第八章　第1讲　机械振动 讲义 （教师版）

第八章　机械振动和机械波
课程标准 备考策略
1．通过实验，认识简谐运动的特征。 2．能用公式和图像描述简谐运动。 3．通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。 4．通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。 5．知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。 6．通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。 实验九：用单摆测量重力加速度大小 1．掌握简谐运动的规律，理解单摆的周期公式。 2．理解振动图像和波的图像，能将二者结合起来分析振动和波动规律。 3．关注生活中有关机械波的现象，如干涉、衍射、多普勒效应等。 4．加强实验基本原理、实验操作要领、数据处理方法的理解掌握及实验迁移能力的训练
第1讲　机械振动
1．简谐运动
(1)简谐运动
①定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
②平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
③回复力
a．定义：使物体返回到平衡位置的力。
b．方向：总是指向平衡位置。
c．来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(2)简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐 运动 条件 ①弹簧质量可忽略； ②无摩擦等阻力； ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线； ②忽略空气的阻力； ③摆角小于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡 位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量 转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
(3)描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
振幅 振动质点离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量
周期 振动物体完成一次全振动所需时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝
频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数
相位 ωt＋φ 描述质点在各个时刻所处的不同状态
教材链接·想一想 人教版教材选择性必修第一册P44“做一做”中，图表中所填出的弹簧振子在运动过程的信息说明什么？
提示：弹簧振子运动过程中速度的大小和位移的大小具有对称性，而且在任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。
2．简谐运动的公式和图像
(1)表达式
①动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝A sin (ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相位。
(2)图像
①从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
3．受迫振动和共振
(1)受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
(2)共振
做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。
1．简谐运动是匀变速运动。(　×　)
2．简谐运动的回复力可以是恒力。(　×　)
3．弹簧振子每次经过平衡位置时，动能最大。(　√　)
4．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(　×　)
5．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。(　×　)
6．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　×　)
7．物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　√　)
考点一　简谐运动的规律
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T或nT(n为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征
(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
考向1简谐运动的基本物理量分析
【典例1】　(2023·上海卷)真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列关于Q的情况有可能发生的是(　B　)
A．速度增大，加速度增大
B．速度增大，加速度减小
C．速度增大，加速度不变
D．速度减小，加速度不变
【解析】　由题意可知，微粒Q以P点为平衡位置做简谐运动，可知越衡位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，则微粒Q的速度增大，加速度一定减小；速度减小，加速度一定增大，A、C、D错误，B正确。
考向2简谐运动的周期性与对称性
【典例2】　(2022·浙江6月选考)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则(　B　)
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
【解析】　物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知，小球从O→A→O与从O→B→O这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，B正确，C错误；小球的初速度为时，可知小球在匀速运动阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，可知小球的初速度为时，其运动周期应小于2T，D错误。
【典例3】　(多选)弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则该振子再过多长时间第三次经过P点(　AD　)
A．0.6 s B．2.4 s
C．0.8 s D．2.2 s
【解析】　若振子从O点开始向右振动，作出示意图如图甲所示，则振子的振动周期T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该振子再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点；若振子从O点开始向左振动，作出示意图如图乙所示，则有0.5 s＋0.1 s＝T2，解得振子的振动周期T2＝0.8 s，则该振子再经过时间Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P点，故B、C错误，A、D正确。
考点二　简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的公式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)确定某时刻质点速度的方向。
(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)比较不同时刻系统的动能、势能的大小。
考向1简谐运动的表达式
【典例4】　(2024·广东清远高三质检)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin (10πt)cm。下列说法正确的是(　B　)
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大速度
【解析】　M、N间距离为2A＝10 cm，A错误；振子的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，B正确；t＝0时，x＝0，则振子位于O点，C错误；t＝0.05 s时，x＝5sin cm＝5 cm，振子位于N点，具有最大加速度和最小速度，D错误。
考向2简谐运动的图像信息应用
【典例5】　(2024·福建卷)某简谐运动的y－t图像如图所示，则以下说法正确的是(　B　)
A．振幅为2 cm
B．频率为2.5 Hz
C．0.1 s时速度为0
D．0.2 s时加速度方向竖直向下
【解析】　根据题图可知，振幅为A＝1 cm，周期为T＝0.4 s，则频率为f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据题图可知， 0．1 s时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据题图可知，0.2 s时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
考向3简谐运动图像的选取
【典例6】　如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为(　A　)
【解析】　小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，则周期为T＝1.0 s，故A正确。
考点三　单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，如图所示，故F回＝F＝－mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，如图所示，故F向＝FT－mg cos θ。
(3)两个特殊位置
①摆球在最高点：F向＝＝0，FT＝mg cos θ。
②摆球在最低点：F向＝m，F向最大，FT＝mg＋m。
2．周期公式T＝2π的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地的重力加速度。
【典例7】　(多选)(2025·山东济南高三阶段检测)某课外小组研究单摆的运动规律，单摆第一次运动到最低点开始计数1，第二次计数2，…数到61时，经历时间为60 s。已知当地的重力加速度g取9.8 m/s2，则(　AB　)
A．该单摆做简谐运动的周期为2 s
B．该单摆的摆长约为1 m
C．该单摆做简谐运动时，在速度增大的过程中回复力增大
D．若把该单摆放在月球上，则其摆动周期变小
【解析】　由于单摆第一次运动到最低点开始计数1，第二次计数2，…数到61时，经历时间60 s，则有Δt＝(61－1)×，解得T＝2 s，A正确；根据单摆周期公式有T＝2π，解得l≈1 m，B正确；单摆做简谐运动时，在速度增大时，单摆衡位置，摆球相对平衡位置的位移减小，根据F＝－kx可知，回复力减小，C错误；若把该单摆放在月球上，重力加速度比地球上的小，根据T＝2π可知摆动周期变大，D错误。
1．(2024·甘肃卷)如图所示为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　C　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
解析：由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π得摆长为l＝＝1.6 m，x－t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。综上所述，可知C正确。
2．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图乙的信息可得(π2取10，重力加速度g取10 m/s2)(　B　)
A．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力
B．从t＝0时刻开始，摆球第一次摆到最低点的时刻为0.5 s
C．用米尺量得细线长度l，即摆长为l
D．由图乙可计算出单摆的长度为1.0 m
解析：单摆的回复力由摆球所受重力在垂直于摆线方向的分力充当，而摆球所受重力沿摆线方向的分力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，故A错误；当小球运动到最低点时，摆线上的拉力达到最大，力传感器的示数最大，所以从0时刻开始，摆球第一次到最低点的时间为0.5 s，故B正确；摆长为摆线的长度与小球半径之和，故C错误；根据单摆的周期公式T＝2π，由题图乙可知T＝2×0.8 s＝1.6 s，解得l＝0.64 m，故D错误。
考点四　受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复 力作用 受驱动 力作用 受驱动 力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
【典例8】　如图甲为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆P(图中未标出)能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图乙中，用光滑曲线连接各点得到如图乙所示的曲线。重力加速度g取π2 m/s2，下列说法正确的是(　C　)
A．单摆P的固有频率约为1.0 Hz
B．装置甲中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C．当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D．单摆P的振动周期总为2 s
【解析】　题图乙为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率0.5 Hz接近或等于其固有频率，A错误；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2π可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少还有一个单摆的摆长约为1.0 m，B错误；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2π，可得摆长约0.25 m，C正确；单摆P做受迫振动的周期与先振动的单摆周期相同，D错误。
3．如图所示，小孩在果园里摇动细高的果树的树干，想把果子摇下来，下列说法正确的是(　B　)
A．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定不同
B．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定相同
C．对同一棵树，小孩摇动的频率增大，树干振动的幅度一定增大
D．对同一棵树，小孩摇动的频率减小，树干振动的幅度一定增大
解析：小孩摇动树干，则树干是做受迫振动，树干的振动频率取决于驱动力的频率，因此树干振动的频率与小孩摇动树干的频率相同，则可知小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定相同，故A错误，B正确；对于受迫振动，只有当驱动力频率越接近固有频率时，振动幅度才越大，故C、D错误。
4．(2025·浙江杭州高三统考)如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；减少筛子质量，可增大筛子的固有频率。现在，在某电压下偏心轮的转速是60 r/min。下列说法正确的是(　C　)
A．共振筛的固有周期是0.8 s
B．仅适当增加电压可以增大筛子的振幅
C．仅适当减小筛子的质量可以增大筛子的振幅
D．当前驱动力的周期与地面附近摆长为1 m的单摆周期很接近
解析：根据题图乙可知，筛子的固有频率为f＝0.8 Hz，所以固有周期是T＝＝1.25 s，故A错误；在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，驱动力频率f0＝1 Hz，增加电压，转速增大，驱动力频率增大，远离固有频率，筛子的振幅减小，故B错误；仅适当减小筛子的质量，可以增大固有频率，接近驱动力频率，可以增大筛子的振幅，故C正确；当前驱动力的周期为T0＝1 s，周期为1 s的单摆，根据T＝2π可得摆长约0.25 m，故D错误。
课时作业40
1．(5分)如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中(　A　)
A．动能不断增大，加速度不断减小
B．回复力不断增大，系统机械能守恒
C．弹性势能不断减小，加速度不断增大
D．弹性势能不断增大，加速度不断减小
解析：做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合力做正功，动能不断增大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C点到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误。
2．(5分)如图所示，在张紧的绳上挂了A、B、C、D四个单摆，A摆与C摆的摆长相等，D摆的摆长最长，B摆的摆长最短。先将A摆拉离平衡位置后释放(摆角不超过5°)，则下列说法中正确的是(　C　)
A．所有摆都做自由振动
B．所有摆均以相同摆角振动
C．所有摆均以相同频率振动
D．D摆振幅最大
解析：A摆摆动起来后，通过张紧的绳子对B、C、D三个摆施加周期性的驱动力，使B、C、D三摆做受迫振动，故A错误；B、C、D三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，由于C摆与A摆的摆长是相等的，所以C摆的固有频率与A摆的相等，C摆产生共振，振幅最大，所以所有摆不会以相同摆角振动，故B、D错误，C正确。
3．(5分)一质点做简谐运动，其振动图像如图所示。t＝4 s时，下列关于质点运动的说法正确的是(　A　)
A．速度为正向最大值，加速度为零
B．速度为负向最大值，加速度为零
C．速度为零，加速度为正向最大值
D．速度为零，加速度为负向最大值
解析：由振动图像可知，t＝4 s时，质点在平衡位置，所以回复力等于零，质点的加速度等于零，此时质点正在向x轴正方向运动，所以速度为正向最大，故A正确。
4．(5分) (2025·山东济南高三段考)2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生7.3级地震，震源深度12 km。如图所示，高度约为30 m的“天王星大楼”发生严重倾斜，是所受地震影响最大的建筑物之一。若钢混结构建筑物的固有频率与其高度的二次方成正比，其比例系数为0.1，则地震波到达地面的频率最可能是(　D　)
A．10 Hz 　 B．30 Hz C．60 Hz 　 D．90 Hz
解析：设建筑物高为h，其固有频率为f0＝0.1h2，钢混结构建筑物发生共振时有f＝f0＝0.1h2＝90 Hz，地震波到达地面的频率与钢混结构建筑物的固有频率越接近，钢混结构建筑物因共振所受的影响越大，所以该地震波到达地面的频率最可能是90 Hz，故选D。
5．(5分)(2024·河北卷)如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－l图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　C　)
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
解析：紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n＝12 r/min＝0.2 r/s，角频率ω＝2πn＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，周期为T＝＝5 s，简谐运动的振幅即为轻杆的长度，即A＝0.1 m，12.5 s通过的路程为s＝×4A＝1.0 m，故选C。
6．(5分)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)，则下列说法正确的是(　C　)
A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．若摆长变小，共振曲线的峰将左移
C．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移
D．此单摆的摆长约为3 m
解析：由题图知，当驱动力频率为0.5 Hz时振幅最大，说明此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s，故A错误；根据f＝＝可知，若摆长变小，固有频率增大，共振曲线的峰将右移，故B错误；若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上，则重力加速度减小，固有频率减小，则共振曲线的峰将左移，故C正确；根据f＝＝＝0.5 Hz，解得l≈1 m，故D错误。
7．(5分)(多选)(2025·河北衡水高三联考)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是(　BD　)
A．该简谐运动的周期为5×10-2 s，振幅为28 cm
B．该简谐运动的表达式为x＝14sin cm
C．t＝0.5×10-2 s时，质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
D．t＝0.5×10-2 s时，质点的位移为－7 cm
解析：由题图可知该简谐运动的周期T＝4×10-2 s，振幅A＝14 cm，A错误；频率ω＝＝50π rad/s，所以质点做简谐运动的表达式为x＝14sin cm或x＝14sin 50πt－cm，B正确；当t＝0.5×10-2 s时质点的位移为x＝14sin cm＝－14× cm＝－7 cm，质点沿x轴正方向运动，速度逐渐增大，C错误，D正确。
8．(5分)(2022·海南卷)在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为(　C　)
A．2∶3　　 B．3∶2
C．4∶9　　 D．9∶4
解析：由振动图像可知甲、乙两个单摆周期之比为T甲∶T乙＝0.8 s∶1.2 s＝2∶3，根据单摆周期公式T＝2π，可得l＝，则甲、乙两个单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝T∶T＝4∶9，故选C。
9．(5分)(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　D　)
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
解析：由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。
10．(5分)如图所示，一根长为l、粗细均匀且横截面积为S的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在装有水的较大容器中。现把木筷往上提起一小段距离后放手，木筷就在水中上下做简谐运动。已知铁丝与木筷总质量为m0，木筷与铁丝整体的等效密度为ρ1，水的密度为ρ2。简谐运动的周期公式T＝2π，其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量。当地重力加速度为g。忽略铁丝的体积，则该系统振动的周期为(　C　)
A．T＝2π B．T＝2π
C．T＝2π D．T＝2π
解析：平衡时，有m0g＝F浮＝ρ2gSh，取向下为正，向下移动位移为x时，浮力增大，ΔF浮＝ρ2gSx，木筷就在水中上下做简谐运动，所以有F合＝－ΔF浮＝－ρ2gSx＝－kx，可得k＝ρ2gS，该系统振动的周期为T＝2π＝2π，故C正确，D错误；由题知m0＝ρ1Sl，代入T＝2π，可得T＝2π，故A、B错误。
11．(5分)(2024·浙江1月选考)如图甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图乙所示，则(　D　)
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度方向向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
解析：以竖直向上为正方向，根据题图乙可知，t1时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，t1时刻小球向下运动，故A错误；以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式曲线，表明其做简谐运动，根据F回＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图乙可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图乙可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光的直线传播可知小球在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。
12．(5分)(2025·浙江绍兴高三测试)如图甲所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点处有一个钉子，单摆摆动的夹角始终小于7°，从t＝0时刻开始绳子上的拉力大小随时间t的变化如图乙所示，A、C分别为运动过程中左右两侧最高点，B为最低点，忽略一切阻力，下列说法正确的是(　D　)
A．绳子遇到钉子后，绳子上的拉力变小
B．t＝0.4π s时小球在C位置
C．OA的长度为0.4 m
D．O、P之间的距离为1.2 m
解析：绳子遇到钉子后，单摆的速度不变，单摆的摆长减小，根据牛顿第二定律得FT－mg＝m，可知绳子上的拉力变大，故A错误；单摆在BA区间运动时，摆长较长，运动周期长，t＝0.4π s时绳子上的拉力最小，为最高点，故t＝0.4π s时小球在A位置，故B错误；OA为摆长时单摆的周期T＝2×(0.6－0.2)π s＝2π，解得OA的长度为lOA＝1.6 m，故C错误；PC为摆长时单摆的周期T1＝2×(0.2－0)π s＝2π，解得PC的长度为lPC＝0.4 m，O、P之间的距离为lOP＝lOA－lPC＝1.2 m，故D正确。
13．(5分)(多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点的位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　BC　)
A．，3t B．，4t
C．，t D．，t
解析：当A、B两点在平衡位置的同侧时，有A＝A sin φa，A＝A sin φb，可得φa＝，φb＝或，因此可知第二次经过B点时，φb＝，T＝t，解得T＝4t，此时位移关系为A－A＝L，解得A＝，A错误，B正确；当A、B两点在平衡位置两侧时，有－A＝A sin φa，A＝A sin φb，解得φa＝－或－(由图中运动方向舍去)，φb＝或，当第二次经过B点时φb＝，则T＝t，解得T＝t，此时位移关系为A＋A＝L，解得A＝，C正确，D错误。