第七章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：碰撞中的临界、极值问题 讲义 （教师版）

科学思维方法指导：碰撞中的临界、极值问题
1．常见情境
(1)滑块与小车的临界问题：滑块与小车是一种常见的相互作用模型。如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动。滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同。
(2)两物体不相碰的临界问题：两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度大于乙物体的速度，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是二者速度相等。
(3)涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩(拉伸)到最短(长)时，弹簧两端的两个物体的速度相等。
(4)涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
2．解题关键
(1)寻找临界状态：看题设情境中是否有相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态。
(2)挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等。
【例1】　如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0。为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。(不计水的阻力)
【解析】　设乙船上的人抛出货物的最小速度为vmin，抛出货物后乙船的速度为v1，甲船上的人接到货物后甲船的速度为v2，由动量守恒定律，货物从乙船抛出过程，有12mv0＝11mv1－mvmin，甲船上的人将货物接住的过程，有10m·2v0－mvmin＝11mv2，为避免两船相撞应满足v1＝v2，解得vmin＝4v0。
【答案】　4v0
【例2】　如图所示，一质量m1＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量m2＝0.5 kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5。现有一质量m0＝0.05 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在小车中，子弹与小车相互作用时间很短。g取10 m/s2，求：
(1)子弹刚射入小车后，小车的速度大小v1；
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？
【解析】　(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，代入数据解得v1＝10 m/s。
(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与小车共速时，共同速度为v2，两者相对位移大小为L，由动量守恒定律和能量守恒定律有(m0＋m1)v1＝(m0＋m1＋m2)v2，μm2gL＝(m0＋m1)v－(m0＋m1＋m2)v，联立解得L＝5 m，故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m。
【答案】　(1)10 m/s　(2)5 m
【跟踪训练1】　如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量均为m的小车A和B，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v0向右运动，另有一质量为m的黏性物体，从高处自由落下，正好落在A车上，并与之黏合在一起，黏合之后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为(　C　)
A．mv B．mv
C．mv D．mv
解析：设黏性物体落在A车上黏合之后的速度大小为v1，由动量守恒有mv0＝2mv1，解得v1＝，之后整个系统动量守恒，设系统再次达到的共同速度大小为v2，有2mv0＝3mv2，解得v2＝，此时弹簧获得的弹性势能最大，最大弹性势能Ep＝mv＋×2m－×3m＝mv，C正确。
【跟踪训练2】　(多选)如图所示，半径为R、质量为2m的光滑半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，将质量为m的小球(可视为质点)从A点正上方高为R点处由静止释放，由A点经过半圆轨道后从B点冲出，重力加速度为g，则(　CD　)
A．小球进入半圆轨道后，由小球和小车组成的系统总动量守恒
B．小球离开小车后做斜上抛运动
C．小车向左运动的最大距离为R
D．小车获得的最大速度为
解析：小球与小车组成的系统在水平方向所受外力的合力为0，系统在水平方向的动量守恒，小球与小车组成的系统在竖直方向所受外力的合力不为0，因此小球和小车组成的系统总动量不守恒，A错误；系统在水平方向的动量守恒，且系统水平方向总动量为0，则小球由B点离开小车时，小球与小车水平方向上的速度相同，则水平方向上有mvx＋2mvx＝0，解得vx＝0，即小球由B点离开小车时，水平方向的分速度为0，所以小球离开小车后做竖直上抛运动，B错误；根据上述分析可知，小球由B点离开小车时，小车向左运动的距离达到最大，根据动量守恒定律，在水平方向上有m－2m＝0，此过程有x1＋x2＝2R，解得x2＝R，C正确；根据分析可知，小球运动到圆弧轨道最低点时，小车获得的速度最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv1－2mv2＝0，mg·2R＝mv＋×2mv，解得v2＝，D正确。
【跟踪训练3】　如图所示，在光滑水平面上有一质量为2 024m的木板，木板上有2 024块质量均为m的相同木块1、2、…、2 024。最初木板静止，各木块分别以v、2v、…、2 024v的速度同时向同一方向运动，木块和木板间的动摩擦因数均为μ，且木块间不发生碰撞和离开木板的现象。求：
(1)最终木板的速度大小；
(2)运动中第88块木块的最小速度。
解析：(1)设木块和木板最终一起以速度v′运动，由动量守恒定律可知m(v＋2v＋…＋2 024v)＝2×2 024mv′，解得v′＝v。
(2)设第k块木块最小速度为vk，则此时木板及第1至第k－1块木块的速度均为vk，因为每块木块质量相等，所受合力也相等(均为μmg)，故在相等时间内，其速度的减少量也相等，因而此时，第k＋1至第n块的速度依次为vk＋v、vk＋2v、…、vk＋(n－k)v，系统动量守恒，故m(v＋2v＋…＋nv)＝(nm＋km)vk＋m(vk＋v)＋…＋m[vk＋(n－k)v]＝nmvk＋kmvk＋(n－k)mvk＋m[1＋2＋…＋(n－k)]v＝2nmvk＋m[1＋2＋…＋(n－k)]v，所以vk＝，将k＝88，n＝2 024代入解得v88＝v。
答案：(1)v　(2)v