第二章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：立体空间中的平衡问题 讲义 （教师版）

科学思维方法指导：立体空间中的平衡问题
在平衡条件应用相关的实际问题中，经常遇到物体受三维空间多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类平衡问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。
方法1　三维空间接触面模型的弹力
【例1】　四个半径均为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形，如图所示，下面的三个球A、B、C用绳缚住，绳与三个球的球心在同一水平面内，D球放在三球上方处于静止状态，如果四个球的质量均为m，重力加速度为g，则D球对A、B、C三球的压力均为(　D　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
【解析】如图所示，A、B、C、D分别为四个球的球心，θ为BD连线与竖直方向间的夹角，根据几何关系有sin θ＝，则cos θ＝，分析D球受力，得3F cos θ＝mg，其中F为A、B、C三球对D球的支持力大小，可得F＝mg，根据牛顿第三定律，D球对A、B、C三球的压力均为F1＝F＝mg，D正确。
方法2　三维空间轻绳模型的弹力
【例2】　(2024·安徽合肥质检)如图甲为挂在架子上的双层晾衣篮。上、下篮子完全相同且保持水平，每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成，两篮通过四根等长的轻绳与钢圈的四等分点相连，上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图乙所示，则图甲中上、下各一根轻绳中的张力大小之比为(　C　)
A．1∶1 B．2∶1
C．5∶2 D．5∶4
【解析】　设一个篮子的质量为m，连接下篮的轻绳的拉力为T2，对下篮根据平衡条件得4T2＝mg，解得T2＝；设连接上篮的轻绳的拉力为T1，轻绳与竖直方向夹角为θ，结合题意对两个篮子整体进行受力分析可知，两篮在4根轻绳对其的拉力与重力作用下处于平衡状态，由平衡条件得4T1cos θ＝2mg，结合图乙中的数据由几何关系可得sin θ＝＝0.6，联立解得T1＝mg，则上、下各一根轻绳中的张力大小之比为＝，C正确。
方法3　三维空间轻杆模型的弹力
【例3】　如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为(　D　)
A．mg
B．mg
C．mg
D．mg
【解析】　题中每根支架对照相机的作用力F沿每根支架向上，这三个力的合力等于照相机的重力，所以有3F·cos 30°＝mg，得F＝＝mg，D正确。
【跟踪训练1】　(多选)如图所示(俯视图)，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是(　AD　)
A.下面每个球对地面的压力均为mg
B．下面的球不受地面给的摩擦力
C．下面每个球受地面给的摩擦力均为mg
D．下面每个球受到上面的球的压力均为mg
解析：以四个球整体为研究对象，受力分析可得，3FN＝4mg，可知下面每个球对地面的压力均为F′N＝FN＝mg，A正确；单独分析上面的球，设上面的球对下面的球的压力大小均为F，由对称性和几何关系可知，F与竖直方向的夹角α均满足cos α＝，由平衡条件可得3F cos α＝mg，F＝mg，根据牛顿第三定律可知，下面每个球受到上面球的压力均为F′＝F＝mg，D正确；单独分析下面一个球，由水平方向合力为0可知，Ff＝F sin α＝mg，即下面每个球受地面给的摩擦力均为mg，B、C错误。
【跟踪训练2】　如图甲所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。如图乙所示，两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为(　C　)
A．Ff B．Ff
C．Ff D．Ff
解析：设每根绳的拉力为F，则这两根绳拉力的合力F合＝2F cos ，方向沿两绳夹角的角平分线，与水平面的夹角为α，对轮胎受力分析如图所示，在水平方向受力平衡，则F合cos α＝Ff，解得F＝＝Ff，故A、B、D错误，C正确。
【跟踪训练3】　(2022·浙江6月选考)如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°。一重力为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的(　B　)
A．作用力为G B．作用力为G
C．摩擦力为G D．摩擦力为G
解析：设每根斜杆对水平横杆的弹力大小为F，以水平横杆和重物为整体，竖直方向根据受力平衡可得4F cos 30°＝G，解得F＝G，以其中一斜杆为研究对象，其受力如图所示，可知每根斜杆受到地面的作用力应与F平衡，即大小为G，每根斜杆受到地面的摩擦力为f＝F sin 30°＝G，B正确，A、C、D错误。
【跟踪训练4】　(多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所示的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面上。∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g。则(　AD　)
A．CO杆所受的压力大小为2mg
B．CO杆所受的压力大小为mg
C．AO绳所受的拉力大小为mg
D．BO绳所受的拉力大小为mg
解析：以O点为研究对象，O点受到衣服的拉力FT、CO杆的支持力F1和轻绳AO、BO的拉力，设轻绳AO和轻绳BO拉力的合力为F，作出O点的受力示意图如图甲所示，根据平衡条件得F1＝＝2mg，由牛顿第三定律知CO杆所受的压力大小为2mg，故A正确，B错误；由图甲分析可知F＝mg tan 60°＝mg，将F沿OA、OB方向分解，如图乙所示，设轻绳AO和轻绳BO所受拉力分别为F2、F2′，且F2＝F2′，则F＝2F2cos 30°，解得F2＝mg，故C错误，D正确。