第八章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：类单摆模型 讲义 （教师版）

科学思维方法指导：类单摆模型
1．有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π中，l为等效摆长，g为等效重力加速度。如图所示，为竖直面内的光滑圆弧，且 R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R。
2．等效重力加速度
(1)对于不同星球表面，有g＝。
(2)单摆处于超重或失重状态时，有g效＝g±a。
(3)重力场与匀强电场中时，有g效＝。
3．类单摆问题的解题方法
确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解问题。
【例1】　如图所示，一光滑圆弧面ABD，水平距离为L，高为h(L h)，小球从顶端A处静止释放，滑到底端D的时间为t1，若在圆弧面上放一块光滑斜面ACD，则小球从A点静止释放，滑到D的时间为t2，则(　C　)
A．t2＝t1 B．t2＝t1
C．t2＝t1 D．t2＝t1
【解析】　由于h L，小球沿光滑圆弧面ABD运动，可看作单摆模型，运动时间等于四分之一个单摆周期。设圆弧轨道半径为R，单摆周期T＝2π，小球的运动时间为t1＝T＝；小球沿光滑斜面ACD运动，可看作等时圆模型，运动时间等于从圆周最高点沿直径自由下落到最低点的时间，所以t2＝＝2，由上述可得t2＝t1，C正确。
【例2】　如图所示，几个摆长均为l的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4、T5、T6，关于周期大小关系的判断，错误的是(　D　)
A．T1＝T4 B．T2＝T3
C．T3＝T6 D．T5＝T6
【解析】　根据周期公式T＝2π，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和等效重力加速度有关。题图甲中沿斜面的加速度为等效重力加速度，则g1＝g sin θ，所以周期T1＝2π＝2π；题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为g2＝g，所以周期T2＝2π；题图丙中的周期T3＝2π；题图丁中的等效重力加速度为g4＝g－a＝，所以周期T4＝2π＝2π；题图戊中的等效重力加速度为g5＝g＋＞g，所以周期T5＝2π；题图己中的等效重力加速度为g6＝g，所以周期T6＝2π，故T1＝T4＞T2＝T3＝T6＞T5，A、B、C正确，D错误。本题选择错误的，故选D。
【跟踪训练1】　如图所示，有一半径为R的光滑小圆槽AB固定在水平面上，其中，A、B两点连线与水平面夹角为α(α<5°)，整个装置置于方向竖直向下、电场强度大小为E＝的匀强电场中，一个质量为m的小球(可视为质点)，带正电且带电荷量为q。从A点静止释放，重力加速度为g，则小球由A运动到B的时间为(　B　)
A． B．
C． D．
解析：因为A、B两点连线与水平面夹角为α(α<5°)，故可以看成单摆模型，由单摆的周期公式可得T＝2π，又整个装置置于方向竖直向下、电场强度大小为E＝的匀强电场中，所以，小球的等效重力加速度为a＝g＋＝2g，则小球由A运动到B的时间为t＝＝×2π＝，A、C、D错误，B正确。
【跟踪训练2】　如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为(　A　)
A．2π B．2π
C．2π D．2π
解析：小球绕轴OO′转动，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，则在摆角很小时，可视为单摆，如图所示，“杆线摆”的摆长l＝L cos 30°＝L，小球沿虚线方向等效重力加速度g′＝g，“杆线摆”的周期T＝2π＝2π，故选A。
【跟踪训练3】(多选)如图所示，在一个水平放置的槽中，小球m自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，已知圆弧AB＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s2，欲使小球恰能通过C点，则其初速度的大小可能是(　AC　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
解析：小球m自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，把小球的运动进行分解，一个是水平方向的匀速运动，一个是在竖直面上的单摆，根据单摆周期公式有T＝2π＝2π s，小球m自A点运动到C点，在竖直面上运动的时间为t＝(2n＋1)＝(2n＋1)π s(n＝0，1，2，…)，由于分运动的等时性，所以初速度为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，则v1＝ m/s，当n＝1时，则v2＝ m/s，故选AC。
【跟踪训练4】　惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图甲所示，在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为α。在某次实验中，摆球自然悬垂时，通过力传感器(图中未画出)测得摆线的拉力为F1；摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图乙所示，其中F2、F3、T0均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是(　C　)
A．多次改变图甲中α角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．在图乙的测量过程中，单摆n次全振动的时间为nT0
C．多次改变斜面的倾角θ，只要得出T∝就可以验证该结论成立
D．在图乙的测量过程中，满足F3＝3F2－2F1关系
解析：等效重力加速度g′＝g sin θ，所以若要获得不同的等效重力加速度，可以多次改变题图甲中θ角的大小，故A错误；由题图乙可知，单摆一次全振动的时间T＝2T0，单摆n次全振动的时间t＝nT＝2nT0，故B错误；若单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比，即T∝，因为g′＝g sin θ，则有T∝，所以若多次改变斜面的倾角θ，满足 T∝，则可验证结论成立，故C正确；摆球自然悬垂时，通过力传感器测得摆线的拉力为F1，则F1＝mg′，摆球在A点时，有F2＝mg′·cos α，摆球运动到B点时，有F3－mg′＝m，摆球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理得mg′l(1－cos α)＝mv2，由以上各式解得F3＝3F1－2F2，故D错误。