第五章　第1讲　万有引力定律及应用 讲义 （教师版）

第五章　万有引力与宇宙航行
课程标准 备考策略
1．通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。 2．认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 3．会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 1．知道开普勒行星运动定律，熟练掌握万有引力定律的基本应用，培养学生的模型构建素养及运算和估算能力。 2．加强对人造卫星的发射、运行、回收及宇宙速度的理解及应用。 3．关注以物理与现代科技、生产生活相结合的现代航天技术为背景材料的题目
第1讲　万有引力定律及应用
1．开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
2.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式
F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
(4)万有引力定律在天体上的应用
①基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
②应用万有引力定律分析天体运动的方法：G＝ma＝m＝mrω2＝mr。
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　√　)
2．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(　×　)
3．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　×　)
4．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(　×　)
5．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　×　)
6．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　√　)
考点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳运行的轨道通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，即v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，所以行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小(如图所示)。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【典例1】　(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法正确的是(　AC　)
A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B．火星绕太阳运行过程中，速率不变
C．土星比地球的公转周期大
D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
【解析】　根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
1．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运行，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运行过程中(　CD　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：由行星运行的对称性可知，从P经M到Q所用时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运行的速率大于从M到Q运行的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，A错误；海王星在运行过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
2．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：“鹊桥二号”中继星在环绕月球24小时沿椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律有＝k，同理对地球的同步卫星根据开普勒第三定律有＝k′，又有T＝T′，＝，联立可得＝，故选D。
考点二　万有引力定律
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面及上空的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。
3．两个推论
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。
【典例2】　近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】　设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρπR3，联立上式解得g＝πGρR。根据题意，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度为g′＝πGρ(R－d)，联立可得＝。对卫星，根据万有引力提供向心力有G＝ma，解得a＝，所以＝，故选C。
3．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是(　AC　)
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则F3＜G，故D错误。
4．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力为(　A　)
A. B．
C． D．
解析：挖去小球前，球体与质点的万有引力F1＝G＝，挖去的球体的质量M′＝M＝，被挖部分对质点的万有引力为F2＝＝，则剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
考点三　天体质量及密度的计算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R——“自力更生法”
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．利用绕行天体的周期和轨道半径——“环绕法”
(1)由G＝mr，得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见只要测出在天体表面附近的卫星环绕天体运动的周期T，就可估算出天体的密度。
【典例3】　如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是(　C　)
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
【解析】　设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，有G＝m(R＋h)，解得M＝
。又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，C正确，A、B、D错误。
估算天体质量和密度的四点注意
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
5．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　D　)
A．k3 B．k3
C． D．2
解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝，故选D。
6．我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　C　)
A．火星表面重力加速度大小是
B．火星的半径是
C．火星的质量是
D．火星的密度是
解析：设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向有x＝v0t，竖直方向有h＝g′t2，联立解得g′＝，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为g′＝ω2R＝R，联立解得R＝，A、B错误；在火星表面有mg′＝G，解得M＝，C正确；火星的密度ρ＝＝，D错误。
课时作业26
1．(5分)(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　D　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小
解析：在环月飞行时，样品所受合力提供向心力，不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小，故B错误；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小，故D正确；样品在不同过程中到月心的距离不同，受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。
2．(5分)(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　BC　)
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：由万有引力定律知A错误，B正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2r cos 30°＝r，由万有引力定律知C正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力大小为0，则D错误。
3．(5分) (2024·贵州贵阳高三联考)中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为(　A　)
A． B．
C． D．g
解析：A位置的重力加速度由万有引力提供，得G＝mg，D位置的万有引力提供重力加速度和向心加速度，有G＝m＋mω2R＝mg，E位置的向心加速度为an＝ω2R cos 60°＝ω2R＝g，故选A。
4．(5分)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　B　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
解析：设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由题意知＝，＝。联立以上各式可得＝×＝×＝0.4，故B正确。
5．(5分)(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　C　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转，有G＝m月r，r＝60R，联立解得T＝120π，故选C。
6．(5分)(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　B　)
A．0.001 B．0.1
C．10倍 D．1 000倍
解析：设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳质量为M2，地球质量为m2，日地距离为r2，周期为T2，根据万有引力定律有G＝m1r1，G＝m2r2，联立可得＝×，由于r1＝0.07r2，T1＝0.06T2，可得≈0.1，故选B。
7．(5分)(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，“鹊桥二号”进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h，则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时(　B　)
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析：冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；在近月点从捕获轨道到冻结轨道，“鹊桥二号”需要进行近月制动，所以在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，加速度相同，D错误。
8．(5分)(多选)宇宙中有许多行星，为了研究月球，我们会向月球发射探测器。假设探测器在到达月球表面前，绕其表面匀速飞行(不计其他天体的影响)，测量得到探测器绕月球n圈的时间为t，月球半径为r1，则下列说法正确的是(　ACD　)
A．月球探测器在轨道上匀速飞行的速度大小约为
B．月球探测器的质量为
C．月球的平均密度为
D．当探测器与月球表面的距离为r1时，探测器不随月球做匀速圆周运动，此时探测器的重力加速度为
解析：月球探测器在轨道上匀速飞行的周期T＝，速度大小约为v＝＝，A正确；根据题目条件不能求解月球探测器的质量，B错误；根据G＝mr1，月球的平均密度ρ＝，解得月球的平均密度为ρ＝，C正确；当探测器与月球表面的距离为r1时，则G＝mg，结合G＝mr1，可得此时探测器的重力加速度为g＝，D正确。
9．(5分)(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出(　AB　)
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．太阳的平均密度ρ＝
解析：对地球表面一个质量为m0的物体来说，应有m0g＝G，所以地球质量m地＝，故A正确；地球绕太阳运动，有G＝m地L2，则m太＝，故B正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，所以不能求出太阳的平均密度，故D错误。
10．(5分)质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　B　)
A．m B．m
C．m D．m
解析：忽略星球的自转，万有引力等于重力，有G＝mg，则＝·＝0.1×＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得a＝，在匀减速过程中，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m，A、C、D错误，B正确。
11．(5分)(2024·四川攀枝花高三诊断)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　C　)
A．g0小于g
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为
D．地球的平均密度为
解析：设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力的合力等于万有引力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有G＝mg0，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误。
12．(5分)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　A　)
解析：根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝
G＝Gx，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝G，其中M为地球的质量。综上所述，当x13．(20分)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
解析：(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝g月t2，解得g月＝。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有G＝mg月，解得M＝。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝πR3，根据密度公式ρ＝，解得ρ＝。
答案：(1)　(2)　(3)