第十章　第5讲　实验十二：测量电源的电动势和内阻 讲义 （教师版）

第5讲　实验十二：测量电源的电动势和内阻
实验原理 实验操作 注意事项
1.电路图 2．原理：根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir，改变滑动变阻器的电阻，测多组U、I值，列方程组计算E、r 1.选量程、连线路：按原理图连接电路，注意电压表、电流表的量程和正、负接线柱的连接。 2．滑动变阻器滑片移到阻值最大一端。 3．测量：闭合开关，改变滑动变阻器阻值，测多组U、I值。 4．求解：利用公式法或图像法求E、r 1.为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池。 2．电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快。 3．要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些
数据 处理 方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小。 根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。 方法二：用作图法处理数据，如图所示。 (1)图线与纵轴交点为电动势E。 (2)图线的斜率的绝对值表示内阻r＝
误差 分析 1.读数不准确和电表线性不良引起误差。 2．用图像法求E和r时，由于作图不准确造成误差。 3．实验时通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 4．若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差值越大。其U－I图像如图丙所示。结论：E测＜E真，r测＜r真。 5．若采用图乙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流值越大，电流表的分压越多，对应的U真与U测的差值越大。其U－I图像如图丁所示。结论：E测＝E真，r测＞r真
考点一　教材原型实验
【典例1】　（2024·甘肃卷）精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响。可用器材有：电压表（量程1.5 V，内阻约为1.5 kΩ）、电流表（量程0.6 A）、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干。某小组开展了以下实验。
(1)考虑电流表内阻影响
①用图1所示电路测量电流表的内阻。从图2电压表和电流表读数可得电流表内阻RA＝1.0 Ω（结果保留两位有效数字）。
②用图3所示电路测量干电池电动势和内阻。电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用U、I、r和RA表示。则干电池电动势E＝U＋I(r＋RA)（用I、r和RA表示）。
③调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图4所示的U－I图像。则待测干电池电动势E＝1.40 V（结果保留三位有效数字）、内阻r＝1.0 Ω（结果保留一位小数）。
(2)考虑电压表内阻影响
该小组尝试用图5所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成。原因是D。
A．电路设计会损坏仪器
B．滑动变阻器接法错误
C．电压太大无法读数
D．电流太小无法读数
【解析】　(1)①由题图2可知，电压表读数为U＝0.60 V，电流表读数为I＝0.58 A，根据欧姆定律可得电流表内阻为RA＝＝ Ω≈1.0 Ω。
②由闭合电路欧姆定律可知，干电池电动势的表达式为E＝U＋I(r＋RA)。
③根据E＝U＋I(r＋RA)变形为U＝－(r＋RA)I＋E，根据图像可知，纵截距b＝E＝1.40 V，斜率的绝对值|k|＝r＋RA＝ Ω＝2.0 Ω，所以待测干电池电动势为E＝1.40 V，电源内阻为r＝1.0 Ω。
(2)由于将电压表串联接在电路中，电压表内阻很大，电路中电流太小，故无法完成实验的原因是电流太小无法读数，故选D。
1．（2023·浙江6月选考）在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
(1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到B（选填“A”“B”“C”或“D”）接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为1.20 V。
(2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝1.50 V和内阻r＝1.04 Ω。（结果均保留两位小数）
解析：(1)电压表测量的电压应为路端电压，开关应能控制电路，所以导线a端应连接到B处；干电池电动势约为1.5 V，电压表选择0～3 V量程，分度值为0.1 V，题图乙中电压表读数为1.20 V。
(2)作出U－I图像如图所示。
根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir，
可知U－I图像纵轴截距为干电池的电动势，可得E＝1.50 V。
U－I图像斜率的绝对值等于干电池的内阻可得，r＝ Ω≈1.04 Ω。
考点二　拓展创新实验
1．实验器材、数据获取上的创新
实验 方案 安阻法测电动势和内阻 伏阻法测电动势和内阻
实验 电路
实验 原理 E＝I1(R1＋r) E＝I2(R2＋r) E＝U1＋r E＝U2＋r
图像
2.测量电池的电动势和内阻时，有时会遇到实验需要的电表没有给出，或者给出的电表的量程不符合要求，如果电表的内阻已知（或可以看成理想电表），可以利用定值电阻对电表进行改装。
【典例2】　某研究小组用实验测量水果电池的电动势和内阻，把铜片和锌片相隔约1 cm插入一个柠檬中，就可制成一个水果电池，查阅资料后得知该水果电池的电动势约为1 V，内阻约为5 000 Ω。
(1)该小组设计了如下两种测量方案，如图甲所示，为减小测量误差，应选用方案二（选填“一”或“二”）。
(2)某同学选用方案二测量电路进行测量。闭合开关S，改变电阻箱R的阻值，并记录电阻箱阻值R和对应的电流表的示数I，然后作出R－图像，就可以求出水果电池电动势E和内阻r。
(ⅰ)已知电流表量程为150 μA，某次测量，电流表的示数如图乙所示，则电流表的示数为100 μA。
(ⅱ)把测量数据标在R－坐标系中，获得如图丙所示图像，根据图像可得水果电池的电动势为0.88 V（结果保留两位有效数字），同时可以求得水果电池内阻。
(ⅲ)若考虑电流表的内阻，则水果电池电动势的测量值等于（选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
【解析】　(1)对于方案一，产生误差的原因是电压表分流，测得的是电源和电压表并联组成的等效电源的电动势和内阻，即测量值E1＝E真（当外电路断路时，电源与电压表直接串联，根据串联电路分压可得），r1＝；对于方案二，产生误差的原因是电流表分压，测得的是电源和电流表串联组成的等效电源的电动势和内阻，即测量值E2＝E真，r2＝r真＋RA。由题知r真≈5 000 Ω，则由方案一测得的电动势和内阻误差均较大，由方案二测得的电动势无系统误差，测得的电源内阻误差较小，故选用方案二。
(2)(ⅰ)电流表最小分度值为5 μA，故电流表的示数为100 μA。
(ⅱ)若不考虑电流表内阻，可知有E＝I(r＋R)，所以R＝E·－r，由题图丙所示图像可知，图像斜率k＝E＝ V≈0.88 V。
(ⅲ)若考虑电流表的内阻，则有E＝I(r＋R＋RA)，即R＝E·－(r＋RA)，可知图像斜率仍为E，则水果电池电动势的测量值等于真实值。
2．某探究小组准备用图甲所示电路测量某电源的电动势和内阻，实验室准备的器材如下：
待测电源（电动势约2 V）；
电阻箱R（最大阻值为99.99 Ω）；
定值电阻R0（阻值为2.0 Ω）；
定值电阻R1（阻值为4.5 kΩ）；
电流表G（量程为400 μA，内阻Rg＝500 Ω）；
开关S，导线若干。
(1)图甲中将定值电阻R1和电流表G串联，相当于把电流表G改装成了一个量程为2 V的电压表。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值R和电流表G的示数I。
(3)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则和的关系式为＝·＋（用题中字母表示）。
(4)以为纵坐标，为横坐标，探究小组作出－图像如图乙所示，根据该图像求得电源的内阻r＝0.50 Ω，则其电动势E＝2.08（2.07～2.09均可） V（结果保留两位小数）。
(5)该实验测得的电动势E测与真实值E真相比，理论上E测＝（选填“>”“<”或“＝”）E真。
解析：(1)由串联电路的特点可知，U＝Ig(R1＋Rg)＝400×10-6×(4 500＋500)V＝2 V。
(3)由题图甲所示的电路图可知，R1与G串联后与电阻箱并联，然后再与R0串联，由闭合电路欧姆定律可知I(R1＋Rg)＝E－I＋I(r＋R0)，变形可得＝
·＋。
(4)由(3)中公式结合题图乙可知，
＝k＝ Ω/A＝6 000 Ω/A，解得E≈2.08 V。
(5)由以上分析可知本实验中电动势测量准确，即电动势的测量值等于电动势的真实值。
3．某兴趣小组测量一电源的电动势（约3 V）和内阻，该小组在实验室找到的器材：电压表（量程0～1 V，内阻1 kΩ）、电阻箱（量程0～999.9 Ω）、定值电阻R1＝1 kΩ和R2＝2 kΩ、开关和若干导线。具体操作：设计如图甲所示的电路图，连接电路，闭合开关，调节电阻箱，记录多组电阻箱的阻值R和电压表的读数U。
(1)电路图中与电压表串联的电阻应是R2（选填“R1”或“R2”）。
(2)根据实验电路图，用笔画线代替导线，完善图乙的实物电路图。
答案：见解析图
(3)实验得到的数据如下表所示：
组别 1 2 3 4 5 6 7
R/Ω 2.0 4.0 6.0 8.0 14.0 20.0 33.0
U/V 0.34 0.50 0.59 0.62 0.74 0.80 0.84
/Ω-1 0.50 0.25 0.17 0.13 0.07 0.05 0.03
/V-1 2.94 2.00 1.69 1.61 1.35 1.25 1.19
在图丙所示的坐标纸上，以为纵坐标，为横坐标的坐标系已标注出了与测量数据对应的坐标点，请你画出拟合的图像。
答案：见解析图
(4)根据图丙，电源的电动势E＝2.73 V，电源的内阻r＝3.49 Ω。（结果均保留两位小数）
(5)某同学发现图丙右上方的点较为稀疏，打算在横坐标为0.3～0.4之间再加测一组数据，应将电阻箱阻值调为3.0（选填“1.0”“3.0”“5.0”或“7.0”）Ω再次测量。
解析：(1)根据电压表改装原理U＝Ug＋R，要将量程为1 V、内阻为1 kΩ的电压表改装成量程为3 V的电压表，需串联电阻的阻值为R＝2 kΩ，故电路图中与电压表串联的电阻应是R2。
(2)电路图如图所示。
(3)－图像如图所示。
(4)根据闭合电路的欧姆定律有E＝I(R＋r)＝(R＋r)＝(R＋r)，整理得＝·＋，
截距为＝1.10 V-1，解得电源的电动势为E≈2.73 V。
斜率为k＝＝ A-1，解得电源的内阻为r≈3.49 Ω。
(5)由题意知0.3 Ω-1≤≤0.4 Ω-1，
可得电阻满足2.5 Ω≤R≤3.3 Ω，
应将电阻箱阻值调为3.0 Ω再次测量。
课时作业53
1．（6分）（2024·北京卷）某兴趣小组利用铜片、锌片和橘子制作了水果电池，并用数字电压表（可视为理想电压表）和电阻箱测量水果电池的电动势E和内阻r，实验电路如图甲所示。连接电路后，闭合开关S，多次调节电阻箱的阻值R，记录电压表的读数U，绘出图像，如图乙所示，可得：该电池的电动势E＝1.0 V，内阻r＝3.3 kΩ。（结果均保留两位有效数字）
解析：由闭合电路欧姆定律得E＝U＋r，解得U＝－r＋E，结合题图乙可得E＝1.0 V，r＝|k|＝ Ω＝3.3 kΩ。
2．（12分）（2023·湖北卷）某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如图甲所示电路，所用器材如下：
电压表（量程0～3 V，内阻很大）；
电流表（量程0～0.6 A）；
电阻箱（阻值0～999.9 Ω）；
干电池一节、开关一个和导线若干。
(1)根据图甲，完成图乙中的实物图连线。
答案：见解析图
(2)调节电阻箱到最大阻值，闭合开关。逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U。根据记录数据作出的U－I图像如图丙所示，则干电池的电动势为1.58 V（结果保留三位有效数字），内阻为0.64（0.62～0.66均可） Ω（结果保留两位有效数字）。
(3)该小组根据记录数据进一步探究，作出－R图像如图丁所示。利用图丁中图像的纵轴截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表内阻为2.5 Ω（结果保留两位有效数字）。
(4)由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值偏小（选填“偏大”或“偏小”）。
解析：(1)实物图连线如图所示。
(2)由闭合电路欧姆定律可得U＝E－Ir，结合题图丙可知，干电池的电动势E＝1.58 V，内阻r＝ Ω≈0.64 Ω。
(3)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(R＋RA＋r)，整理可得＝·R＋，结合题图丁可知＝2 A-1，解得RA≈2.5 Ω。
(4)电压表内阻不是无穷大，设为RV，根据闭合电路欧姆定律有E真＝U＋r真，变形可得U＝－I，则干电池内阻测量值r与真实值r真的关系为r＝，可知实验测得的干电池内阻实际是电压表内阻与干电池内阻的并联电阻阻值，即干电池内阻的测量值偏小。
3．（15分）（2022·天津卷）实验小组测量某型号电池的电动势和内阻。用电流表、电压表、滑动变阻器、待测电池等器材组成如图甲所示实验电路，由测得的实验数据绘制成的U－I图像如图乙所示。
(1)图甲中的电路图为下图中的B（选填“A”或“B”）。
(2)如果实验中所用电表均视为理想电表，根据图乙得到该电池的电动势E＝4.5 V，内阻r＝1.8 Ω。
(3)实验后进行反思，发现上述实验方案存在系统误差。若考虑到电表内阻的影响，对测得的实验数据进行修正，在图乙中重新绘制U－I图线，与原图线比较，新绘制的图线与横坐标轴交点的数值将不变，与纵坐标轴交点的数值将变大。（两空均选填“变大”“变小”或“不变”）
解析：(1)通过观察题图甲中的实物图可知电压表接在电源两端，故电路图为B。
(2)根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir，有U＝－Ir＋E，则U－I图线在纵轴上的截距表示电池的电动势E，斜率的绝对值表示电池的内阻r，根据图像可知，纵轴截距为4.5，横轴截距为2.5，结合上述分析可知电池电动势E＝4.5 V，内阻r＝ Ω＝1.8 Ω。
(3)分析测量电路可知系统误差的来源是电压表的分流作用，使得电流表的示数小于流过电池的电流，考虑电压表内阻RV的影响，流过电压表的电流为IV＝，可知流过电池的电流为I＝I测＋，I>I测，
因电压表内阻RV不变，随着电压U测值减小，电压表中电流IV减小，当电压U测值趋于0时，I趋于I测，在题图乙中重新绘制的U－I图线如图所示，
故新绘制的图线与横坐标轴交点的数值将不变，与纵坐标轴交点的数值将变大。
4．（12分）（2024·辽宁卷）某探究小组要测量电池的电动势和内阻。可利用的器材有：电压表、电阻丝、定值电阻（阻值为R0）、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干。他们设计了如图所示的实验电路原理图。
(1)实验步骤如下：
①将电阻丝拉直固定，按照图甲连接电路，金属夹置于电阻丝的A（选填“A”或“B”）端。
②闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U，断开开关S，记录金属夹与B端的距离L。
③多次重复步骤②，根据记录的若干组U、L的值，作出图丙中图线Ⅰ。
④按照图乙将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组U、L的值，作出图丙中图线Ⅱ。
(2)由图线得出纵轴截距为b，则待测电池的电动势E＝。
(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2，若＝n，则待测电池的内阻r＝（用n和R0表示）。
解析：(1)①为了保护电路，闭合开关前，金属夹置于电阻丝的最大阻值处，由题图可知，应该置于A端。
(2)对于电路图甲，根据闭合电路欧姆定律有U＝E－Ir，设金属丝的电阻率为ρ，横截面积为S，结合欧姆定律和电阻定律I＝，R＝ρ，联立可得U＝E－r，整理可得＝＋·。对于电路图乙，根据闭合电路欧姆定律有U＝E－I(r＋R0)，结合欧姆定律和电阻定律I＝，R＝ρ，联立后整理＝＋·，可知图线的纵轴截距b＝，解得E＝。
(3)由题意可知k1＝，k2＝，又＝n，联立解得r＝。
5．（15分）一实验小组利用图甲所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5 V）和内阻r（小于2 Ω）。图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9 Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选15.0（选填“5.0”或“15.0”）Ω。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U。
(3)根据图甲所示电路，用R、R0、RV、E和r表示，得＝·R＋＋。
(4)利用测量数据，作－R图线，如图乙所示。
(5)通过图乙可得E＝1.55 V（结果保留两位小数），r＝1.0 Ω（结果保留一位小数）。
(6)若将图甲中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E′，由此产生的误差为×100%＝5%。
解析：(1)闭合开关后，电阻箱接入电路的阻值越大，电压表示数越小。若闭合开关后，电压表满偏，则有＝，代入数据解得R＝7.5 Ω，因此闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选15.0 Ω。
(3)由闭合电路的欧姆定律可得E＝U＋(R＋r)，化简可得＝·R＋＋。
(5)由＝·R＋＋，可得＝k＝，＋＝b＝＋，则E＝，r＝－19，由题图丙－R图线[例如取点(9.5，1.00)和(24，1.50)分析]可得k≈0.034，b≈0.68，将其代入E、r的表达式，可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
(6)若将题图甲中的电压表当成理想电压表，则有＝＋＋R，可得＝k＝，即E′＝，因此误差为×100%＝×100%＝5%。