第十一章 学科素养聚焦　重要物理模型突破：磁发散和磁聚焦模型 讲义 （教师版）

重要物理模型突破：磁发散和磁聚焦模型
在圆形边界的匀强磁场中，如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径，则有如下两个重要情境：
1．磁聚焦：如图甲所示，大量同种带正电粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出(汇聚)。
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
2．磁发散：如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行(发散)。
证明：所有粒子运动轨迹的圆心及有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
【例1】　(多选)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场右侧有一点A，已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则(　AC　)
A．初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点
B．初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点
C．经过A点的粒子在磁场中运动时间为
D．经过A点的粒子在磁场中运动时间为
【解析】　初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则粒子的轨道半径r＝R，由qvB＝，可得粒子轨道半径都为R。结合题意和几何关系可知，一、二象限内射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x轴正方向，根据几何关系有R＋R sin (α－90°)＝R，经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为α＝120°，故A正确，B错误；经过A点的粒子在磁场中的运动时间为t＝×＝，故C正确，D错误。
【例2】　为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O′的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O′右边的O点为中心放置一个足够大的探测屏，探测屏与OO′连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且沿水平方向的线状粒子源MN，O′在MN的中垂线上，O′到MN的垂直距离为1.5R。该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方向均竖直向上，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O′O方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。
(1)求粒子发射时的速度大小v0；
(2)求粒子源左端点M与右端点N发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差Δt。
【解析】　(1)分析可知粒子做圆周运动的半径为R，由qv0B＝m，得v0＝。
(2)由分析可知粒子源左端点M与右端点N发射的粒子均从磁场边界与OO′交点射出，且转过的圆心角分别为θM＝，θN＝，两粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，两粒子在磁场中运动的时间分别为tM＝T，tN＝T，由于两个粒子在匀强磁场区域外部运动的时间相等，所以Δt即为在磁场中运动的时间差，即Δt＝tM－tN，得Δt＝。
【答案】　(1)　(2)
【跟踪训练1】　(多选)半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场如图所示，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力。关于这些粒子的运动，下列说法正确的是(　ACD　)
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
解析：对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故A正确，B错误；粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得，粒子的轨迹半径r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、出射点分别与轨迹的圆心及有界圆心O的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t【跟踪训练2】　如图所示，有一圆形区域匀强磁场，半径为R，磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向外，在其右侧有一与其右端相切的正方形磁场区域，正方形磁场的边长足够长，磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。有一簇质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度v0＝沿图示方向平行射入磁场，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在正方形磁场区域中可能经过的面积为(　C　)
A．S＝R2 B．S＝R2
C．S＝(π＋1)R2 D．S＝R2
解析：由v0＝，知粒子在圆形磁场区域经历磁聚焦，聚于两区域相切点而后进入正方形区域，图形如图，阴影部分面积即为所求面积，r＝＝·R，空白区域面积S白＝2×πr2－r2＝r2，空白加阴影的总面积S总＝π(2r)2＋πr2＝πr2，则S阴＝S总－S白＝(π＋1)R2，故选C。
【跟踪训练3】　(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10-18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10-10 C，速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0°＜θ＜180°，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等
B．这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等
C．部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限
D．粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆
解析：粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据qvB＝m，解得R＝0.1 m，故A正确；由题意得，粒子的轨迹相当于把半径R＝0.1 m的圆以A点为轴转动，粒子轨迹圆心构成的圆的圆心在A点，半径与磁场的半径相等，且粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆，故B、D正确；由于粒子做圆周运动的半径与磁场的半径相等，符合磁发散的条件，根据磁发散的特点，粒子离开磁场后速度都竖直向下，不可能进入到第二象限，故C错误。