湖南省郑州市第十八中学2025-2026学年高一上学期期中模拟（二）数学试卷（含解析）

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷（二）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：集合逻辑+不等式+函数）
第I部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，求的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
6．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
7．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，使得
8．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C． D．的最小值为
第II部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，是偶函数，则a+b= .
13．已知函数，若，则 ．
14．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
16．（15分）已知函数，且．
(1)求；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增；
(3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围．
17．（15分）已知集合，集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
18．（17分）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
19．（17分）已知函数．
(1)判断的奇偶性，并证明．
(2)利用单调性的定义证明：在上单调递增．
(3)若函数在上是增函数，求的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B D C B AD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C.
2．A
由不等式的性质可得选项A 正确，举反例可说明选项B、C、D错误.
【详解】由及不等式的性质可知，，选项A正确.
令，满足，此时，且，选项B、C错误.
令，满足，此时，选项D错误.
故选：A.
3．D
利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围.
【详解】函数中，，解得或，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是，
依题意，，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
4．C
【解析】由题意有，分类讨论、求a的取值范围，最后求并即可.
【详解】由知：，
当时，，得，
当时，，得，
∴综上，有
故选：C
5．B
【详解】因为，且，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立；
因此，的最小值为.
故选：B
6．D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，，
即 则有 ，解得 ，故选D.
7．C
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减，
所以在单调递增，又，所以，
所以当时，；当时，.
对于A，，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得或，故B正确；
对于C，若，则或，
即或，
解得或，故C错误；
对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的，
且在上单调递减，在单调递增，
所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：C.
8．B
【详解】令，，则，因为，所以，
令，则，
则，
则，所以以6为周期，
令，得，所以，
则．
故选：B．
9．AD
【详解】由
，
所以成立的一个充分不必要条件为的真子集即可，
结合选项可知AD符合.
故选：AD
10．ACD
【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数，
且在上单调递增，A对，B错，
当，则，C对；
当，则，
所以，即，D对.
故选：ACD
11．ACD
由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确.
【详解】由得，，
由得，，整理得，
解得或（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项A正确.
由得，，即，
解得（舍去），当且仅当时等号成立，
故的最小值为，选项B错误.
由得，，所以，解得，选项C正确.
，
当且仅当，即时等号成立，选项D正确.
故选：ACD.
12．4
【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得，
显然，，即，整理得，
而不恒为0，于是得，解得，
所以.
故答案为：4
13．
【详解】因为，则，故函数为奇函数，则
14．/
【详解】，
令，，
因为，
所以为奇函数，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以．
故答案为：．
15．（1）或；（2）；（3），.
（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；
（2）设，利用换元法求解析式即可；
（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以，解得或.
所以或.
（2）设，则，，即，
所以，
所以．
（3）由①，
用代替，得②，
得：，
即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）由，求解即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴.
（2）由于，
证明：，且，
则
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上单调递增.
（3）∵在上单调递增，所以，
∴， ，
∴.
17．(1)
(2)
（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值；
（2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）方程在区间上有个不等根，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
18．(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
（1）根据，得到的方程，解之即可求得；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．
【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，
，
，
又由，
∴ ．
，
∴奇函数，
故符合题意，为所求解．
（2）解：在区间上为增函数．
证明：设．
而，
由，
得，
，
即，
．
故函数在上为增函数．
（3）解：由函数为奇函数且在上为增函数知：
，
，
解得：．
故不等式的解集为．
19．(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）是奇函数．
证明：由题意可知的定义域为，关于原点对称．
因为，所以是奇函数．
（2）证明：设，且，则．
因为，所以，
所以，即，
故在上单调递增．
（3）由题意可得，
当，即时，在上是增函数．
当，即时，，设方程的两根为，且，
则在上是增函数．令，
则，解得．
综上所述，的取值范围为．