第四章　第3讲　圆周运动 讲义 （教师版）

第3讲　圆周运动
1．匀速圆周运动及其描述
(1)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
②特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
③条件：合力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
(2)运动参量
项目 定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v) v＝＝ 单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) ω＝＝ 单位：rad/s
周期 物体沿圆周运动一周的时间(T) T＝＝，单位：s f＝，单位：Hz n＝，单位：r/s
向心加 速度 描述速度方向变化快慢的物理量(an) 方向指向圆心 an＝＝rω2 单位：m/s2
2.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
教材链接·想一想 根据人教版教材必修第二册P37“思考与讨论”想一想：如果把地球看成一个巨大的拱形桥，行驶的汽车对地面的压力还等于汽车的重力吗？
提示：行驶的汽车对地面的压力小于汽车的重力，且汽车速度越大对地面的压力越小。
3．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动所需的向心力时，就做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点（如图所示）
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
②当0＜F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心。
③当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于物体做匀速圆周运动需要的向心力。
1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(　×　)
2．物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的。(　×　)
3．物体做匀速圆周运动时，其所受合力是变力。(　√　)
4．匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。(　×　)
5．做匀速圆周运动的物体，当所受合力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。(　×　)
6．摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(　×　)
7．向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　√　)
8．变速圆周运动的向心力不指向圆心。(　×　)
考点一　圆周运动的运动学分析
1．描述圆周运动的物理量间的关系
2．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
【典例1】　（多选）如图甲是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(　BC　)
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
【解析】　由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图乙可知，P、Q两点线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以P点线速度大小v＝ωr＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度大小vc＝ωrc＝2nπrc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝＝＝ r/s＝25 r/min，故D错误。
1．（2024·辽宁卷）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图所示，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　D　)
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
解析：由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确；由题图可知，球面上P、Q两点做圆周运动半径的关系为rP2．如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　D　)
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度大小之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
解析：A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，故A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比＝＝，故B、C错误；对a、b两点，由an＝，得＝＝，对b、c两点，由an＝ω2r，得＝＝，故ana∶anb∶anc＝9∶6∶4，故D正确。
考点二　圆周运动的动力学问题
1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种力提供，也可以由几个力的合力或某个力的分力提供，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．匀速圆周运动中向心力来源
运动 模型 向心力的 来源图示 运动 模型 向心力的 来源图示
飞机水 平转弯 火车 转弯
圆锥摆 飞车 走壁
汽车在 水平路 面转弯 水平 转台 （光滑）
3.变速圆周运动合力与向心力的特点
做变速圆周运动的物体所受合力方向一般不指向圆心，可以将合力分解为如下两个分力，如图所示。
(1)切向分力Fτ：产生切向加速度aτ，只改变线速度的大小；当aτ与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)指向圆心的分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
考向1向心力的来源分析
【典例2】　如图所示，两个质量均为m的小木块A、B（可视为质点）放在水平圆盘上，A、B到转轴OO′的距离分别为l、2l。小木块与圆盘之间的动摩擦因数均为μ，可以认为小木块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若圆盘从静止开始绕轴转动，并缓慢地加速，用ω表示圆盘转动的角速度，用g表示重力加速度的大小，下列说法正确的是(　D　)
A．圆盘对A的作用力大小大于A对圆盘的作用力大小
B．当ω＝时，A所受摩擦力的大小为μmg
C．A、B所受摩擦力的大小始终相等
D．B一定比A先开始滑动
【解析】　圆盘对A的作用力与A对圆盘的作用力是相互作用力，总是等大反向，A错误；当ω＝时，A所受摩擦力的大小为fA＝mω2l＝μmg，B错误；根据f＝mω2r可知，在两物块未发生相对滑动时，A、B所受摩擦力的大小不相等，当两物块都产生相对滑动后所受滑动摩擦力大小相等，均为μmg，C错误；根据mωr＝μmg，可知ω0＝，可知产生滑动时B的临界角速度较小，则B一定比A先开始滑动，D正确。
【典例3】　如图所示为游乐场“丛林飞椅”游戏的简化模型，A小球绕轴O1O2在水平面内做匀速圆周运动，则关于A小球受力分析正确的是(　C　)
A．受到的合力方向指向AO3
B．受到重力、拉力和向心力的作用
C．细绳对小球的拉力大于小球受到的重力
D．若转速逐渐降低，则小球的向心力变大
【解析】　A小球绕轴O1O2在水平面内做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供向心力可知，受到的合力方向指向AO2，故A错误；A小球受到重力、拉力作用，向心力是效果力，实际上不存在，故B错误；结合上述，对小球进行分析，令细绳与水平方向夹角为θ，则有T sin θ＝mg，解得T＝，可知细绳对小球的拉力大于小球受到的重力，故C正确；若转速逐渐降低时，角速度减小，转动半径减小，则由F＝mω2r可知，小球的向心力变小，故D错误。
考向2圆周运动的动力学问题
【典例4】（2024·广东卷）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动，若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　A　)
A．r B．l
C．r D．l
【解析】　由题意可知，当插销刚卡紧固定端盖时，弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销由弹力提供向心力得F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，故A正确。
【典例5】　如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图像如图乙所示，则(　D　)
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
D．当v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力相等
【解析】　设绳长为R，由牛顿第二定律知，小球在最高点满足T＋mg＝m，即T＝m－mg，由题图乙知，当v2＝0时，T＝－a，有a＝mg，当v2＝b时，T＝0，有b＝gR，所以g＝，R＝，故A、B错误；当v2＝c时，有T＋mg＝m，将g和R的值代入得T＝－a，故C错误；当v2＝2b时，由T＋mg＝m可得T＝a＝mg，故小球受到的弹力大小与重力相等，故D正确。
圆周运动的动力学问题的分析思路
3．（多选）如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，A、B两个质量相同的小球分别在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　CD　)
A．A、B球受到的支持力大小之比为∶3
B．A、B球的向心力大小之比为∶1
C．A、B球运动的角速度大小之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度大小之比为1∶1
解析：设小球受到的支持力大小为FN，向心力大小为F，则有FNsin θ＝mg，则FNA∶FNB＝∶1，A错误；F＝，则FA∶FB＝3∶1，B错误；小球运动轨道高度相同，半径R＝h tan θ，则RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，D正确。
4．如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即保证在两个轨道间距不变的情况下调整两个轨道的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，当地重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　D　)
A．火车运动的圆周平面为乙图中的a
B．在该转弯处规定行驶的速度为v＝
C．火车运动速度超过转弯规定速度时内轨会给内侧车轮弹力作用
D．适当增大内、外轨高度差可以对火车进行有效安全的提速
解析：火车运动的圆周平面为水平面，即题图乙中的b，故A错误；根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝m，可得在该转弯处规定行驶的速度为v＝，故B错误；若火车在转弯处行驶的速度超过规定速度，则重力和轨道的支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有做离心运动的趋势，此时火车将会挤压外轨，则外轨会给外侧车轮弹力作用，故C错误；适当增大内、外轨高度差，则根据v＝可知，θ角变大，则v变大，则可以对火车进行有效安全的提速，故D正确。
5．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔（小孔光滑），另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化（可视为一系列半径不同的圆周运动）。下列判断正确的是(　B　)
A．小球Q的位置越来越高
B．细线的拉力变小
C．小球Q运动的角速度变大
D．P受到桌面的静摩擦力变大
解析：由于小球受到空气阻力作用，线速度变小，则所需要的向心力变小，小球做近心运动，小球的位置越来越低，故A错误；设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，当小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示，则有FT＝，mg tan θ＝m＝mω2L sin θ，解得ω＝，由于小球受到空气阻力作用，线速度变小，则θ变小，cos θ变大，因此，细线的拉力FT变小，角速度ω变小，故B正确，C错误；对金属块P，由平衡条件知，P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，则P受到桌面的静摩擦力变小，故D错误。
课时作业22
1．（5分）如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑。下列说法正确的是(　A　)
A．汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力
B．汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力
C．汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力
D．汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变
解析：汽车转弯时靠静摩擦力提供向心力，A正确，B、C错误；根据静摩擦力提供向心力，有Ff＝Fn＝m，半径不变，速度减小时，所需向心力减小，则汽车受到的静摩擦力减小，D错误。
2．（5分）（2023·全国甲卷）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，k为比例系数，合力提供向心力，根据F合＝Fn＝mr，联立可得Fn＝r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n＝3，故选C。
3．（5分）（2025·山东济南高三阶段检测）运球转身是篮球运动中重要的技术动作。如图所示为运动员运球转身的瞬间，此时运动员和篮球保持相对静止绕OO′轴转动，手臂上的A点与篮球边缘的B点到转轴的距离之比r1∶r2＝1∶3，下列说法正确的是(　D　)
A．A、B两点角速度大小之比ω1∶ω2＝1∶3
B．A、B两点的线速度大小之比v1∶v2＝1∶1
C．A、B两点的周期之比T1∶T2＝3∶1
D．A、B两点的向心加速度大小之比a1∶a2＝1∶3
解析：A、B两点属于同轴转动，角速度相等，则ω1∶ω2＝1∶1，故A错误；由v＝ωr可得vA∶vB＝1∶3，故B错误；周期T＝，A、B周期相等，所以T1∶T2＝1∶1，故C错误；由a＝ω2r，可知A、B两点的向心加速度大小之比a1∶a2＝1∶3，故D正确。
4．（5分）如图所示是一皮带传动装置示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，B点在小轮上，到轮轴的距离为r，C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，则关于A、B、C、D四点的比较，下列说法正确的是(　D　)
A．vA∶vB∶vC＝1∶2∶1
B．ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶2
C．aA∶aB∶aC＝2∶1∶1
D．aA∶aC∶aD＝2∶1∶2
解析：同皮带转动时有vA＝vC，又因为B、C、D点绕同一转轴转动，所以ωB＝ωC，并且rC∶rB＝2∶1，根据线速度表达式v＝ωr可得vA∶vB∶vC＝2∶1∶2，故A错误；因为B、C点在同一个转轮上，所以ωB＝ωC，同皮带转动时有vA＝vC，通过v＝ωr可得ωA∶ωC＝2∶1，所以有ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，故B错误；由向心加速度公式a＝ω2r＝可知，aA∶aB∶aC∶aD＝4∶1∶2∶4，故C错误，D正确。
5．（5分）（2024·江苏卷）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　C　)
A．线速度vA＞vB B．角速度ωA＞ωB
C．向心加速度aA＜aB D．向心力FA＞FB
解析：设细绳与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由题图可看出小球从A高度到B高度时θ增大，则有aA6．（5分）太极球是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落。现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，A为圆周的最高点，C为最低点，B、D两点与圆心O等高且在B、D处平板与水平面夹角为θ。设小球的质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g。若小球运动的周期为T＝2π，则(　D　)
A．在A处，平板对小球的作用力大小为mg
B.在C处，平板对小球的作用力大小为3mg
C．在B处，小球一定受两个力的作用
D．在A、C处平板对小球作用力大小的差值为2mg
解析：在A处，对小球由牛顿第二定律有FNA＋mg＝mR，解得FNA＝2mg，同理在C处，对小球由牛顿第二定律有FNC－mg＝mR，解得FNC＝4mg，在A、C处平板对小球作用力大小的差值为2mg，故A、B错误，D正确；在B处，小球可能只受重力和支持力两个力作用，也可能受重力、支持力和摩擦力三个力作用，故C错误。
7．（5分）（多选）（2025·福建泉州高三检测）如图所示，水平圆盘的圆心O处开一小孔，沿径向固定一长度为L的细玻璃管PQ，P端与圆盘边缘重合，Q端与圆心O重合，管内有一半径略小、质量为m的小球，系在小球上的轻绳穿过小孔，下端悬挂重物，圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO′匀速转动，转速为n时重物处于悬停状态，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是(　BC　)
A．小球越靠近Q端，悬停的重物质量越大
B．小球越靠近Р端，悬停的重物质量越大
C．若小球处于玻璃管正中间，悬停的重物质量为
D．若略微增大圆盘转速，重物将上升一定高度后再悬停
解析：设重物质量为M，重物悬停时，轻绳拉力等于重物重力，轻绳对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力，有Mg＝mω2r，又ω＝2πn，则M＝，小球越靠近Q端，运动半径r越小，则悬停的重物质量M越小，小球越靠近P端，运动半径r越大，则悬停的重物质量M越大，A错误，B正确；若小球处于玻璃管正中间，则r＝，代入M的表达式中，可得M＝，C正确；若略微增大圆盘转速，由Fn＝m(2πn)2r可知，小球所需向心力略微增大，大于重物所受重力大小，则小球将做离心运动，随着r增大，小球所需向心力进一步增大，由于重物的重力不变，则重物持续上升，D错误。
8．（5分）（多选）如图为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当脱水筒在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在脱水筒器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量为m，衣服和器壁间的动摩擦因数约为μ，脱水筒的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到ω0时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　BD　)
A．衣服（带水）做匀变速曲线运动
B．电动机的角速度至少为时，衣服才掉不下来
C．当ω＝ω0时，水滴下落高度打到外桶上
D．当ω＝ω0时，水滴下落高度打到外桶上
解析：衣服（带水）做非匀变速曲线运动，因为其向心加速度是变化的，故A错误；在竖直方向，根据平衡条件有mg＝μFN，由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有FN＝mω2r，联立解得ω＝，B正确；当ω＝ω0时，水滴沿脱水筒切线方向运动打到外桶上，设水滴下落高度为h，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝vt，r2＋x2＝R2，v＝ω0r，联立解得h＝，C错误，D正确。
9．（5分）（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示，则(　ACD　)
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：对小球在最高点进行受力分析，速度为零时有F－mg＝0，结合题图乙可知a－mg＝0，当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合题图乙可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由题图乙可知b10．（5分）如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的二次方(ω2)的变化关系正确的是(　D　)
解析：转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力提供向心力，细线拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa＝mraω2，fb＝mrbω2，因为rb>ra，故fb>fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时细线开始出现拉力，此时对于a、b分别有fa－T＝mraω2，f0＋T＝mrbω2，联立可得fa＝m(ra＋rb)ω2－f0，由上述分析可知，细线拉力出现之前fa－ω2图像的斜率为mra，细线拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以细线有拉力时图线斜率变大，故选D。
11．（14分）（2022·辽宁卷）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度v＝9 m/s时，滑过的距离x＝15 m，求加速度a的大小；
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8 m、R乙＝9 m，滑行速率分别为v甲＝10 m/s、v乙＝11 m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
解析：(1)根据速度—位移公式有v2＝2ax，代入数据可得a＝2.7 m/s2。
(2)根据向心加速度的表达式an＝，可得甲、乙的向心加速度大小之比为＝·＝；甲、乙两名运动员做匀速圆周运动，则运动的时间为t＝，代入数据可得甲、乙两名运动员在弯道运动的时间为t甲＝ s，t乙＝ s，因为t甲答案：(1)2.7 m/s2　(2)　甲
12．（16分）（2024·江西卷）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，轻绳在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
解析：(1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，对转椅受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分力与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分力提供转椅做圆周运动所需的向心力，故可得T cos α＝mωr1，μmg＝T sin α，联立解得tan α＝。
(2)设此时轻绳拉力为T′，沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为T1＝T′sin θ，T2＝T′cos θ，对转椅根据牛顿第二定律得T1cos β＝mωr2，沿转椅做圆周运动的切线方向T1sin β＝f＝μFN，沿竖直方向有FN＋T2＝mg，联立解得ω2＝。
答案：(1)　(2)