华东师大版九年级下26.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级下26.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 80.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-06 08:06:27 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．关于x的二次函数y=x2-2mx+m2-1，当x＜1时，y随x的增大而减少，则抛物线的顶点坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．二次函数y=x2+6x+7的顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（-3，-2） C．（-3，2） D．（-2，3）
3．已知二次函数y=（x+1）2+（x-3）2，当函数y取最小值时，x的值是（ ）
A．x=-1 B．x=3 C．x=2 D．x=1
4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
5．函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y=2（x+3）2+1 B．y=2（x-3）2-1
C．y=2（x+3）2-1 D．y=2（x-3）2+1
7．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥-4 B．m＜-4 C．m＜-5 D．m≥-5
8．若抛物线y=ax2+（a2-a）x-a2与一次函数y=ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab-3的值是（ ）
A．0 B．3 C．-3 D．±3
9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB=（ ）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=x2-2x-8与y轴的交点坐标为 ______．
12．如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ______0．（填“＜”或“＞”）
13．将抛物线y=（x+m）2向右平移3个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 ______．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论：①abc＞0：②若点（m,y1），（-m-2，y2）匀在二次函数的图象上，则y1=y2；③当-4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是-3＜x＜2．其中正确结论的序号为 ______．
15．如图，已知点A（2，0）、B（6，0）和C（4，2），平移△ABC得到△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应．如果点A′、B′都在抛物线上，那么点C到点C′的距离是______．
三．解答题（共5小题）
16．在直角坐标系中，设函数y=（x-m）（x-n）（m,n是实数）．
（1）当m=1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n=m-1，且当x≤-2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a,b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．
17．如图，二次函数y=ax2-2x+c（a≠0，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于A（0，-3），B（3，0）两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D．
（1）求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
（2）设点C坐标为（t,0），线段PD的长为s,求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值．
18．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，-1），（-，），（，-），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y=2x-3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，-2）．
①求a,c的值；
②若-1≤x≤n时，函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，求实数n的取值范围．
19．如图，在直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
20．已知：抛物线．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a,b,c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,求k的值．
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、B 3、D 4、D 5、A 6、A 7、A 8、C 9、B 10、D
二．填空题（共5小题）
11、（0，-8）； 12、＞； 13、3； 14、①②； 15、2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）当m=1时，则y=（x-1）（x-n），
把点（2，6）代入y=（x-1）（x-n）得，6=（2-1）（2-n），
∴n=-4，
∴y=（x-1）（x+4），即y=x2+3x-4；
（2）∵y=（x-m）（x-n），
∴抛物线与x轴的交点为（m,0），（n,0），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴n=m-1，
∴对称轴为直线x=m-，
∵抛物线开口向上且当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∴m-≥-2，
∴m≥-；
（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a,b是实数），
∴a=mn,b=（3-m） （3-n），
∴ab=mn （3-m） （3-n）
=m（3-m） n（3-n）
=[-（m-）2+][-（n-）2+]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜-（m-）2+≤2，
0≤-（n-）2+＜2，
∴0≤ab＜4．
17、解：（1）将点A（0，-3），B（3，0）代入y=ax2-2x+c得：
．
解得．
∴y=x2-2x-3，
∴顶点为（1，-4）．
（2）设直线AB为y=kx+b（k≠0），
将点A（0，-3），B（3，0）代入直线AB为y=kx+b（k≠0），
得．
解得，
∴y=x-3．
∵C（t,0），PC⊥x轴，交直线AB于点D，
∴点P（t,t2-2t-3），点D的坐标为（t,t-3）．
∴s=t-3-（t2-2t-3）
=-t2+3t
=．
∵-1＜0，且0＜t＜3，
∴当时，s有最大值，最大值为．
18、解：（1）函数y=2x-3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意-x=2x-3，解得x=1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，-1）；
（2）①∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴-x=ax2+3x+c,即ax2+4x+c=0，
∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，-2）．
∴，
解得a=-1，c=-4；
②∵a=-1，c=-4，
∴二次函数为y=-x2+3x-4，
∴x=-1时，y=-1-3-4=-8，
∵y=-x2+3x-4=-（x-）2-，
∴对称轴为直线x=，
∴当x=时，函数有最大值为-，
∵若-1≤x≤n时，函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，
∴实数n的取值范围是≤n≤4．
19、解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，
∴A（1，0），
∵tan∠BAO=3，
∴OB=3．
∴B（0，3）
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB．
∴OC=OB=3，OD=OA=1．
C（-3，0）D（0，1）；
把A、B、C的坐标代入解析式得，解得：．
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（3）如图
设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意，得，
解得：．
∴直线CD的解析式为：y=x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t,t+1），
∴NM=t+1．
∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=PN CM+PN OM=PN（CM+OM）=PN OC=×3（-t2-t+2）=-（t+）2+．
∴当t=-时，S△PCD的最大值为．
20、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y=a（x-1）2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a,c=a+1；
（2）∵y=ax2+bx+c,a＞0，c＜0，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2024|ax2+bx+c|≤0，
∴-2024|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-m）x++m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴（b-a）2-4a（+m+c）=0，
整理得：（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x=k+1时，y的最小值为k,
∴（k+1-1）2=k,
解得：k=0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，抛物线的最小值为0，
∴k=0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x=k时，y的最小值为k,
∴（k-1）2=k,
解得：k=或，
∵k＞1，
∴k=，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,k的值为0或．
一．选择题（共10小题）
1．关于x的二次函数y=x2-2mx+m2-1，当x＜1时，y随x的增大而减少，则抛物线的顶点坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．二次函数y=x2+6x+7的顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（-3，-2） C．（-3，2） D．（-2，3）
3．已知二次函数y=（x+1）2+（x-3）2，当函数y取最小值时，x的值是（ ）
A．x=-1 B．x=3 C．x=2 D．x=1
4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
5．函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y=2（x+3）2+1 B．y=2（x-3）2-1
C．y=2（x+3）2-1 D．y=2（x-3）2+1
7．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥-4 B．m＜-4 C．m＜-5 D．m≥-5
8．若抛物线y=ax2+（a2-a）x-a2与一次函数y=ax+b都经过同一定点，则代数式a2+ab-3的值是（ ）
A．0 B．3 C．-3 D．±3
9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB=（ ）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=x2-2x-8与y轴的交点坐标为 ______．
12．如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ______0．（填“＜”或“＞”）
13．将抛物线y=（x+m）2向右平移3个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 ______．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论：①abc＞0：②若点（m,y1），（-m-2，y2）匀在二次函数的图象上，则y1=y2；③当-4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是-3＜x＜2．其中正确结论的序号为 ______．
15．如图，已知点A（2，0）、B（6，0）和C（4，2），平移△ABC得到△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应．如果点A′、B′都在抛物线上，那么点C到点C′的距离是______．
三．解答题（共5小题）
16．在直角坐标系中，设函数y=（x-m）（x-n）（m,n是实数）．
（1）当m=1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n=m-1，且当x≤-2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a,b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．
17．如图，二次函数y=ax2-2x+c（a≠0，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于A（0，-3），B（3，0）两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D．
（1）求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
（2）设点C坐标为（t,0），线段PD的长为s,求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值．
18．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，-1），（-，），（，-），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y=2x-3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，-2）．
①求a,c的值；
②若-1≤x≤n时，函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，求实数n的取值范围．
19．如图，在直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
20．已知：抛物线．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a,b,c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,求k的值．
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、B 3、D 4、D 5、A 6、A 7、A 8、C 9、B 10、D
二．填空题（共5小题）
11、（0，-8）； 12、＞； 13、3； 14、①②； 15、2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）当m=1时，则y=（x-1）（x-n），
把点（2，6）代入y=（x-1）（x-n）得，6=（2-1）（2-n），
∴n=-4，
∴y=（x-1）（x+4），即y=x2+3x-4；
（2）∵y=（x-m）（x-n），
∴抛物线与x轴的交点为（m,0），（n,0），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴n=m-1，
∴对称轴为直线x=m-，
∵抛物线开口向上且当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∴m-≥-2，
∴m≥-；
（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a,b是实数），
∴a=mn,b=（3-m） （3-n），
∴ab=mn （3-m） （3-n）
=m（3-m） n（3-n）
=[-（m-）2+][-（n-）2+]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜-（m-）2+≤2，
0≤-（n-）2+＜2，
∴0≤ab＜4．
17、解：（1）将点A（0，-3），B（3，0）代入y=ax2-2x+c得：
．
解得．
∴y=x2-2x-3，
∴顶点为（1，-4）．
（2）设直线AB为y=kx+b（k≠0），
将点A（0，-3），B（3，0）代入直线AB为y=kx+b（k≠0），
得．
解得，
∴y=x-3．
∵C（t,0），PC⊥x轴，交直线AB于点D，
∴点P（t,t2-2t-3），点D的坐标为（t,t-3）．
∴s=t-3-（t2-2t-3）
=-t2+3t
=．
∵-1＜0，且0＜t＜3，
∴当时，s有最大值，最大值为．
18、解：（1）函数y=2x-3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意-x=2x-3，解得x=1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，-1）；
（2）①∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴-x=ax2+3x+c,即ax2+4x+c=0，
∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，-2）．
∴，
解得a=-1，c=-4；
②∵a=-1，c=-4，
∴二次函数为y=-x2+3x-4，
∴x=-1时，y=-1-3-4=-8，
∵y=-x2+3x-4=-（x-）2-，
∴对称轴为直线x=，
∴当x=时，函数有最大值为-，
∵若-1≤x≤n时，函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，
∴实数n的取值范围是≤n≤4．
19、解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，
∴A（1，0），
∵tan∠BAO=3，
∴OB=3．
∴B（0，3）
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB．
∴OC=OB=3，OD=OA=1．
C（-3，0）D（0，1）；
把A、B、C的坐标代入解析式得，解得：．
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（3）如图
设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意，得，
解得：．
∴直线CD的解析式为：y=x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t,t+1），
∴NM=t+1．
∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=PN CM+PN OM=PN（CM+OM）=PN OC=×3（-t2-t+2）=-（t+）2+．
∴当t=-时，S△PCD的最大值为．
20、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y=a（x-1）2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a,c=a+1；
（2）∵y=ax2+bx+c,a＞0，c＜0，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2024|ax2+bx+c|≤0，
∴-2024|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-m）x++m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴（b-a）2-4a（+m+c）=0，
整理得：（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x=k+1时，y的最小值为k,
∴（k+1-1）2=k,
解得：k=0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，抛物线的最小值为0，
∴k=0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x=k时，y的最小值为k,
∴（k-1）2=k,
解得：k=或，
∵k＞1，
∴k=，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,k的值为0或．