第一章　第5讲　专题强化：追及相遇问题 讲义 （教师版）

第5讲　专题强化：追及相遇问题
题型一　追及相遇问题的常用分析方法
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或(二者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画草图找出两物体间的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，有三种情境：
(1)若xA＋x0(2)若xA＋x0＝xB，则恰好能追上但不相撞；
(3)若xA＋x0>xB，则不能追上。
3．三种分析方法
(1)分析法：应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。
(2)极值法：设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。在这里，常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移图像的交点表示相遇，速度图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
【典例1】　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车，则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【解析】　解法一(分析法)　汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m。
解法二(极值法)　设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2，代入已知数据得Δx＝6t－t2，由二次函数求极值的条件知t＝2 s时，Δx有最大值6 m，所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m。
解法三(图像法)　自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。v1＝6 m/s，所以有t1＝＝ s＝2 s，Δx＝＝ m＝6 m。
【答案】　2 s　6 m
1．甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是(　D　)
A．从出发到相遇，甲的位移为6 m
B．在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D．相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
解析：由x＝v0t＋at2可得，甲从出发到相遇的位移为8 m，A错误；2 s相遇时甲的速度由v＝v0＋at可得v甲＝6 m/s，同理可得v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，可知2 s后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得，从出发到相遇甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，C错误；分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。
2．交警骑着摩托车沿一条平直马路以v1＝4 m/s的速度匀速巡逻，突然发现前方s0＝14 m的地方有一辆可疑货车正以v2＝10 m/s的速度同向匀速行驶，交警即刻以a1＝2 m/s2的加速度匀加速追赶货车，与此同时货车司机也发现了交警，立即开始以a2＝1 m/s2的加速度加速逃离，求：
(1)经多长时间两者相距最远；
(2)交警经多长时间会追上货车。
解析：(1)设经t1时间两车共速，此时二者相距最远，则v＝v1＋a1t1，v＝v2＋a2t1，代入数据解得t1＝6 s。
(2)设经t2时间交警追上货车，则追上时s摩－s货＝s0，s摩＝v1t2＋a1t，s货＝v2t2＋a2t，联立解得t2＝14 s。
答案：(1)6 s　(2)14 s
题型二　图像中的追及相遇问题
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。
考向1v－t图像中的追及相遇问题
【典例2】　(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图所示。下列判断正确的是(　CD　)
A．乙车启动时，甲车在其前方25 m处
B．乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C．乙车启动15 s后正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
【解析】　根据v－t图像中图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙前方50 m处，故A错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故B错误；由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，设甲车启动t′后两车位移相等两车才相遇，有×20＝×10，解得t′＝25 s，即乙车启动15 s后正好追上甲车，故C正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故D正确。
考向2 x－t图像中的追及相遇问题
【典例3】　(多选)A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　BC　)
A．A车运动的加速度大小为1 m/s2
B．t＝3.5 s时，两车的速度相同
C．A车追上B车的最短时间为7.2 s
D．两车相遇两次
【解析】　由匀变速直线运动规律可知x＝v0t＋at2，由题图乙可知当t＝2 s时A车的位移x＝10 m，当t＝5 s时A车的位移x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s，由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正确；A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0，可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车满足vBt＝v0t0＋at＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误。
3．(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列x－t图像和v－t图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　BC　)
解析：题图A中，甲、乙在t0时刻之前位移没有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇，A错误；题图B中，甲、乙在t0时刻之前图线有交点，此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，B正确；题图C中，因v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，则甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，C正确；题图D中，因v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能再次相遇，D错误。
4．(多选)甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在30 m处的抛物线。下列说法正确的是(　AD　)
A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2.5 m/s2
B．乙车做匀变速直线运动的加速度大小为6.25 m/s2
C．t＝4 s时，甲、乙两车相距最近
D．甲、乙两车相遇两次
解析：由v－t图像斜率的绝对值表示加速度的大小，可得甲车的加速度大小为a甲＝2.5 m/s2，A正确；由x－t图像，根据x－x0＝，可得乙车的加速度大小为a乙＝2.5 m/s2，B错误；t＝4 s时，由题图甲可知，甲车速度为10 m/s，甲车位移为x甲＝v0t－a甲t2＝60 m，乙车速度v乙＝a乙t＝10 m/s，由题图乙可知，此时乙车在x＝50 m处，所以此时甲车已经追上并超过了乙车，两车相距不是最近的，C错误；由题图可知，t＝4 s后甲车速度逐渐减小到0，乙车速度逐渐增大，故乙车会再追上甲车一次，所以甲、乙两车共相遇两次，D正确。
课时作业5
1．(5分)一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　A　)
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
解析：轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝，t＋22 m＝v货t＋120 m，解得v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误。
2．(5分)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　B　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
解析：汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动的距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。
3．(5分)两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　B　)
A．s B．2s
C．3s D．4s
解析：两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝，刹车位移为s＝，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故B正确，A、C、D错误。
4．(5分) (多选)(2024·广西河池一模)甲、乙两辆车初始时相距1 200 m，甲车在后、乙车在前，乙车在8 s时刻开始运动，它们在同一直线上做匀变速直线运动，速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是(　BD　)
A．乙车的加速度大小为0.42 m/s2
B．两辆车在t＝36 s时速度相等
C．两辆车可能相撞
D．甲车停下时，乙车在甲车前面391 m处
解析：乙车的加速度大小为a2＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，故A错误；甲车加速度为a1＝＝ m/s2＝－1 m/s2两车速度相等时，有v1＋a1t＝a2(t－8)，可得t＝36 s，故B正确；甲车停下时，位移为x1＝t0＝1 250 m，此时乙的位移为x2＝a2·(t0－8)2＝441 m，则两车之间距离为Δx＝x2＋x0－x1＝391 m，可知两车不相撞，故C错误，D正确。
5．(5分)甲、乙两汽车沿同一平直公路同向行驶的v－t图像如图所示，t＝10 s时两车恰好相遇。下列分析正确的是(　D　)
A．在10～20 s内，甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．t＝0时，乙在甲前方5 m处
C．t＝0时，甲在乙前方125 m处
D．甲追乙时，追上前甲、乙间最大距离为50 m
解析：根据v－t图像的斜率表示加速度，可知在10～20 s内，甲车的加速度大小为1 m/s2，故A错误；t＝10 s时两车恰好相遇，根据v－t图线与横轴所围面积代表位移知0～10 s时，Δx＝10×10 m－×10×5 m＝75 m，故t＝0时甲在乙前方75 m处，故B、C错误；甲追乙时，t＝20 s时，两车的速度相等，两车间距最大，Δx′＝10×10 m－×10×10 m＝50 m，故D正确。
6．(5分)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　D　)
解析：v－t图像的斜率表示加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则自动驾驶汽车与货车相遇时刚好达到最大速度，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
7．(5分)甲、乙两物体从同一地点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示，由图像可以看出在0～5 s内(　D　)
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体间的距离最大
C．甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度
D．甲物体的速率始终大于乙物体的速率
解析：位移—时间图像斜率表示速度，由图像可知乙物体始终沿正方向运动，甲物体0～2 s沿正方向运动，2～6 s沿负方向运动，故甲、乙两物体不是始终同向运动，A错误；位移—时间图像交点代表相遇，故4 s时甲、乙两物体相遇，B错误；由图像可以看出在0～5 s内乙的位移大于甲的位移，故乙的平均速度大于甲的平均速度，C错误；甲物体0～2 s速度为v甲＝ m/s＝2 m/s，2～6 s速度为v′甲＝ m/s＝－1 m/s，乙物体速度为v乙＝ m/s＝0.5 m/s，故甲物体的速率始终大于乙物体的速率，D正确。
8．(5分) (多选)甲、乙两质点沿同一直线运动，其中甲做匀变速直线运动，乙以大小为5 m/s的速度做匀速直线运动，在t＝3 s时，两质点相遇，它们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示，在0～3 s时间内，下列判断正确的是(　BC　)
A．相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B．甲质点的初速度大小为7 m/s
C．甲质点的加速度大小为2 m/s2
D．在t＝1.5 s时，甲、乙两质点相距最远
解析：由题意可知，甲、乙两质点相遇时x＝－7 m，图像斜率表示速度，则相遇时甲质点的速度大小为v3＝ m/s＝1 m/s，故A错误；设甲初速度为v0，加速度为a，甲的位置时间表达式为x＝5＋v0t＋at2，此时v＝v0＋at，当t＝3 s时x＝－7 m，联立解得v0＝－7 m/s，a＝2 m/s2，故B、C正确；甲、乙速度相等时，两质点相距最远，有v0－2t＝v1，解得t＝1 s，故D错误。
9．(5分)(2024·山东青岛一模)青岛气象台2024年2月11日21时15分发布大雾黄色预警，交警提示雨雾天气开车出行注意保持安全车距。期间在滨海大道同一直线车道上，甲车和乙车正同向匀速行驶，甲车在前乙车在后，t＝0时，甲车发现前方有险情立即刹车，为避免两车相撞，2 s后乙车也开始刹车，如图是两车位置随时间变化图像，图中曲线均为抛物线。已知甲车匀速行驶的速度为10 m/s，司机反应时间不计，下列说法正确的是(　C　)
A．甲车加速度大小为2 m/s2
B．当t＝7 s时，两车速度大小相等
C．若d＝28 m，两车恰好没有相撞
D.若没有相撞，两车相距最近时乙车的位移为48 m
解析：根据动力学公式x1＝v0t10－a1t＝50 m，解得甲车加速度大小为a1＝1 m/s2，故A错误；乙车的初速度为＝＝ m/s＝14 m/s，乙车加速度大小为a2＝＝ m/s2＝2 m/s2，两车速度相等时，有v0－a1t＝v′0－a2(t－2)，解得t＝8 s，可知当t＝7 s时，两车速度大小不相等，故B错误；两车恰好没有相撞，则d＝2v′0＋v′0(t－2)－a2(t－2)2－＝28 m，故C正确；若没有相撞，两车相距最近时乙车的位移为x＝2v′0＋v′0(t－2)－a2(t－2)2＝76 m，故D错误。
10．(5分)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的关系图像如图甲、乙所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　C　)
A．t＝3 s时两车间距离为25 m
B．3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度
C．两车最近距离为10 m
D．0～9 s内两车相遇一次
解析：在0～3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA＝＝3 s，故在t＝3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA＝tA＝45 m，B车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝3 s时两车间距离为Δx＝d＋xA－xB＝55 m，故A错误；由题图可知在3～9 s内A车的加速度为aA2＝5 m/s2，在v－t图像中，图像的斜率表示加速度，则aB＝＝－5 m/s2，故A、B两车的加速度大小相等，故B错误；t＝3 s后，A车由静止开始做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3～9 s的过程中，设经历时间t两者速度相同，则v共＝aA2t＝v0＋aBt，解得t＝3 s，v共＝15 m/s，A车在t＝3 s内前进的位移为x1＝t＝22.5 m，B车前进的位移为x2＝t＝67.5 m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。
11．(12分)5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小v1＝8 m/s，B车的速度大小v2＝20 m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝20 m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离Δx；
(2)A车追上B车所用的时间t。
解析：(1)当两车速度相等时，两车的距离最大，设经过时间t1两车速度相等，则有v1＝v2－at1，得t1＝6 s，在t1时间内A车位移为x1＝v1t1＝48 m，B车位移为x2＝v2t1－at＝84 m，则两车间最远的距离为Δx＝x2＋x0－x1＝56 m。
(2)设经过时间t2，B车停下来，则有0＝v2－at2，得t2＝10 s，此过程中A车和B车的位移分别为x′1＝v1t2＝80 m，x′2＝v2t2－at＝100 m，此时x′2＋x0>x′1，说明A车还没追上B车，设再经过时间t3才追上，则有x′2＋x0－x′1＝v1t3，得t3＝5 s，所以A车追上B车所用的时间为t＝t2＋t3＝15 s。
答案：(1)56 m　(2)15 s
12．(18分)如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为4 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到距接力区前端s0＝12 m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，求乙经过接力区的时间是多少？
解析：(1)根据题意，由公式v＝v0＋at可得，乙的最长加速时间为tm＝＝2.5 s，设乙加速到交接棒处时运动时间为t，则在甲追及乙过程中有s0＋at2＝vt，代入数据得t＝2 s，t＝3 s>2.5 s(舍去)，则此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为x＝at2＝8 m。
(2)根据题意可知，乙加速时间应为最长加速时间2.5 s，设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令，则在甲追及乙过程中有s＋at＝vtm，代入数据得s＝12.5 m。
(3)根据题意，在(2)情形下，乙加速运动的距离为x1＝at＝12.5 m，则乙匀速运动的时间为t1＝＝0.75 s，则乙经过接力区的时间是t2＝t1＋tm＝3.25 s。
答案：(1)8 m　(2)12.5 m　(3)3.25 s