第四章　第6讲　实验六：探究向心力与半径、角速度和质量的关系 讲义 （教师版）

第6讲　实验六：探究向心力与半径、角速度和质量的关系
原理装置图 操作要求 注意事项
1．转动手柄 2、3.变速塔轮 4．长槽 5．短槽 6、7.小球 8．横臂 9．弹簧测力套筒 10．标尺 1.把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同，探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系 1.实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。 2．实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。 3．转动转台时，应先让一个测力套筒的标尺达到预定的整数格，然后观察另一个测力套筒的标尺。 4．注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度
数据处理 和结论 1.分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。 2．实验结论 (1)在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的二次方成正比。 (2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比。 (3)在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。 (4)可得出向心力的大小Fn＝mω2r或Fn＝m
误差分析 1.污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化带来的误差。 2．仪器不水平带来的误差。 3．标尺读数不准带来的误差。 4．皮带打滑带来的误差
考点一　教材原型实验
【典例1】　用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω、半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所需向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：
(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与B的关系。
A．质量m　　 B．角速度ω　　C．半径r
(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为1∶2；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将变大，两标尺示数的比值将不变。（后两空均选填“变大”“变小”或“不变”）
【解析】　(1)把两个质量相等的钢球放在A、C位置时，则控制质量相等、转动半径相等，研究的是向心力的大小与角速度的关系，故选B。
(2)由题意可知左、右两球做圆周运动所需的向心力之比为F左∶F右＝4∶1，则由F＝mω2r，可得ω左∶ω右＝2∶1，由v＝ωR可知，皮带连接的左、右塔轮不同层半径之比为R左∶R右＝ω右∶ω左＝1∶2，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则角速度均增大，由F＝mω2r，可知左、右两标尺的示数将变大，但半径之比不变，由＝可知，角速度比值不变，两标尺的示数比值不变。
1．一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统来探究物体做圆周运动时所需向心力大小与角速度、半径的关系。
(1)首先，他们让一砝码做半径r为0.08 m的圆周运动，数字实验系统通过测量和计算得到若干组向心力大小Fn和对应角速度ω的数据，如下表所示。请你根据表中的数据在图甲上绘出Fn－ω的关系图像。
实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8
Fn/N 2.42 1.90 1.43 0.97 0.76 0.50 0.23 0.06
ω/ (rad·s-1) 28.8 25.7 22.0 18.0 15.9 13.0 8.5 4.3
答案：见解析图
(2)通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测Fn与ω2成正比。你认为，可以通过进一步转换，作出Fn与ω2的关系图像来确定他们的猜测是否正确。
(3)在证实了Fn∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条Fn－ω图像，他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中，如图乙所示。通过对三条图像的比较、分析、讨论，他们得出Fn∝r的结论，你认为他们的依据是作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中力的数值之比是否等于圆周运动的半径之比，即为1∶2∶3。
(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体所需的向心力大小Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，其中比例系数k的大小为0.037，单位是kg。
解析：(1)描点后绘图时注意尽量让所描的点落到同一条曲线上，不能落到曲线上的点应均匀分布在曲线两侧，如图所示。
(2)可以通过进一步转换，通过绘出Fn与ω2的关系图像来确定他们的猜测是否正确，如果猜测正确，作出的Fn与ω2的关系图像应为一条倾斜直线。
(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图像的交点中力的数值之比是否等于圆周运动的半径之比，即为1∶2∶3，如果比例成立，则说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比。
(4)做圆周运动的物体所需的向心力Fn与角速度ω、半径r的数学关系式是Fn＝kω2r，由单位关系可知k的单位为kg，代入题表中任意一点的坐标数值，比如(18.0 rad/s，0.97 N)，此时半径为0.08 m，解得k≈0.037 kg。
考点二　拓展创新实验
1．实验器材创新（如图所示）
2．实验目的创新
(1)探究圆周运动的向心加速度（重力加速度）探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
(2)如图所示，让小球做匀速圆周运动，调节激光笔记录小球做圆周运动的半径和球心到塑料圆盘的高度，根据小球所受重力和拉力的合力提供向心力分析计算。
【典例2】　（2025·陕西西安高三联考）某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与角速度大小关系的实验。水平直杆随竖直转轴一起转动，滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
(1)滑块和角速度传感器的总质量为20 g，保持滑块到竖直转轴的距离不变，多次仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及角速度传感器的示数ω，根据实验数据得到的F－ω2图像如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是水平杆不光滑，滑块到竖直转轴的距离为0.257 m（结果保留三位有效数字）。
(2)若去掉细线，仍保持滑块到竖直转轴的距离不变，则转轴转动的最大角速度为5 rad/s。
【解析】　(1)若水平杆不光滑，则滑块转动过程中，当角速度较小时，只有静摩擦力提供向心力，随着角速度增大滑块所受摩擦力逐渐增大，当摩擦力达到最大值时继续增大转速，细线中开始出现拉力，则有F＋Ffmax＝mrω2，可得F＝mrω2－Ffmax，所以F－ω2图像不过坐标原点。由题图乙可知斜率为k＝mr＝ kg·m，解得r≈0.257 m。
(2)由题图乙可知，当F＝0时，Ffmax＝mrω，则转轴转动的最大角速度满足ω＝25(rad/s)2，解得ω0＝5 rad/s。
2．利用如图所示的实验装置可验证做匀速圆周运动的物体所受合力与所需向心力的“供”“需”关系，启动小电动机带动小球做圆锥摆运动，不计一切阻力，移动水平圆盘，当盘与球恰好相切时关闭电动机，让球停止运动，悬线处于伸直状态。利用弹簧测力计水平径向向外拉小球，使小球恰好离开圆盘且处于静止状态时，测出水平弹力的大小F。
(1)（多选）为算出小球做匀速圆周运动时所需向心力，下列物理量还应该测出的有ABD。
A．用秒表测出小球运动周期T
B．用刻度尺测出小球做匀速圆周运动半径r
C．用刻度尺测出小球到线的悬点的竖直高度h
D．用天平测出小球质量m
(2)小球做匀速圆周运动时，所受重力与悬线拉力的合力大小等于（选填“大于”“等于”或“小于”）弹簧测力计测出的F大小。
(3)当所测物理量满足F＝mr（用测出的物理量的符号表示）关系式时，则做匀速圆周运动的物体所受合力与所需向心力的“供”“需”平衡。
解析：(1)根据向心力公式Fn＝mr分析知，为算出小球做匀速圆周运动时所需向心力，需要测出小球做匀速圆周运动的周期T、半径r和小球质量m，A、B、D正确，C错误。
(2)据题意，小球静止时，F等于悬线拉力的水平分力，即有F＝mg tan θ，θ是悬线与竖直方向的夹角，小球做匀速圆周运动时，由重力与悬线拉力的合力提供向心力，重力与悬线拉力的合力大小F合＝mg tan θ，则F合＝F。
(3)当F合＝Fn，即F＝mr时，做匀速圆周运动的物体所受合力与所需向心力的“供”“需”平衡。
3．如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆（挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R）每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据。
(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝。
(2)以F为纵坐标，以[选填“Δt”“”“(Δt)2”或“”]为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝
mr（用上述已知量的字母表示）。
解析：(1)挡光杆通过光电门时的线速度大小为v＝，由ω＝，解得ω＝。
(2)根据向心力公式有F＝mω2r，将ω＝代入上式解得F＝mr，可以看出，以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝mr。
课时作业25
1．（8分）（2023·浙江1月选考）“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图所示。
(1)采用的实验方法是A。
A．控制变量法　　B．等效法　　C．模拟法
(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄直到转速达到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方（选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”）之比。
解析：(1)本实验先控制住转动半径、角速度和质量中的两个因素不变，集中研究第三个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法，故选A。
(2)标尺上露出的红白相间的等分标记之比为两个小球所需向心力的大小之比，根据F＝mrω2，且m和r相同，可知比值等于两小球的角速度平方之比。
2．（9分）如图甲所示为向心力演示器，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第一（选填“一”“二”或“三”）层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为1∶4。
解析：(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和转动半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。
(2)根据F＝mω2r可知，探究向心力的大小与转动半径的关系时，需要保证小球质量和角速度不变，根据v＝ωr，可知将传动皮带调至第一层塔轮时两塔轮边缘处线速度相同，半径相同，则它们的角速度也相同。
(3)依题意，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，两塔轮的角速度关系为＝＝，根据F＝mω2r，可得＝，即左右两标尺露出的格子数之比约为1∶4。
3．（16分）（2025·八省联考四川卷）某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧，转动手柄，长槽和短槽随变速塔轮匀速转动，两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示，当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡和第三挡时，左、右变速塔轮的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3。
(1)第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时，把皮带放在皮带盘的第一挡后，应将质量不同（选填“相同”或“不同”）的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同（选填“相同”或“不同”）处挡板内侧。
(3)探究向心力大小与角速度之间的关系时，该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧，改变皮带挡位，记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格，则记录该组数据时，皮带位于皮带盘的第二（选填“一”“二”或“三”）挡。
解析：(1)皮带传动线速度相等，第三挡左、右变速塔轮的角速度之比为1∶3，根据v ＝ωr可知，第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时，需要保证两个物体做圆周运动的角速度相等、半径相等、质量不同，所以应将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧。
(3)根据Fn ＝ mω2r，其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格，则角速度平方之比为≈，可知由于误差存在，角速度之比为，可知皮带位于皮带盘的第二挡。
4．（15分）某同学用图甲所示的装置探究物体做圆周运动所需的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出小球质量，用刻度尺测出摆线长度，用游标卡尺测出钢球直径，示数如图乙所示，钢球直径d＝11.50 mm。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据如下表所示：
次数 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s-2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在图丙的坐标系中，画出F－v2的关系图像。
答案：见解析图
(3)由图像可知，钢球受到的重力为0.106 N。
(4)若图像的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为F＝kv2＋mg（用所给物理量的符号表示）。
(5)某同学通过进一步学习知道了向心力的公式，发现实验中使用公式求得钢球经过A点的向心力比测量得到的向心力大，你认为产生误差的主要原因是见解析。
解析：(1)钢球直径d＝11 mm＋0.05 mm×10＝11.50 mm。
(2)描点连线，画出F－v2的关系图像如图所示。
(3)根据F－mg＝m，可得F＝v2＋mg，由F－v2图像的截距可知，钢球受到的重力为mg＝0.106 N。
(4)若图像的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为F＝kv2＋mg。
(5)产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过最低点的速度，大于钢球球心通过最低点的速度。
5．（12分）利用水平旋转平台验证向心力与质量、角速度、半径的定量关系，选取光滑水平平台MN，如图甲所示，平台可以绕竖直转轴OO′转动，M端固定的压力传感器可以测出物体对其压力的大小，N端有一宽度为d的遮光条，光电门可以测出每一次遮光条通过时的遮光时间。
实验过程如下：
a．用游标卡尺测出遮光条的宽度，如图乙所示；
b．用天平测出小物块质量为m；
c．测出遮光条到转轴间的距离为L；
d．将小物块放置在水平平台上且靠近压力传感器，测出小物块中心位置到转轴间的距离为R；
e．使平台绕转轴做不同角速度的匀速转动；
f．得到不同角速度时小物块对压力传感器的压力F和遮光条通过光电门的时间t；
g.在保持m、R不变的前提下，得到不同角速度下压力F与的图像如图丙所示，图线的斜率为k。
请回答下列问题：
(1)遮光条宽度d＝0.246 cm。
(2)当遮光条通过光电门的时间为t0时，平台转动的角速度ω0＝（用相应的字母符号表示）。
(3)验证小物块所需的向心力与质量、角速度、半径间的定量关系时，图线斜率应满足k＝（用m、d、R、L等物理量符号表示）。
解析：(1)游标卡尺读数d＝2 mm＋0.02×23 mm＝2.46 mm＝0.246 cm。
(2)遮光条转动的速度大小v0＝，则平台转动的角速度ω0＝＝。
(3)由牛顿第二定律得F＝mω2R＝m＝·，可知F－图像是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝。