第三章 学科素养聚焦　重要物理模型突破：等时圆模型 讲义 （教师版）

重要物理模型突破：等时圆模型
1．模型特征
(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦由上端静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
2．结论证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为θ，圆的直径为d，如图乙所示。物体沿光滑弦做初速度为0的匀加速直线运动，加速度a＝g sin θ，位移x＝d sin θ，所以运动时间t0＝＝＝。即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
【例】　滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图。已知圆周半径为R，在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，重力加速度为g。
(1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；
(2)若设计一部上端在P点、下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少？
【解析】　(1)设AB与水平方向夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度a＝g sin θ，xAB＝at，AB间的距离为xAB＝2R sin θ，解得tAB＝，故运动时间与斜面倾角无关，同理可知tAC＝，故tAB＝tAC。
(2)根据(1)的结论，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图所示，当两圆相切时，时间最短，可知(R＋r)2＝(R－r)2＋（R）2，解得r＝R，代入(1)的结论得t＝。
【答案】　(1)见解析　(2)
【跟踪训练1】　如图所示，PQ为圆的竖直直径，AQ、BQ、CQ为三个光滑斜面轨道，分别与圆相交于A、B、C三点。现让三个小球（可以看作质点）分别沿着AQ、BQ、CQ轨道自端点由静止滑到Q点，运动的平均速度分别为v1、v2和v3。则有(　A　)
A．v2＞v1＞v3 B．v1＞v2＞v3
C．v3＞v1＞v2 D．v1＞v3＞v2
解析：设任一斜面轨道的倾角为θ，圆直径为d。根据牛顿第二定律得a＝g sin θ，斜面的长度为x＝d sin θ，则由x＝at2得t＝＝＝，可见，小球下滑时间与斜面轨道的倾角无关，则有t1＝t2＝t3，根据v＝，因x2＞x1＞x3，可知v2＞v1＞v3，故选A。
【跟踪训练2】　（多选）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a、b所用的时间。下列关系正确的是(　BCD　)
A．t1＝t2 B．t2>t3
C．t1解析：设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为0，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，A错误，B、C、D正确。
【跟踪训练3】　如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α＞β＞θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　B　)
A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB＞tCD＞tEF
C．tAB＜tCD＜tEF D．tAB＝tCD＜tEF
解析：如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB＞tCD＞tEF，B正确。
【跟踪训练4】　（2023·湖北武汉调研）如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D三点，其中AC与斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，现有三个质量均为m的小圆环（看作质点）分别套在三根细杆上，依次从A点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D三点所用时间分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是(　B　)
A．tB>tC>tD B．tB＝tCC．tB解析：由于∠BAC＝θ，则可以判断AB竖直向下，以AB为直径作圆，由几何关系可知C点落在圆周上，D点落在圆周外，由等时圆的知识可知tB＝tC