第十五章 学科素养聚焦　重要物理模型突破：变质量模型 讲义 （教师版）

重要物理模型突破：变质量模型
一、常见类型
1．充气问题：选择原有气体和即将充入的气体整体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体状态变化问题。
2．抽气问题：将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体整体作为研究对象，质量不变，故抽气过程可以看成是定质量气体状态变化过程。
3．分装问题：把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量气体问题转化为定质量气体问题。
4．漏气问题：选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使变质量气体问题变成定质量气体问题。
二、常用方法
1．气体密度方程：＝
对于一定质量的理想气体，在状态(p1，V1，T1)时密度为ρ1，则ρ1＝，在状态(p2，V2，T2)时密度为ρ2，则ρ2＝，将V1＝、V2＝代入状态方程＝得＝，此方程与质量无关，可解决变质量问题。
2．分态式理想气体状态方程
试推导出分态式理想气体状态方程：＝＋＋…＋，式中(p1，V1，T1)、(p2，V2，T2)、…、(pn，Vn，Tn)为最终态的n个部分参量。
证明：设有一定质量的理想气体，其压强为p0，体积为V0，热力学温度T0下，将该气体分装于n个体积分别为V1、V2、V3、…、Vn的容器内，仍保持各容器内的压强为p0，温度为T0，则有＝＝＋＋…＋。对于每个容器内的气体来说，状态分别发生变化为(p1，V1，T1)、(p2，V2，T2)、…、(pn，Vn，Tn)，对每部分气体应用理想气体状态方程有＝，＝，…，＝，所以有＝＋＋…＋。
注意：此方程等号两边所取气体质量必须相等。
(1)在等温变化过程，可知p0V0＝p1V1＋p2V2＋p3V3＋…＋pnVn。
(2)在等容变化过程，可知＝＋＋＋…＋。
(3)在等压变化过程，可知＝＋＋＋…＋。
类型1　充气问题
【例1】　肩背式手动消毒喷雾器原理如图所示，储液桶上端进气孔用细软管与带有单向阀门K1的打气筒相连，下端出水口用细软管与带阀门K2的喷头相连。已知储液桶容积V＝16.0 L，打气筒每打一次能将V1＝0.30 L的外界空气压入储液桶内。现向储液桶内注入V2＝10.0 L的消毒液，拧紧桶盖和喷头开关K2，设大气压强p0＝1.0 atm、喷雾器内外温度均为t＝27 ℃，打气过程中温度保持不变。某次消毒时，打气筒连续打气使储液桶内的气体压强增加到p1＝4.0 atm，停止打气。打开阀门K2，喷雾消毒后气体压强又降至p2＝1.6 atm，上述过程温度不变。求打气筒打气的次数n和储液桶内剩余消毒液的体积V3。
【解析】　注入消毒液后储液桶内气体体积为V0＝V－V2＝6.0 L，连续打气过程中，因为温度不变，根据玻意耳定律有p0(V0＋nV1)＝p1V0，解得n＝60，
喷雾消毒后气体压强又降至p2＝1.6 atm，因为温度不变，根据玻意耳定律有p1V0＝p2V4，
解得此时储液桶中气体体积为V4＝15.0 L，
则此时剩余消毒液的体积为V3＝V－V4＝1.0 L。
【答案】　60次　1.0 L
类型2　抽气问题
【例2】　(2023·湖南卷)汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图所示，刹车助力装置可简化为由助力气室和抽气气室等部分构成，连杆AB与助力活塞固定为一体，驾驶员踩刹车时，在连杆AB上施加水平力推动液压泵实现刹车。助力气室与抽气气室用细管连接，通过抽气降低助力气室压强，利用大气压与助力气室的压强差实现刹车助力。每次抽气时，K1打开，K2闭合，抽气活塞在外力作用下从抽气气室最下端向上运动，助力气室中的气体充满抽气气室，达到两气室压强相等；然后，K1闭合，K2打开，抽气活塞向下运动，抽气气室中的全部气体从K2排出，完成一次抽气过程。已知助力气室容积为V0，初始压强等于外部大气压强p0，助力活塞横截面积为S，抽气气室的容积为V1。假设抽气过程中，助力活塞保持不动，气体可视为理想气体，温度保持不变。
(1)求第1次抽气之后助力气室内的压强p1；
(2)第n次抽气后，求该刹车助力装置为驾驶员省力的大小ΔF。
【解析】　(1)以助力气室内的气体为研究对象，则初态压强为p0，体积为V0，第一次抽气后，气体体积V＝V0＋V1，
根据p0V0＝p1V，解得p1＝。
(2)同理第二次抽气p1V0＝p2V，
解得p2＝＝p0，
以此类推……
则当n次抽气后助力气室内的气体压强pn＝p0，
则刹车助力系统为驾驶员省力的大小
ΔF＝(p0－pn)S＝p0S。
【答案】　(1)　(2)p0S
类型3　漏气问题
【例3】　某双层玻璃保温杯夹层中有少量空气，温度为27 ℃时，压强为3.0×103 Pa。
(1)当夹层中空气的温度升至37 ℃，求此时夹层中空气的压强；
(2)当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值。(设环境温度为27 ℃，大气压强为1.0×105 Pa)
【解析】　(1)由题意可知夹层中的气体发生等容变化，根据查理定律可知＝，
式中p1＝3.0×103 Pa，T1＝(27＋273) K＝300 K，T2＝(37＋273) K＝310 K，
解得p2＝3.1×103 Pa。
(2)当保温杯外层出现裂隙后，静置足够长时间，夹层中气体的压强和大气压强p0相等。设夹层的容积为V，以静置后夹层中的所有气体为研究对象，设这些气体在压强p1下的体积为V1，气体发生等温变化，由玻意耳定律有p0V＝p1V1，
解得V1＝V，
则夹层中增加的空气在压强p1下的体积为ΔV＝V1－V＝V。
所以夹层中增加的空气质量与原有空气质量之比为＝＝。
【答案】　(1)3.1×103 Pa　(2)
类型4　分装问题
【例4】　南方某市需要从北方调用大批钢瓶氧气(如图所示)，每个钢瓶容积为40 L，在北方时测得钢瓶内氧气压强为1.2×107 Pa，温度为7 ℃，长途运输到该市，检测时测得钢瓶内氧气压强为1.26×107 Pa。在实际使用过程中，先用小钢瓶(加抽气机)缓慢分装，然后供病人使用，小钢瓶容积为10 L，分装后每个小钢瓶内氧气压强为4×105 Pa，要求大钢瓶内压强降到2×105 Pa时就停止分装。不计运输过程中和分装过程中氧气的泄漏，则：
(1)在该市检测时钢瓶所处环境温度为多少摄氏度？
(2)一大钢瓶可分装多少小瓶供病人使用？
【解析】　(1)钢瓶的容积一定，从北方到该市对钢瓶内气体根据查理定律，有＝，式中p1＝1.2×107 Pa，p2＝1.26×107 Pa，T1＝(7＋273) K＝280 K，解得T2＝294 K，即环境温度为21 ℃。
(2)在该市时，设大瓶内氧气由p2、V2等温变化为不分装时的状态p3、V3，则p2＝1.26×107 Pa，V2＝0.04 m3，p3＝2×105 Pa，
根据p2V2＝p3V3，解得V3＝2.52 m3，
可用于分装到小钢瓶的氧气压强为p4＝2×105 Pa，体积为V4＝(2.52－0.04)m3＝2.48 m3，
分装到小钢瓶的氧气压强为p5＝4×105 Pa，体积为V5＝nV，其中小钢瓶容积为V＝0.01 m3，
根据p4V4＝p5V5，解得n＝124，即一大钢瓶氧气可分装124小瓶。
【答案】　(1)21 ℃　(2)124