浙江省杭州市2025年八年级上册期中模拟考试数学卷 （范围：第1-3章） （含解析）

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浙江省杭州市2025年八年级上册期中模拟考试数学卷
满分120分 时间120分钟 范围：第1-3章
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点和点分别在和上，与交于点，已知，若要使，应添加条件中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．若线段AM，AN分别是边上的高线和中线，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（共18分）
11．“的6倍减去3是负数”用不等式表示为 ．
12．命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ．这逆命题是 命题（填“真或假”）
13．以直角三角形的三边为边向形外作正方形，若，，则 ．
14．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是 ．
15．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，即垂直平分，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度．
16．如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．

(1)在图甲中画格点，使与全等．
(2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等．
18．（8分）解不等式．
(1)； (2)．
19．（8分）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
20．（8分）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D．
(1)若，求的度数．
(2)若，的周长为17，求的长．
21．（8分）如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G．
(1)求证：；
(2)当时，求证：是等边三角形；
(3)在（2）的条件下，当时，求的长．
22．（10分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（10分）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的值；
(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值．
24．（12分）已知：如图，中，，，点D是边上的一点（不与B，C点重合），作，交于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当是等腰三角形时，
①求的度数；
②求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A D B B B A D
1．B
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可．
【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意；
B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
C、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
D、由，可得，原式一定成立，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定方法有、、、、，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：A、若添加，不能证明，故符合题意；
B、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
C、若添加，则可利用证明，故不符合题意；
D、若添加，则可证明，可利用证明，故不符合题意；
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，熟练掌握说明一个命题是假命题的方法是解题的关键：满足命题条件，但不能得到命题的结论．
根据举例说明假（真）命题的方法逐项分析判断即可．
【详解】解：A、是偶数，不是4的倍数，所以能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项符合题意；
B、不是偶数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意；
C、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意；
D、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．
【详解】解：如图，是的高，是的中线，
当为等腰三角形，且时，等号成立．
故A、B、C错误，D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据角平分线的性质直接可以判断．
【详解】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∵PD⊥BC于点D， PD=4，
∴P到BA的距离为4；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质并能熟练运用．
7．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键．
根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式．
【详解】解：根据题意得，．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得是解题的关键．先由平行线的性质与角平分线的定义证得，再由等腰三角形的判定即可得出，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：平分平分，
，
，
，
，
，
的周长为： ，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定a的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵原不等式组的整数解有4个为，
∴．
故答案为A．
10．D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，能根据题意正确表示出“的6倍减去3”是解题的关键．
根据题意建立关于的不等式即可．
【详解】解：由题知，
“的6倍减去3”可表示为：．
因为“的6倍减去3是负数”，
所以．
故答案为：．
12． 两直线平行，内错角相等 真
【分析】先写出原命题的逆命题，然后根据平行线的性质判断即可．
【详解】解：内错角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，内错角相等，这逆命题是真命题；
故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；真．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是运用平行线的性质等知识，难度不大．
13．17
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，可归纳为：以斜边为边长的正方形的面积等于以两条直角边为边长的正方形的面积之和．在直角三角形中使用勾股定理可得，代入面积即可求解.
【详解】解：在中满足，
∵，，，
又∵，，
∴
故答案为：17．
14．45°/45度
【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
15．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，
连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据全等三角形的性质可得，根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
，
，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，．
故答案为：．
16．①②④
【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到是等边三角形，是等腰三角形，得到，，由分别是线段的中点，推出，，易得，设，则；利用勾股定理求出，即可判断①；先利用勾股定理求出，根据，，即可判断②；根据，即可判断③；根据是等边三角形，，得到，由角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再利用勾股定理求出，进而得到，即可判断④．
【详解】解：①，D为的中点，
，，
是等边三角形，是等腰三角形，
，，
是线段的中点，
，，
，
E分别是线段的中点，
，，
设，则，
，，
，
，
，
是等边三角形，①正确；
② 分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，故②正确；
③，
，故③错误；
④ 是等边三角形，，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，①②④都正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握重要几何图形的基本性质是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查格点作图、全等三角形：
（1）利用格点作点B关于的对称点，即可求解；
（2）等底等高的三角形面积相等，利用格点作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，即为所求．

18．(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用不等式的基本性质，先将不等式去括号，然后移项合并同类项，把系数化为1，即可求解．
（2）正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，即可解题．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：解不等式，
可得：，
解不等式，
可得：，
则不等式组的解集为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质得出，即可利用证明．
（2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
，
在和中，
，
（2）解：∵，
，
，
．
20．(1)
(2)5
【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则；
（2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（2）解：∵
∴
∴的周长
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的外角和内角和定理，等腰三角形的性质．
21．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等边三角形；
（3）根据（2）中的结论及的长度可求出和的长度，根据是中点可得的长度，再根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵、分别是边、上的高线，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵G是的中点，
∴；
（2）∵、分别是边、上的高线，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）由（2）可知：是是等边三角形，且，
∵，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键．
22．(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元
(2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元
(3)有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∵，且a应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键．
23．(1)
(2)秒
(3)秒或秒或秒
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.
（1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得；
②当时 (如图)，则 易求得；
③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出.
【详解】（1）出发2秒后，，．
所以．
因为，根据勾股定理，．
（2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形．
此时，．
当时，，解得秒．
（3）①当时 (图)， 则，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
②当时 (如图)， 则，
∴秒；
③当时 (如图)， 过点作于点，
则
所以，
故，
所以
秒，
由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形.
24．(1)；
(2)①的度数为或；②的面积为或．
【分析】（1）由，得到，根据，求得，于是得到；
（2）①②分三种情况：根据点D不能与B点重合，于是得到不能成立；当为腰，即时；当为腰，即时，分别讨论并求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵点D不能与B点重合，
∴不能成立，
当为腰时，即，如图：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，，
∴．
∴；
当为腰，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
综上所述，当是等腰三角形时，
①∠BAD的度数为或；
②△ADE的面积为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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