第十一章　第2讲　磁场对运动电荷的作用 讲义 （教师版）

第2讲　磁场对运动电荷的作用
1．洛伦兹力的大小和方向
(1)洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
(2)洛伦兹力的方向
①判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心。
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
拇指——指向洛伦兹力的方向。
②方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
(3)洛伦兹力的大小
F＝qvB sin θ，θ为v与B的夹角，如图所示。
①v∥B，θ＝0°或180°，洛伦兹力F＝0。
②v⊥B时，θ＝90°，洛伦兹力F＝qvB。
③v＝0时，洛伦兹力F＝0。
教材链接·想一想 请仔细阅读人教版教材选择性必修第二册P9“思考与讨论”，结合教材提供情境由安培力推导出洛伦兹力的表达式。
提示：如图所示，若导线中的电流为I，则该导线所受的安培力大小为F安＝ILB，若导线的横截面积为S，单位体积内含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，定向移动的速度为v，则在时间t内通过横截面的电荷量Q＝nSvtq。由电流的定义知I＝＝＝nSvq，这段导线内含有的自由电荷数为N＝nSL。整段导线所受的安培力F安可看成是作用在每个自由电荷上的洛伦兹力F洛的合力，即F安＝NF洛，则每个自由电荷所受洛伦兹力的大小为F洛＝qvB。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
(2)若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。
(3)基本公式
①向心力公式：qvB＝m。
②轨迹半径公式：r＝。
③周期公式：T＝。
带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。
1．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用。(　×　)
2．若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为0，则该点的磁感应强度一定为0。(　×　)
3．洛伦兹力对运动电荷一定不做功。(　√　)
4．带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大。(　×　)
5．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。(　×　)
6．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(　√　)
考点一　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。
2．与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与静电力的比较
项目 洛伦兹力 静电力
产生条件 v≠0且v不 与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场 方向的关系 F⊥B，F⊥v F∥E
做功情况 任何情况下 都不做功 可能做功， 也可能不做功
【典例1】(2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力下列说法正确的是(　A　)
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【解析】　带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场中，小球受洛伦兹力和重力的作用做曲线运动，根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；速度的方向时刻变化，B错误；重力始终竖直向下，洛伦兹力始终与速度方向垂直，且速度方向时刻变化，合力方向时刻变化，根据牛顿第二定律，加速度的方向时刻变化，C错误；洛伦兹力始终与速度方向垂直，根据功的定义，洛伦兹力永不做功，D错误。
1．(多选)(2022·湖北卷)如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P(a>0，b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是(　AD　)
A．t1t2
C．Ek1Ek2
解析：当该过程由方向平行于y轴的匀强电场实现时，粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0，沿x轴正方向做匀速直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，沿x轴正方向分速度在减小，根据t＝可知t1Ek2，故C错误，D正确。
2．(多选)如图为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度—时间图像可能是下列选项中的(　AD　)
解析：带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，A正确；当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且摩擦力随着速度的减小而减小，圆环将做加速度逐渐减小的减速运动，最后做匀速直线运动，D正确；如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，且摩擦力越来越大，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，故B、C错误。
考点二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．带电粒子在匀强磁场中的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)。
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示，粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示，粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
2．分析、求解带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的一般步骤
考向1直线边界磁场
【典例2】　如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为(　A　)
A．3 B．2
C． D．
【解析】　电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹如图所示，电子1垂直边界射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝，电子2运动的时间t2＝，所以＝3，故A正确，B、C、D错误。
考向2平行边界的磁场
【典例3】　(多选)(2024·湖北宜昌高三质检)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场，忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　AB　)
A．它的轨迹半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
【解析】　粒子运动轨迹如图所示，r＋r sin 30°＝d，解得粒子运动轨迹半径为r＝d，故A正确；由qvB＝m，r＝d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝＝，故B正确；运动周期T＝＝，由几何关系知t＝T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2r cos 30°＝－d，故D错误。
考向3圆形边界的磁场
【典例4】　(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　D　)
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
【解析】　在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短，则根据对称性可知轨迹如图甲所示，
则最短时间有t＝2T＝，故C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图乙所示，
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，故D正确。
考向4其他多边界磁场
【典例5】　(多选)如图所示，在直角三角形CDE区域内有磁感应强度大小为B的垂直纸面向外的匀强磁场，P为直角边CD的中点，∠C＝30°，CD＝2L，一束相同的带负电粒子以不同的速率从P点垂直于CD射入磁场，粒子的比荷为k，不计粒子间的相互作用和重力，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．速率不同的粒子在磁场中运动时间一定不同
B．从CD边飞出的粒子最大速率为
C．粒子从DE边飞出的区域长度为L
D．从CE边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
【解析】　速率不同的粒子在CD边射出时，粒子在磁场中运动时间相同，A错误；根据左手定则，粒子向左偏转，从CD边飞出的粒子最远从D点飞出，半径R＝，由qvB＝，解得vm＝，B正确；由B项分析可知粒子可以从D点飞出，当粒子轨迹与CE相切从DE飞出时，对应粒子从DE飞出的最远点，如图所示，由几何关系得DG＝DP＝CD＝L，粒子从DE边飞出的区域长度为L，C正确；当粒子与CE相切飞出时，对应从CE边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间，由几何关系可得∠FDC＝60°，从CE边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为tm＝×＝，D正确。
【典例6】(2024·北京西城区高三质检)如图所示，正方形区域abcd内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M以速度v垂直于ad边射入磁场，并恰好从ab边的中点N射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是(　D　)
A．粒子带负电
B．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从a点射出
C．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从b点射出
D．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子在磁场中的运动时间将变短
【解析】　根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；根据qvB＝m，解得r＝，设正方形边长为L，粒子以速度v和速度2v进入磁场，有＝，L＝，轨迹如图，可知若粒子射入磁场的速度增大为2v，射出的位置在N、b之间，故B、C错误；由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为2v，则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角将变小，由t＝T，又T＝，粒子在磁场中的运动时间将变短，故D正确。
粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲所示。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙所示。
(2)半径的计算方法
方法一　由R＝求得。
方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
①由R＝或R2＝L2＋(R－d)2求得，如图丙所示。
②常用到的几何关系
a．粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图丁所示，φ＝α。
b.弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图丁所示，θ＝α。
(3)时间的计算方法
方法一　利用圆心角θ、周期T，求得t＝T。
方法二　利用弧长l、线速度v，求得t＝。
课时作业56
1．(5分)(多选)(2024·四川绵阳高三诊断)核聚变具有极高效率、原料丰富以及安全清洁等优势，中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆界面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成的世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置。将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为m，电荷量均为q，且粒子的速度在纸面内，忽略粒子重力的影响，下列判断正确的是(　BD　)
A．甲粒子受到的洛伦兹力大小为qvB，且方向水平向右
B．乙粒子受到的洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动
C．丙粒子做匀速圆周运动
D．所有粒子运动过程中动能不变
解析：甲粒子速度方向与磁场方向垂直，则所受洛伦兹力大小为qvB，由左手定则得，洛伦兹力方向垂直纸面向里，故A错误；乙粒子速度方向与磁场方向平行，则所受洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动，故B正确；丙粒子速度方向与磁场方向不垂直，不做匀速圆周运动，故C错误；洛伦兹力不做功，根据功能关系，所有粒子运动过程中动能不变，故D正确。
2．(5分) (2022·北京卷)正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中曲线1、2、3所示。下列说法正确的是(　A　)
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D．轨迹3对应的粒子是正电子
解析：根据题图可知，轨迹1和3对应的粒子转动方向一致，则轨迹1和3对应的粒子为电子，轨迹2对应的粒子为正电子，电子带负电荷且顺时针转动，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，A正确，D错误；粒子在云室中运动，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速度越来越小，B错误；带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知qvB＝m，解得粒子运动的半径为r＝，根据题图可知轨迹3对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物质阻力的情况下，此结论也成立，C错误。
3.(5分) (2024·安徽合肥三模)如图所示，半径为R的圆OAP区域中存在垂直于圆平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆心O点有一粒子源，先后从O点以相同速率v0＝向该区域内发射两个完全相同的带正电粒子a、b(质量为m，电荷量为q)，其速度方向均垂直于磁场方向，与OP的夹角分别为90°、60°，不计粒子的重力及粒子间相互作用力，则两个粒子a、b在磁场中运动时间之比ta∶tb为(　A　)
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．4∶1
解析：两个粒子在磁场中做圆周运动的半径均为R，恰好与磁场区域半径相等，对a粒子，在磁场中恰好以P点为圆心做圆周运动，从AP边上M点出磁场，轨迹如图甲所示，则ta＝T；对b粒子，在磁场中做圆周运动恰好从AP边上D点出磁场，轨迹如图乙所示，由几何关系得tb＝T，则ta∶tb＝1∶1，故A正确，B、C、D错误。
4．(5分)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，两个分别与水平地面成37°和53°的光滑绝缘斜面交于A点，BC长度为5 m。现分别从A点由静止释放可视为质点的甲、乙两带电小物块，运动一段距离后均在斜面上的某位置与斜面分离。已知甲、乙两物块的比荷大小之比为4∶3，不计两物块间的库仑力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。若甲物块沿斜面下滑到距A点2 m处与斜面分离，则乙物块与斜面分离的位置到A点的距离为(　C　)
A．2.5 m B．2.125 m
C．1.5 m D．1.125 m
解析：甲物块沿斜面下滑到距A点s甲＝2 m处与斜面分离，有m甲g cos 37°＝q甲v甲B，乙物块与斜面分离有m乙g cos 53°＝q乙v乙B，又＝，联立得v甲＝v乙，又v＝2a甲s甲，v＝2a乙s乙，a甲＝g sin 37°，a乙＝g sin 53°，解得s乙＝1.5 m，故选C。
5．(5分)如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生磁场的磁感应强度B＝k，式中k是常数，I是导线中的电流，r为点到导线的距离。一带正电的小球以初速度v0从a点出发在桌面上沿连线MN运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是(　A　)
A．小球做匀速直线运动
B．小球先做加速运动后做减速运动
C．小球对桌面的压力先减小后增大
D．小球对桌面的压力一直在减小
解析：根据右手螺旋定则可知a处的磁场方向垂直于MN向里，b处的磁场方向垂直于MN向外，从a到b磁场大小先减小，过O点后反向增大，根据左手定则可知，带正电的小球在O点左侧受到的洛伦兹力方向向上，小球对桌面的压力大小为重力与洛伦兹力的差值，过O点后洛伦兹力的方向向下，小球对桌面的压力大小为重力与洛伦兹力的和，由此可知，小球在水平方向不受外力，故小球将做匀速直线运动，由于小球所受洛伦兹力从a到O逐渐减小，从O到b逐渐增大，则小球对桌面的压力一直在增大，故B、C、D错误，A正确。
6．(5分)如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点。若该微粒经过p点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确的是(　B　)
A．微粒带负电
B．碰撞后，新微粒运动轨迹不变
C．碰撞后，新微粒运动周期不变
D．碰撞后，新微粒在磁场中所受洛伦兹力变大
解析：根据微粒的偏转方向，由左手定则可判断微粒带正电，故A错误；带电微粒和不带电微粒相碰，遵守动量守恒定律，总动量不变，总电荷量也保持不变，设带电微粒质量为m，不带电微粒质量为M，则mv＝(m＋M)v′，解得碰后速度v′＝，由qBv＝m，解得r＝＝，动量p、电荷量q都不变，可知微粒碰撞前后的轨迹半径r不变，故轨迹不变，故B正确；由周期公式T＝可知，因碰撞后微粒质量增大，故微粒运动的周期增大，故C错误；由洛伦兹力公式F＝qvB可知，由于碰撞后微粒速度减小，所以碰撞后新微粒在磁场中所受洛伦兹力减小，故D错误。
7．(5分) (多选)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从图中A点以水平速度v0垂直于磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了120°角，下列说法正确的是(　ACD　)
A．该粒子带正电
B．该粒子带负电
C．该粒子在磁场中运动的半径为r＝R
D．该粒子在磁场中运动的时间为t＝
解析：根据带电粒子的偏转方向，由左手定则可知，该粒子带正电，A正确，B错误；粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子做圆周运动的半径为r＝＝R，C正确；粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中的运动时间为t＝＝，D正确。
8．(5分) (2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m，电荷量为＋q的粒子以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　C　)
A. B．
C．(1＋) D．
解析：粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故选C。
9．(5分)(多选)空间中存在垂直于xOy平面的磁场，x＝a两侧的匀强磁场方向相反，x>a区域磁场的磁感应强度大小为x解析：因x>a区域磁场的磁感应强度大小为xa区域的圆周运动的轨迹半径的2倍。选项A图中粒子运动的轨迹半径为r1＝a区域运动的轨迹半径应该为r2′＝，则轨迹与y轴交点的纵坐标应该是y2＝2r2′sin 45°＝，B正确；选项C图中粒子在xa区域的轨迹半径，C错误；选项D图中粒子在xa区域的轨迹半径为r3′＝，则轨迹与y轴交点y3＝a＋2×＋a＝3a，D正确。
10．(5分) (多选)(2024·河北卷)如图所示，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是(　ACD　)
A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
解析：根据几何关系可知，若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必经过cd边，作出粒子运动轨迹图，如图甲所示，粒子从C点垂直于BC射出，故AC正确；
　　
若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，若粒子从cd边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图乙所示，
则粒子不可能垂直BC射出；若粒子从bc边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图丙所示，则粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。
11．(12分)(2022·江苏卷)利用云室可以知道带电粒子的性质。如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的轨迹是两条相切的圆弧，相同时间内的轨迹长度之比la∶lb＝3∶1，半径之比ra∶rb＝6∶1。不计重力及粒子间的相互作用力，求：
(1)粒子a、b的质量之比ma∶mb；
(2)粒子a的动量大小pa。
解析：(1)由题意知，带等量异号电荷(设电荷量大小均为q)的粒子a、b在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
qvaB＝ma，qvbB＝mb，
解得ra＝，rb＝，
又ra∶rb＝6∶1得mava∶mbvb＝6∶1。
因为相同时间内的轨迹长度之比
la∶lb＝3∶1，
则分裂后粒子a、b在磁场中运动的速度大小之比va∶vb＝3∶1，解得粒子a、b的质量之比ma∶mb＝2∶1。
(2)电中性粒子在A点分裂过程中动量守恒，根据动量守恒定律有mv＝mava＋mbvb，
又mava∶mbvb＝6∶1，
联立解得pa＝mava＝mv。
答案：(1)2∶1　(2)mv
12．(18分)(2025·河南郑州高三联考)如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)磁场区域的圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中运动的时间。
解析：(1)由题意可知电子在有界圆形磁场区域受洛伦兹力做圆周运动，设圆周运动轨迹半径为r，磁场的磁感应强度大小为B，则有ev0B＝m。
如图所示，过A、B点分别作速度方向的垂线交于C点，则C点为轨迹圆的圆心，已知电子在B点速度方向与x轴正方向之间的夹角为60°，
由几何关系得，轨迹的圆心角∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝r，已知OA＝L，得OC＝r－L，由几何知识得r＝2L，联立解得B＝。
(2)由于A、B、O在有界圆周上，∠AOB＝90°，得AB为有界磁场圆的直径，故AB的中点为磁场区域的圆心O1，O1的坐标为。
(3)电子做匀速圆周运动，则圆周运动的周期为T＝＝，电子在磁场中运动的时间t＝T＝＝。
答案：(1)　(2)　(3)