第八章　第3讲　实验九：用单摆测量重力加速度大小 讲义 （教师版）

第3讲　实验九：用单摆测量重力加速度大小
原理装置图 实验步骤 注意事项
(1)测摆长l和周期T (2)由T＝2π 计算g＝ 1.做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 2．测摆长 用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4．改变摆长，重复做几次实验 1.摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。 2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度
误差分析 1.本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求：悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。 2．本实验的偶然误差主要来源于： (1)振动时间t的测量：没有从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表读数时的误差等。 (2)长度的测量：测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等
考点一　教材原型实验
【典例1】　(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为0.007 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为20.037 mm，则摆球的直径为20.030 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为82.5 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为1.82 s，该小组测得的重力加速度大小为9.83 m/s2。(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)
【解析】　(1)螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5 mm的整数倍)加可动刻度读数(0.5 mm以下的小数)，测量前测微螺杆和测砧相触时，题图甲的示数为d0＝0 mm＋0.7×0.01 mm＝0.007 mm，题图乙中读数为d1＝20 mm＋3.7×0.01 mm＝20.037 mm，则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.030 mm。
(2)角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为l＝l0＋＝81.50 cm＋ cm≈82.5 cm；一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T＝＝ s＝1.82 s，由单摆的周期表达式T＝2π，得重力加速度g＝≈9.83 m/s2。
1．某同学用单摆测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。
(1)下列最合理的装置是D。
(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d＝21.25 mm。周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与(用d表示)之和。
(3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T2－l图像如图乙，该图像的斜率为选填“”“”或“”。
解析：(1)为了减小误差，小球应选取质量大、体积小，即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细丝线，且要保证摆动过程中摆点不发生移动，应用铁夹夹住细丝线，故选D。
(2)由题图甲可知，摆球的直径d＝21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm；周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与小球半径，即之和。
(3)根据题意，由单摆的周期公式可得T＝2π，整理可得T2＝l＋，则T2－l图像的斜率为。
考点二　拓展创新实验
1．实验器材及数据处理创新
(1)如图所示，应用光敏电阻及传感器测量单摆的周期，应用R－t图像可求得单摆的周期为2t0。
(2)如图所示，利用拉力传感器记录拉力随时间变化的F－t图像，应用F－t图像得到单摆的振动周期为2.0 s。
2．实验设计创新
(1)由刚性重杆单摆的轻质细线，根据“复摆”做简谐运动的周期T＝2π测重力加速度。
(2)由弹簧振子单摆的轻质细线，根据振子做简谐运动的周期T＝2π测重力加速度。
【典例2】　(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝l0＋。
(3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝9.61 m/s2(结果保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)(多选)本实验的误差来源包括AC。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
【解析】　(1)30次全振动所用时间为t，则振动周期T＝。
(2)弹簧振子的振动周期T＝2π，可得振子的质量M＝，振子平衡时，根据平衡条件有Mg＝kΔl，可得Δl＝，则l与g、l0、T的关系式为l＝l0＋Δl＝l0＋。
(3)根据l＝l0＋，整理可得l＝l0＋·T2，则l－T2图像的斜率k＝＝，解得g≈9.61 m/s2。
(4)空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确；弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据(3)中处理方法可知对实验结果没有影响，故B错误；根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源之一，故C正确。
2．某小组在做“用单摆测定重力加速度”的实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T，然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见下表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示T2r。
(2)Ic的国际单位为kg·m2，由拟合直线得到Ic的值为0.17(结果保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析：(1)由T＝2π，可得T2r＝＋r2，所以题图乙中纵轴表示T2r。
(2)Ic的单位与mr2的单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2；结合T2r＝＋r2和题图乙中图线的截距和斜率，解得Ic≈0.17。
(3)重力加速度g的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。
3．如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究周期与摆长的关系”的实验。
(1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间为t。请写出周期的表达式T＝。
(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝2.0 s。
(3)在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系T2－L图像，并根据图像拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可以知当地的重力加速度g＝，摆球半径r＝。(用k、b、π表示)
解析：(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝。
(2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0 s，故单摆的摆动周期为2.0 s。
(3)根据T＝2π，得T2＝l，知图像的斜率k＝，因此g＝；而l＝L＋r，图像拟合得到方程T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝。
课时作业42
1．(8分)某同学用单摆测量重力加速度。
(1)(多选)为了减少测量误差，下列做法正确的是BC。
A．摆的振幅越大越好
B．摆球质量大些、体积小些
C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
(2)改变摆长，多次测量，得到周期二次方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是C。
A．测周期时多数了一个周期
B.测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
解析：(1)单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故单摆的摆角不能太大，一般应小于5°，则摆的振幅也不能太大，故A错误；实验时应尽量选择质量大些、体积小些的摆球，以减小空气阻力对实验的影响，故B正确；为了减小实验误差，摆线应选择细些、长些、伸缩性小些的绳子，故C正确；摆球经过平衡位置(最低点)时速度最大，选此位置计时较准确，故D错误。
(2)根据单摆的周期公式T＝2π，有T2＝·l。实验测得的结果与当地重力加速度值相符，则T2－l图线斜率为理论值，所得T2－l图线没有过原点，图线在T2轴的截距为正，则T2＝·(l＋l0)，故原因可能是测量摆长时直接将摆线的长度作为摆长，故选C。
2．(8分)某实验小组要测量当地的重力加速度。由于没有摆球，小组成员找到了一块外形不规则的小金属挂件代替摆球做了一个如图所示的单摆。
(1)用刻度尺测量悬线的长L1，将挂件拉开一个不大于5°的角度后释放，用秒表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则挂件振动的周期T1＝1.82 s。
(2)改变悬线的长，并测出悬线长L2，重复(1)实验，测出挂件振动的周期为T2，则当地的重力加速度g＝(用L1、L2、T1、T2表示)。
(3)若多次改变悬线的长度重复实验，测得每次实验时悬线的长L及对应的挂件振动的周期T，作T2－L图像，得到的图像是一条不过原点(选填“过原点”或“不过原点”)的倾斜直线，若图像的斜率为k，则当地的重力加速度g＝。
解析：(1)挂件振动的周期T1＝＝ s＝1.82 s。
(2)设摆线末端与小摆件重心间的距离为r，根据T＝2π，可得T1＝2π，T2＝2π，联立解得g＝。
(3)由T＝2π整理，可得T2＝L＋r，可知T2－L图像是一条不过原点的倾斜直线。图像的斜率为k＝，则当地的重力加速度g＝。
3．(10分)(2025·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列各题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示，然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至最低点(选填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度的大小为9.68 m/s2(取π2＝9.870，结果保留三位有效数字)。
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝4π2k(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为9.69 m/s2(结果保留三位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是见解析。
解析：(1)摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，应选摆球经过最低点的位置时开始计时。
(2)根据题意可知，摆球摆动的周期T＝＝2.02 s，根据单摆周期公式T＝2π，其中l＝100.0 cm＝1.000 m，代入数据可得g≈9.68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式T＝2π，整理得l＝·T2，可知l－T2图像的斜率k＝，可得重力加速度可表示为g＝4π2k；由题图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像的斜率均为，对g的测量没有影响。
4．(12分)将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3.14。回答下列问题：
(1)(多选)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是BC。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2－L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是图线a、b、c中的a(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝9.86 m/s2(结果保留三位有效数字)，小筒的深度h＝0.45 m。
解析：(1)本实验需要测量时间以求出单摆的周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，则所需要的测量工具是停表和毫米刻度尺，本题选择不需要的测量工具，即为时钟和天平，故选BC。
(2)由题图甲可得，单摆的摆长l＝L＋h，由单摆的周期公式得T＝2π，整理得T2＝L＋，因为>0，所以真正的图像应该是图线a。
(3)根据(2)可知，T2－L图像的斜率k＝，纵截距d＝h，由题图乙中图线a可知，k＝ s2/m＝4 s2/m，d＝1.80 s2，可解得g≈9.86 m/s2，h＝0.45 m。
5．(10分)用时间传感器代替秒表做“用单摆测定重力加速度”的实验装置如图甲所示。长为l0的摆线一端固定在铁架台上，另一端连接一个质量为m、直径为d的小球，在摆球运动轨迹最低点的左、右两侧分别正对放置一激光光源和一光敏电阻，细激光束与球心等高。光敏电阻与自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化的图线如图乙所示。
(1)该单摆的振动周期为2t0，用此装置测得的重力加速度的表达式为g＝(用题中物理量的符号表示)。
(2)若保持摆线长不变，换用直径为原来的2倍且材料相同的摆球再进行实验，则图乙中的Δt将变大，该单摆的周期将变大。(均选填“变大”“不变”或“变小”)
解析：(1)由于小球在每一个周期内两次经过最低点，根据题图乙可知小球的周期是2t0；根据单摆周期公式T＝2π得，重力加速度g＝＝。
(2)若保持摆线长不变，换用直径为原来的2倍且材料相同的摆球再进行实验，摆球通过激光束的速度不变，所以摆球通过激光束的时间Δt′＝>＝Δt，即题图乙中的Δt变大；单摆的摆长l′＝l0＋＝l0＋d>l0＋，即单摆的摆长变大，所以单摆的周期将增大。
6．(12分)(2025·湖南湘潭高三检测)智能手机自带许多传感器，某同学想到使用其中的磁感应强度传感器，结合单摆原理测量当地的重力加速度。具体操作如下：
(1)用游标卡尺测量小钢球的直径d，测得结果如图甲所示，其读数d＝10.2 mm。
(2)将细绳一端固定在O点，另一端系一小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L。
(3)如图乙所示，将强磁铁吸附于小钢球下侧，在单摆的正下方放置一手机，打开手机中测量磁感应强度的应用软件。
(4)使单摆小角度摆动，每当钢球经过手机时，磁传感器会采集到一个磁感应强度的峰值。采集到磁感应强度B随时间t变化的图像如图丙，由图得单摆的周期T＝2.0 s(结果保留两位有效数字)。
(5)若该同学把O点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表达式可表示为g＝(用L、d、T进行表示)。
(6)根据以上操作，该同学实验得出重力加速度值与当地重力加速度相比会偏小(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。
解析：(1)根据题图甲可知，该游标卡尺的游标尺为10分度值，则可知精度为0.1 mm，且游标尺第2格与主尺刻度线对齐，而主尺读数为10 mm，则可知小钢球的直径d＝10 mm＋2×0.1 mm＝10.2 mm。
(4)当磁场最强时，摆球在手机的正上方，即单摆的最低点，根据磁感应强度随时间变化的图像，可知相邻两次磁场最强的时间为单摆的半个周期，由此可得单摆的周期为T＝2.0 s。
(5)由题意可知，单摆的摆长为l＝L＋，根据单摆的周期公式T＝2π，可得
g＝。
(6)当摆球下方吸附强磁铁后，摆球和强磁铁整体不再是规则的几何形状，摆球的重心不再是其几何中心，相应下移，若仍然用O点到摆球几何中心的距离作为摆长，则根据重力加速度与摆长的关系式可知，所测重力加速度将偏小。