3)=(-3)+(-2). (√)
(3)加法的交换律与结合律不能同时使用. (×)
(4)加法的结合律只适合三个加数的运算. (×)
(5)-6+4=(-6+4)+(+). (×)
【课堂达标】20分钟
训练点一:利用运算律简化运算
1.(2分)下面等式符合加法交换律的是 ( )
A.20+480=480+20
B.a×(b+c)=a×b+a×c
C.130+80+90=(120+80)+(10+90)
D.(-5)+3=(-3)+1
【解析】选A.A运用加法交换律,B运用乘法分配律,C,D运用加法的性质.
2.(2分)2013个不全相等的有理数之和为零,则这2013个有理数中 ( )
A.至少有1个是零
B.至少有1007个是正数
C.至少有1个是负数
D.至多有2011个是负数
【解析】选C.由题意,这2013个有理数可以有零,也可以没有零,但一定既有正数也有负数,最少可能有一个负数,最多可能有2012个负数,故选C.
3.(2分)下列运算中正确的是 ( )
A.8+[14+(-9)]=15
B.(-2.5)+[5+(-2.5)]=5
C.[3+(-3)]+(-2)=-2
D.3.14+[(-8)+3.14]=-8
【解析】选C.8+[14+(-9)]
=(8+14)+(-9)
=22+(-9)=13;
(-2.5)+[5+(-2.5)]
=[(-2.5)+(-2.5)]+5=(-5)+5=0;
[3+(-3)]+(-2)=0+(-2)=-2;
3.14+[(-8)+3.14]=(3.14+3.14)+(-8)=6.28+(-8)=-1.72.
4.(2分)小明计算了一道有理数加法题,过程如下:
(-23)+|-63|+|-37| +(-77)
=[(-23)+(-77)]+(|-63| +|-37|)………………………a
=(-100)+(-100) …………………………………………b
=-200 ……………………………………………………c
可是他计算错了,他错在__________步,正确的结果应是________________.
【解析】(-23)+|-63|+|-37|+(-77)
=[(-23)+(-77)]+(|-63|+|-37|)
=(-100)+(+100)=0.
答案:b 0
5.(6分)计算下列各题:
(1)(-13)+12+(-7)+38.
(2)5+(-1)+3+(-2).
【解析】(1)(-13)+12+(-7)+38
=[(-13)+(-7)]+(12+38)
=(-20)+50
=30.
(2)5+(-1)+3+(-2)
=5+3+[(-1)+(-2)]
=9+(-4)
=5.
训练点二:有理数加法及其运算律的应用
1.(2分)一个水利勘察队,第一天沿江向上游走了5km,第二天又向下游走了5km,第三天向上游走了4km,第四天向下游走了5km,这时勘察队在出发点的
( )
A.上游1km处 B.下游1km处
C.上游km处 D.下游km处
【解析】选D.设向上游走为“+”,向下游走为“-”,
则有(+5)+(-5)+(+4)+(-5)
=[(+5)+(-5)]+[(-5)+(+4)]
=0+(-)=-(km).
即在出发点的下游km处.
2.(2分)绝对值大于3而小于6的所有整数的和是 ( )
A.9 B.-9 C.0 D.1
【解析】选C.因为绝对值大于3而小于6的所有整数为-4,-5,4,5,故其和为
(-4)+(-5)+4+5=0.
3.(6分)的士司机小王“十一”长假期间的一天下午,全是在一条南北走向的大道上运营,如果规定向北为正,向南为负,这天下午行车里程如下(单位:千米):
-11,-5,+9,-15,+10,-12,+17,-9,-8,+15.请问:
(1)将最后一位乘客送到目的地后,小王在下午出车地点的什么地方?与下午出车地点相距多少千米?
(2)若一辆的士的耗油量是0.08升/千米,则这天下午这辆的士的耗油量是多少升?
【解析】(1)因为(-11)+(-5)+9+(-15)+10+(-12)+17+(-9)+(-8)+15
=[9+(-9)]+[(-15)+15]+[(-5)+(-12)+17]+[(-11)+(-8)]+10=-9(千米),
所以小王在下午出车地点的南边,与下午出车地点相距9千米.
(2)因为|-11|+|-5|+|+9|+|-15|+|+10|+|-12|+|+17|+|-9|+|-8|+|+15|
=11+5+9+15+10+12+17+9+8+15=111(千米),
111×0.08=8.88(升).
所以这天下午这辆的士的耗油量是8.88升.
4.(6分)10名同学参加数学竞赛,以80分为标准,超过记为正,不足记为负,评分记录如下:+10,+15,-10,-9,-8,-1,+2,-3,-2,+1,问这10名同学的总分为多少?
【解析】(+10)+(+15)+(-10)+(-9)+(-8)+(-1)+(+2)+(-3)+(-2)+(+1)
=[(+10)+(-10)]+[(+1)+(-1)]+[(+2)+(-2)]+(+15)+[(-9)+(-8)+(-3)]=-5(分),
80×10+(-5)=795(分).
故这10名同学的总分为795分.
【课后作业】30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.某个地区,一天早晨的温度是-4℃,中午上升了9℃,下午下降了8℃,则下午的温度是 ( )
A.-3℃ B.-13℃ C.3℃ D.-11℃
【解析】选A.(-4)+9+(-8)=-3(℃).
2.设a为最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的数,d是绝对值等于1的有理数,则a+b+c+d的值为 ( )
A.1 B.3 C.1或-1 D.2或-1
【解析】选C.因为a为最小的正整数,所以a=1;
因为b是最大的负整数,所以b=-1;
因为c是绝对值最小的数,所以c=0;
因为d是绝对值等于1的有理数,所以d=±1.
所以a+b+c+d的值为1或-1.
3.数轴上的点A和点B所表示的数互为相反数,且点A对应的数是-2,P是到点A或点B距离为3的数轴上的点,则所有满足条件的点P所表示的数的和为
( )
A.0 B.6 C.10 D.16
【解析】选A.因为点A对应的数是-2,点A和点B所表示的数互为相反数,所以点B对应的数是2,P是到点A或点B距离为3的数轴上的点,所以点P对应的数是-5,-1,1,5,则所有满足条件的点P所表示的数的和为0.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.水池中的水位在某天8个不同时间测得记录如下(规定上升为正,单位:厘米):+3,-6,-1,+5,-4,+2,-3,-2,那么,这天水池中水位最终的变化情况是
________.
【解析】(+3)+(-6)+(-1)+(+5)+(-4)+(+2)+(-3)+(-2)=-6(厘米).因此,水位最终下降了6厘米.
答案:下降了6厘米
5.已知a+c=-2012,b+(-d)=2013,则a+b+c+(-d)=________.
【解析】a+b+c+(-d)=(a+c)+[b+(-d)]
=-2012+2013=1.
答案:1
6.一跳蚤在一数轴上从原点开始,第1次向右跳1个单位,紧接着第2次向左跳2个单位,第3次向右跳3个单位,第4次向左跳4个单位,…,依此规律跳下去,当它跳第100次落下时,落点处离原点的距离是________个单位.
【解析】向左跳一个单位为-1,向右跳一个单位为+1,则1+(-2)+3+(-4)+5+…+(-100)=-50,所以第100次落下时,落点处在原点的左侧第50个单位处.
答案:50
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)(-54)+17+(-25)+23.
(2)15.5+(-3)+(-5)+(-4).
(3)+(-)++(-)+(-).
(4)2+0.25+(-2)+2+(-2.75).
【解析】(1)(-54)+17+(-25)+23
=[(-54)+(-25)]+(17+23)=(-79)+40=-39.
(2)15.5+(-3)+(-5)+(-4)
=[15.5+(-5)]+[(-3)+(-4)]
=10+(-8)=2.
(3)+(-)++(-)+(-)
=[+(-)]+[(-)+(-)]+
=-1+=-.
(4)2+0.25+(-2)+2+(-2.75)
=[2+(-2.75)]+[(-2)+0.25]+2
=(-2)+2=.
8.(6分)仓库内原存粮食4000千克,一周内存入和取出情况如下(存入为正,单位:千克):
2000,-1500,-300,600,500,-1600,-200
问第7天末仓库内还存有粮食多少千克?
【解析】4000+2000+(-1500)+(-300)+600+500+(-1600)+(-200)
=(4000+2000+600+500)+[(-1500)+(-300)+(-1600)+(-200)]
=7100+(-3600)
=3500(千克).
答:第7天末仓库内还存有粮食3500千克.
9.(6分)1984年我国代表队第一次全面参加奥运会,夺得15枚金牌.下表是我国代表队在历届奥运会上获得的金牌变化情况.(以1984年的15枚为基数,增加为正,减少为负)
年份
1984
1988
1992
1996
2000
2004
2008
2012
增减数
0
-10
+1
+1
+13
+17
+36
+23
(1)2012年伦敦奥运会上我国代表队夺得多少枚金牌?
(2)至2012年伦敦奥运会结束时,我国代表队在历届奥运会上共夺得多少枚金牌?
【解析】(1)15+23=38(枚).
答:2012年伦敦奥运会上我国代表队夺得38枚金牌.
(2)15×8+0+(-10)+1+1+13+17+36+23
=(15×8+0+1+1+13+17+36+23)+(-10)
=211+(-10)
=201(枚).
答:至2012年伦敦奥运会结束时,我国代表队在历届奥运会上共夺得201枚金牌.
10.(6分)(能力拔高题)阅读(1)中的方法,计算第(2)小题.
(1)-5+(-9)+(-3)+17.
原式=[(-5)+(-)]+[(-9)+(-)]
+[(-3)+(-)]+(17+)
=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(-)+(-)+(-)+]
=0+(-)=-.
(2)(-2013)+(-2012)+4025+(-1).
【解析】(-2013)+(-2012)+4025+(-1)
=[(-2013)+(-)]+[(-2012)+(-)]+4025+[(-1)+(-)]
=[(-2013)+(-2012)+4025]+(-1)+[(-)+(-)+(-)]=0+(-1)+(-2)=-3.
4 有理数的加法
第1课时
【教材训练】5分钟
1.有理数加法法则
(1)同号两数相加:取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)异号两数相加:①绝对值相等时和为0.
②绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(3)同0相加:一个数同0相加,仍得这个数.
2.互为相反数的两数相加得0.如果a,b互为相反数,那么a+b=0.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)一个正数与一个负数相加得正数. (×)
(2)两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和. (√)
(3)两个正数相加,和为正数. (√)
(4)-2+3=-5. (×)
【课堂达标】20分钟
训练点一:有理数的加法运算
1.(2分)计算(-4)+(-3)所得的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
【解析】选D.(-4)+(-3)=-(4+3)=-7.
2.(2分)-2与5的和的相反数是 ( )
A.3 B.-3 C.-7 D.7
【解析】选B.因为(-2)+5=3,又因为3的相反数是-3,所以-2与5的和的相反
数是-3.
3.(2分)两个有理数相加,如果和比其中任何加数都小,那么这两个加数 ( )
A.都是正数 B.都是负数
C.互为相反数 D.异号
【解析】选B.根据有理数的加法法则可知,两个有理数相加,如果和比其中任何加数都小,那么这两个加数都是负数.
4.(2分)计算:(-3)+|-1|=________.
【解析】(-3)+|-1|=(-3)+1=-2.
答案:-2
5.(6分)计算:
(1)(-21)+(-31).(2)(-)+(+).
(3)(-3)+3.25.
【解析】(1)原式=-(21+31)=-52
(同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加).
(2)原式=+(-)=
(绝对值不等的异号的两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值).
(3)原式=-3+3=0
(互为相反数的两个数相加得0).
训练点二:有理数加法的应用
1.(2分)2013年1月1日,北京的最低气温是-13℃,最高气温比最低气温高7℃,则这天的最高气温是 ( )
A.-20℃ B.-6℃ C.6℃ D.20℃
【解析】选B.最高气温是:(-13)+7=-6(℃).
2.(2分)A地海拔高度是-53m,B地比A地高17m,B地的海拔高度是 ( )
A.60m B.-70m C.70m D.-36m
【解析】选D.因为B地比A地高17m,所以B地的海拔高度是(-53)+17=-36(m).
3.(2分)汽车从A地出发向南行驶了48千米后到达B地,又从B地向北行驶20千米到达C地,则A地与C地的距离是 ( )
A.68千米 B.28千米
C.48千米 D.20千米
【解析】选B.规定向南为正方向,则(+48)+(-20)=28(千米).则C地在A地的正南方向28千米.
4.(4分)a,b是符号相异的有理数,|a|=3,|b|=7,计算|a+b|.
【解析】因为|a|=3,|b|=7,所以a=3或-3,b=7或-7,又因为a,b是符号相异的有理数,所以当a=3时,b=-7,此时|a+b|=|3+(-7)|=|-4|=4;当a=-3时,b=7,此时|a+b|=|(-3)+7|=|4|=4,综上可知|a+b|=4.
5.(6分)一建筑工地仓库记录星期一和星期二水泥的进货和出货数量如下(单位:吨):
进出货情况
库存情况
星期一
+5
-2
星期二
+3
-4
合计
面对这份表格,你能获得什么信息?能否用式子表示?
(至少写出两条)
【解析】答案不惟一,如能获得这样一些信息:两天一共进货8吨,(+5)+(+3)=+8;两天一共出货6吨,(-2)+(-4)=-6;星期一的库存量增加了3吨,(+5)+(-2)=+3;星期二的库存量减少了1吨,(+3)+(―4)=-1.
【课后作业】30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.计算(-3)+2的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.5 D.-5
【解析】选B.(-3)+2=-(3-2)=-1.
2.下面的数中,与-3的和为0的是 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
【解析】选A.因为互为相反数的两数相加得0,且3与-3互为相反数,所以与-3的和为0的数是3.
3.在2,-2,-3这三个数中,任意两数之和的最大值是 ( )
A.0 B.-1 C.5 D.-5
【解析】选A.因为2+(-2)=0,2+(-3)=-1,-2+(-3)=-5,所以在2,-2,-3这三个数中,任意两数之和的最大值是0.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.比-5大3的数是________.
【解析】比-5大3的数是(-5)+3=-2.
答案:-2
5.北京与纽约的时差为-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚).如果现在是北京时间15:00,那么纽约时间是________.
【解析】纽约时间为北京时间加上-13,即2:00.
答案:2:00
6.若x的相反数是3,y的相反数是-1,则x+y的绝对值为________.
【解析】若x的相反数是3,则x=-3;
y的相反数是-1,则y=1;
x+y的值为-2,所以x+y的绝对值为2.
答案:2
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:
(1)(-4)+(+3). (2)(-7)+(-3).
(3)(-3.125)+(+3). (4)(-3.4)+(6.5).
【解析】(1)(-4)+(+3)
=-(4-3)=-1.
(2)(-7)+(-3)
=-(7+3)
=-11.
(3)(-3.125)+(+3)
=(-3.125)+(+3.125)=0.
(4)(-3.4)+(6.5)=+(6.5-3.4)=3.1.
8.(6分)设用符号(a,b)表示a,b两数中较小的数,用符号[a,b]表示两数中较大的数,试求下列各式的值.
(1)(-5,-0.5)+[-4,2].
(2)(1,-3)+[-5,(-2,-7)].
【解析】(1)(-5,-0.5)+[-4,2]
=-5+2=-3.
(2)(1,-3)+[-5,(-2,-7)]
=-3+[-5,-7]
=-3+(-5)=-8.
9.(6分)一辆小货车为一家汽车配件批发部送货,先向南走了8千米到达“小岗”修理部,又向北走了4.5千米到达“明城”修理部,继续向北走了6.5千米到达“中都”修理部,最后又回到批发部.
(1)请以批发部为原点,向南为正方向,用1个单位长度表示1千米,在数轴上表示出“小岗”“明城”“中都”三家修理部的位置.
(2)“中都”修理部距“小岗”修理部有多远?
(3)小货车一共行驶了多少千米?
【解析】(1)如图所示;
(2)11千米.
(3)因为|8|+|-4.5|+|-6.5|+|3|=22(千米),所以小货车一共行驶了22千米.
10.(6分)(能力拔高题)请观察下列算式:
(1)=1-,=-,=-,=-,
则第10个算式为________,第n个算式为________.
(2)运用以上规律计算:
+++…+++.
【解析】(1)=- =-
(2)+++…+++
=+++…+++
=1-+-+-+…+-+-+-=1-=.
