第四章　第2讲　抛体运动的规律 讲义 （教师版）

第2讲　抛体运动的规律
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法：运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：自由落体运动。
(4)基本规律
如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立平面直角坐标系。
①位移与时间的关系
②速度与时间的关系
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法：运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：匀变速直线运动。
(4)基本规律（以斜上抛运动为例，如图所示）
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0。
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
教材链接·想一想 根据人教版教材必修第二册P17的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算在如图所示的斜抛运动中，当θ为何值时射程最大？
提示：初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。
在水平方向，物体的位移为x＝v0xt＝(v0cos θ)·t①，
在竖直方向，物体的位移为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2②，
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由②式得总时间t总＝，
将时间t总代入①式得物体的射程x＝，
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
1．以一定初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(　×　)
2．做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(　×　)
3．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(　×　)
4．做平抛运动的物体初速度越大，在空中飞行的时间越长。(　×　)
5．从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。(　√　)
6．无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(　√　)
7．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(　√　)
考点一　平抛运动基本规律的应用
1．平抛运动的时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt（如图所示）。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔Δt内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
【典例1】　（2022·全国甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力，求在抛出瞬间小球速度的大小。
【解析】　频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故题图中相邻两球影像的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s，设抛出瞬间小球的速度大小为v0，s1、s2所对应的水平方向上的位移均为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动规律有x＝v0t，y1＝gt2，y1＋y2＝g(2t)2，由平行四边形定则，有s1＝，s2＝，由题知s1∶s2＝3∶7，联立解得v0＝ m/s。
【答案】　 m/s
1．（2024·湖北卷）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若青蛙以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　C　)
A．荷叶a上 B．荷叶b上
C．荷叶c上 D．荷叶d上
解析：青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有 x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大时初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面，故选C。
2．（多选）如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　ACD　)
A．b和c的运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b的加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
解析：b、c抛出时的高度相同，且小于a抛出时的高度，根据h＝gt2得t＝，可知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，A正确，B错误；由于a和b都做平抛运动，只受竖直方向的重力作用，故a和b的加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的两倍，D正确。
考点二　与斜面和曲面相关的平抛运动问题
1．常见相关类型
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度方向与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
2.解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
考向1斜面约束的平抛运动
【典例2】　（多选）如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球（可视为质点），不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　ACD　)
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C.落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
思路点拨　解此题要把握以下关键信息
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球的两分速度大小相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，则飞行时间相等。
(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
【解析】　落于C点的小球速度方向垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面上，故两小球飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，可得h＝gt2，故A点距水平面MN的高度H＝h＋gt2＝gt2，D正确。
考向2曲面约束的平抛运动
【典例3】　（2025·湖北宜昌高三期中）如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以向右的水平初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，不计空气阻力，下列说法正确的是(　B　)
A．B比A先到达P点
B．两物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶7
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶1
【解析】　两物体同时抛出，都落到P点，由平抛运动规律可知两物体下落相同的竖直高度，由h＝gt2可得t＝，故两物体同时到达P点，故A错误，B正确；如图所示，由平抛运动规律，在水平方向两物体抛出的水平距离之比等于抛出速度之比，设圆的半径为R，连接BP，由几何关系可知AP⊥BP，由直角三角形可得由A点和B点平抛的物体的水平位移大小分别为xA＝AP·cos 37°＝2R cos 37°·cos 37°＝R，xB＝2R－xA＝R，物体平抛的水平分运动是匀速直线运动，x＝v0t，故＝＝＝，故C、D错误。
3．（2025·福建厦门高三阶段检测）如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　C　)
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
解析：由题意可得，对球1有tan α＝＝，对球2有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确。
4．（2025·河北衡水检测）如图所示，B为半径为R的竖直光滑圆弧的左端点，B点和圆心O连线与竖直方向的夹角为α，一个质量为m的小球在圆弧轨道左侧的A点以水平速度v0抛出，恰好沿圆弧在B点的切线方向进入圆弧轨道。已知重力加速度为g。下列说法正确的是(　B　)
A．A、B连线与水平方向夹角为α
B．小球从A运动到B的时间t＝
C．小球运动到B点时，重力的瞬时功率P＝
D．小球运动到竖直圆弧轨道的最低点时，处于失重状态
解析：平抛运动水平方向分运动为匀速直线运动，竖直方向分运动为自由落体运动，小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道，说明小球在B点时，合速度方向沿着圆弧轨道的切线方向。将合速度正交分解，根据几何关系可得，其与水平方向的夹角为α，则tan α＝，解得t＝，设A、B连线与水平方向夹角为θ，则tan α＝2tan θ，此时θ不等于α，A错误，B正确；小球运动到B点时，重力的瞬时功率P＝mgvy＝mgv0tan α，C错误；小球运动到竖直圆弧轨道的最低点时，有向上的加速度，所以处于超重状态，D错误。
考点三　平抛运动的临界极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
【典例4】　2024年9月15日晚，2024世界沙滩排球职业巡回赛（中国青岛站）在西海岸新区金沙滩景区落下帷幕，中国女排包揽冠亚军。如图为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动（排球可看作质点，忽略空气阻力），重力加速度为g，则排球(　C　)
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网而不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
【解析】　根据平抛运动的两个分运动规律x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，带入轨迹方程可得最小初速度为v0min＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝，故B错误；能过网而不出界且落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，带入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝＝，故D错误。
5．（2023·新课标卷）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度为g）
解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝vy2，可得落到水面上时的竖直速度大小为vy＝，由题意可知≤tan θ，即v0≥，则石子抛出速度的最小值为。
答案：
考点四　对斜抛运动的理解和分析
1．斜上抛运动的飞行时间、射高、射程
(1)在最高点时：vy＝0，t＝。
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，飞行时间t总＝。
(2)射高：Hm＝。
(3)射程：xm＝。
当θ＝45°时，射程xm最大，即初速度v0大小一定时，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
2．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动物体从抛出点到最高点的运动过程，可以逆向看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解有关问题。
【典例5】　如图所示，射水鱼发现前方有一昆虫，就将嘴露出水面对昆虫喷水，斜向上射出的水滴恰好水平击中昆虫。已知鱼嘴距离昆虫d＝0.75 m，两者连线与水平方向夹角为θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　B　)
A．水滴在空中运动0.5 s后击中昆虫
B．击中昆虫时，水滴速度大小为2 m/s
C．斜向上射出的水滴，初速度大小为3 m/s
D．斜向上射出的水滴，初速度方向与水平方向夹角为53°
【解析】　由水滴竖直方向的运动可得d sin 37°＝gt2，解得水滴从发射到击中昆虫的时间t＝0.3 s，故A错误；由水滴水平方向的运动可得d cos 37°＝v0xt，解得初速度的水平分速度v0x＝2 m/s，故B正确；由水滴竖直方向的运动可得初速度的竖直分速度v0y＝gt＝3 m/s，斜向上射出的水滴，初速度大小v0＝＝ m/s，故C错误；斜向上射出的水滴，设初速度方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝，又tan 53°＝，故斜向上射出的水滴初速度方向与水平方向夹角不等于53°，故D错误。
6．（多选）（2024·江西卷）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　AD　)
解析：小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且在最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。
课时作业21
1．（5分）（2024·江苏卷）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b喷出水的(　A　)
A．加速度相同 B．初速度相同
C．在最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
解析：不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水在竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向上根据对称性可知，喷泉喷出的水在空中运动的时间t＝2，则tb>ta，D错误；喷泉喷出的水在最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝＝，由题图可知两喷泉喷出的水在水平方向的位移大小相等，可知vxa>vxb，C错误；由v＝2gh可知vya2．（5分）（2024·浙江1月选考）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A点。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　C　)
A． B．
C． D．（＋1）D
解析：设出水口到水桶中心的水平距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时有x＋＝
v0，解得v0＝·，故选C。
3．（5分）某同学观察一平抛小球，发现当小球抛出0.3 s后小球的速度方向与水平方向成37°角，落地时速度方向与水平方向成60°角，小球可看作质点，已知tan 37°＝，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　B　)
A．小球的初速度大小为5 m/s
B．小球落地时速度大小为8 m/s
C．小球抛出时距离地面的高度为3.2 m
D．小球抛出后的水平射程为 m
解析：当小球抛出0.3 s后小球的竖直分速度为vy1＝gt1＝3 m/s，则此时小球在水平方向的分速度大小为v0＝＝4 m/s，故A错误；小球落地时竖直方向的分速度大小为vy2＝v0tan 60°＝4 m/s，则小球落地时速度大小为v＝＝8 m/s，故B正确；小球抛出时距离地面的高度为h＝＝2.4 m，故C错误；小球下落时间为t＝＝ s，小球抛出后的水平射程为x＝v0t＝ m，故D错误。
4．（5分）如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O点为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度大小为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移大小y＝R，而v＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，A正确，B、C、D错误。
5．（5分）（2025·浙江精诚联盟高三联考）如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以12 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直打在倾角θ＝37°斜坡上的A点。不计空气阻力，下列说法正确的是(　B　)
A．物资落到A点的时间为0.9 s
B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为19.2 m
C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直打在斜坡上
D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变
解析：物资垂直打在斜坡上的A点时，设竖直方向的速度大小为vy，在A点进行运动的合成与分解，如图所示，根据vy＝＝gt，解得物资落到A点的时间为t＝1.6 s，故A错误；物资弹出的位置离落地点的水平距离为x＝v0t＝19.2 m，故B正确；若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，相当于将图中轨迹向下平移，速度沿运动轨迹的切线方向，可知物质不可能垂直打在斜面上，故C错误；若其他条件不变，弹出的初速度减小，与落在A点比较，运动相同时间物资会落到A点所在水平面左侧，可知物资最终会落在A点左下方，在竖直方向由h＝gt2可知下落时间变长，故D错误。
6．（5分）（2023·湖南卷）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　B　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
解析：忽略空气阻力，则抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，由竖直方向的分运动可知，两谷粒从O到P的运动时间t2>t1，从O到P两谷粒在水平方向的位移相同，由水平方向做匀速直线运动知，两谷粒的水平分速度关系为v2x7．（5分）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a＝2.5 m的正方形，斜面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　B　)
A．小球在斜面上运动的时间为0.5 s
B．小球在B点的速度大小为2.5 m/s
C．小球在D点的速度大小为5 m/s
D．小球的速度变化量大小为10 m/s
解析：对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律可得mg sin 30°＝ma′，解得a′＝5 m/s2，方向沿斜面向下；小球从B点到D点做类平抛运动，水平方向有a＝v0t，沿斜面向下的方向有a＝a′t2，联立解得t＝1 s，v0＝2.5 m/s，故A错误，B正确；沿斜面向下的方向有vy＝a′t＝5 m/s，小球在D点的速度大小为vD＝＝2.5 m/s，故C错误；小球的速度变化量大小为Δv＝vy＝5 m/s，故D错误。
8．（5分）如图所示，乒乓球台的水平长度为2L，中间的球网高度为h，运动员在球台左上方将球水平发出，发球点距球台左边缘O点的水平距离为L，球在己方台面上反弹后恰好掠过球网并落在对方球台边缘P处，虚线为乒乓球运动的轨迹。已知乒乓球在台面上反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变但方向相反，Q为乒乓球在己方台面上的落点，O、P、Q在同一直线上，且OP与球台侧边平行，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　C　)
A．发球点距O点的竖直高度为h
B．发球点距O点的竖直高度为h
C．发球速度大小为L
D．发球速度大小为L
解析：从乒乓球反弹到运动到最高点的逆过程看作反向平抛运动，则整个运动可看作3次平抛运动，总的水平位移为x总＝2L＋L＝L，设发球点距O点的竖直高度为H，对于每次平抛运动，有L＝v0t，H＝gt2，乒乓球掠过球网后到达最高点的过程可看作反向的平抛运动，设此过程的运动时间为t1，则L＝v0t1，gt＝H－h，以上各式联立解得H＝h，v0＝L，故选C。
9．（5分）如图所示，三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C。O′是O在水平面上的投影点，且O′A∶AB∶BC＝1∶3∶5。若不计空气阻力，则下列说法正确的是(　A　)
A．三个小球水平初速度大小之比为v1∶v2∶v3＝1∶4∶9
B．三个小球落地的速度大小之比为1∶3∶5
C．三个小球通过的位移大小之比为1∶∶
D．三个小球落地速度方向与水平地面夹角的正切值之比为9∶4∶1
解析：三个小球均做平抛运动，竖直高度相同，根据h＝gt2可知运动时间相同，根据v＝可知，水平初速度大小之比等于水平位移大小之比，即v1∶v2∶v3＝1∶4∶9，A正确；根据vy＝可知，三个小球落地的竖直速度相等，则落地速度大小v＝，则落地速度大小之比不等于1∶3∶5，B错误；三个小球通过的竖直位移大小相等，水平位移大小之比为x1∶x2∶x3＝1∶4∶9，位移大小s＝，可知位移大小之比不等于1∶∶，C错误；小球落地速度与水平地面夹角的正切值tan θ＝＝，则三个小球落地速度方向与水平地面夹角的正切值之比为∶∶＝36∶9∶4，D错误。
10．（5分）我国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝。如图甲所示，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里，可将该过程简化为如图乙的示意图，小面片刚被削离时距开水锅的高度为L，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，若将削出的小面片的运动视为平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面片的描述正确的是(　A　)
A.空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大
B．掉落位置不相同的小面片，从削离到落水前瞬间速度的变化量不同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若初速度为v0，则解析：面片飞行过程中在水平方向做匀速直线运动，各面片初速度大小可能不同，若先飞出的面片初速度较大，则空中相邻两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大，故A正确；掉落位置不相同的小面片，下落高度相同，由h＝gt2可知，下落的时间相等，由Δv＝gt可知，从削离到落水前瞬间速度的变化量相等，故B错误；由L＝gt2可知，下落时间为t＝，水平位移的范围为L11．（5分）（多选）自由式滑雪U形比赛场地可简化为如图甲所示的模型，滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为θ。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD的夹角为(90°－θ)，腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道，腾空过程（从M点运动到N点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　BCD　)
A．运动员腾空过程中处于超重状态
B．运动员腾空过程中离开AD的最大距离为
C．运动员腾空的时间为
D．M、N两点的距离为
解析：运动员腾空过程中加速度大小为g，方向竖直向下，运动员一直处于失重状态，故A错误；运动员在M点时垂直AD方向的速度大小v1 ＝v sin (90°－θ)，垂直AD方向的加速度大小为a1＝g cos θ，设运动员腾空过程中离开AD的最大距离为d, 根据匀变速直线运动的规律有v＝2a1d，解得d＝，故B正确；运动员从M点运动到距离AD最远所用的时间t0＝＝＝，根据对称性可知，运动员腾空的时间t＝2t0＝，故C正确；运动员在 M点时平行AD方向的速度大小v2 ＝v cos (90°－θ)，平行AD方向的加速度大小为a2＝g sin θ，根据匀变速直线运动的规律可知， M、N两点的距离x＝v2t＋a2t2＝，故D正确。
12．（5分）（多选）（2024·山东卷）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。关于在此运动过程中的重物，下列说法正确的是(　BD　)
A．运动时间为2 s
B．落地速度方向与水平方向夹角为60°
C．重物离P、Q连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
解析：将重物的初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2，则有a1＝g sin 30°＝5 m/s2，a2＝g cos 30°＝5 m/s2，在垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为 t＝2＝4 s，重物离P、Q连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小为vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间为t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝gt＝45 m，故D正确。
13．（20分）如图所示为某滑雪场地的侧视简图，它由助滑雪道和着陆坡构成，着陆坡与水平面的夹角θ＝30°。某次滑雪过程中，运动员在O点以一定速度斜向上离开轨道，经过最高点M后落在斜坡上的B点，落地时速度方向与斜面夹角β＝30°，M点正好位于水平轨道和斜坡衔接点A的正上方，已知M点与A点的高度差h＝10 m，O点与A点的水平距离x＝20 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)运动员在O点时速度的大小；
(2)运动员在空中运动的时间；
(3)A、B两点间距离。
解析：(1)运动员由O到M过程，根据斜抛运动规律有h＝gt，x＝vxt1，v＝2gh，vO＝，联立解得vO＝20 m/s，t1＝ s，vx＝10 m/s。
(2)运动员落地时速度方向与斜面夹角β＝30°，则此时竖直向下的速度大小为v′y＝
vx tan (θ＋β)＝10 m/s，由M到B过程，根据平抛运动规律有v′y＝gt2，解得t2＝ s，运动员在空中运动的时间为t＝t1＋t2＝（＋） s。
(3)运动员在空中运动过程，水平方向速度一直不变，M与B的水平距离为x′＝vxt2＝20 m，A、B两点间距离L＝＝40 m。
答案：(1)20 m/s　(2)（＋）s　(3)40 m