人教版九年级下 27.2 相似三角形 同步练习（含答案）

人教版九年级下 27.2 相似三角形 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 江阴市校级月考）若△ABC∽△DEF，相似比为1：5，则它们面积的比为（　　）
A．1：25 B．1：5 C．1：10 D．1：
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，连接DE，若DE是△ABC的中位线，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
3．如图，在 ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，交对角线BD于点F，已知BD=6，则BF的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
4．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD=2BD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，，且∠AED=∠B，则△AED与△ABC的相似比是（　　）
A． B．1： C．：4 D．2：3
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=6，DB=4，BC=15，则DE的长度为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．12
7．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE=20米；②沿着直线BE后退到点D处，眼请恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED=5米，眼睛到地面的距离CD=1.6米（此时∠AEB=∠CED），那么凉亭AB的高为（　　）
A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米
8．如图，在 ABCD中，点E在BC边上，若BE：EC=1：2，AE交BD于点F，则△BEF与△DAF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：∠A=90°，AD=2cm,AB=4cm,斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
10．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，，DE，DF的延长线分别交AB，BC于点G，H，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如果△ABC∽△DEF，AB：BC：AC=3：4：5，DE=6，那么△DEF的周长为 ______．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则=______．
13．梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，BC=12，AC、BD相交于点O，tan∠DAC=2，过点D作DE∥AB，交AC于点E．若△DOE是直角三角形，那么AD=______．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交CD于点G，，则的值为 ______．
15．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP、CP分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=CF；②∠BPD=135°；③△PDE∽△DBE；④ED2=EP EB，其中正确的是 ______（填序号）．
三．解答题（共5小题）
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=5，DC=15，求BE的长．
17．如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D，且∠BAD=∠CAE．
（1）△ABC与△ADE相似吗？如果相似，请说明理由；
（2）连接BD，若B、D、E三点共线，记AC与DE的交点为H，若AE=2，BC=5，△AEH的面积为20，试求△BCH的面积．
18．如图，在等边△ABC中，CE是外角∠ACF的平分线，点D在边AC上，连结BD并延长交CE与点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB=4，AD=2CD，求BE的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若=，AC=5，求⊙O的半径长．
20．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F为线段AC上两动点（不与A，C点重合），且∠EBF=45°．
（1）求证：△ABF∽△BEF；
（2）试说明无论点E，F在线段AC上怎样运动，总有；
（3）如图2，过点E，F分别作AB，BC的垂线相交于点O，垂足分别为M，N，求OM ON的值．
人教版九年级下 27.2 相似三角形 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D 9、C 10、D
二．填空题（共5小题）
11、24； 12、； 13、8； 14、； 15、①②③④；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA）．
（2）解：∵△ABD≌△EDC，
∴AB=DE，
∵AB=5，DC=15，
∴AB=DE=5，DC=DB=15，
∴BE=DB-DE=10．
17、（1）相似，理由如下：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE；
（2）如图：
由（1）知△ABC∽△ADE，
∴∠E=∠C，
∵∠AHE=∠BHC，
∴△AEH∽△CBH，
∵AE=2，BC=5．
∴△AEH与△BCH的面积比为4：25，
∵△AEH的面积为20，
∴△BCH的面积为125．
18、（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∴CE是∠ACF的平分线，
∴∠DCE=∠ACF=60°，
∴∠A=∠DCE=60°，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）过点D作DH⊥AB于H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴AC=AB=4，∠A=60°，
∵AD=2CD，
∴AC=AD+CD=3CD=4，
∴CD=，
∴AD=2CD=，
在Rt△ADH中，∠A=60°，
∴∠ADH=90°-∠A=30°，
∴AH=AD=，
∴BH=AB-AH=4-=，
由勾股定理得：DH==，
在Rt△BDH中，BH=，DH=，
由勾股定理得：BD==，
由（1）可知：△ABD∽△CED，
∴BD：DE=AD：CD=2，
∴DE=BD=，
∴BE=BD+DE=+=．
19、（1）证明：连接OD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠DOC=2∠B=90°，
∴OD⊥CE，
∵DF∥EC，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠DOC=90°，OD=OC，
∴∠DCO=45°，
∵DF∥EC，
∴∠CDF=∠DCO=45°，
∴∠CDF=∠A，
∵∠ACD=∠DCF，
∴△ACD∽△DCF，
∴，即CD2=AC CF，
∵=，DF∥EC，
∴AF：CF=2：3，
∵AC=5，
∴CF=3，AC=5，
∴CD=，
∵CO2+OD2=CD2，
∴OC=，
∴⊙O的半径长为．
20、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAF=45°，
∴∠BAF=∠EBF=45°，
∵∠AFB=∠BFE（同角），
∴△ABF∽△BEF．
（2）解：∵△ABF∽△BEF，
∴，则BF2=AF EF，
同理可证△BCE∽△FBE，
∴，则BE2=CE EF，
∴．
（3）解：∵∠BAF=∠ECB=45°，
∠CEB=∠BAF+∠ABE=45°+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB，则，
∴AF CE=AB BC=9，
∵OM∥BC，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=3，BC=3，
∴，
∴，
∵ON∥AB，
∴，
∴，
已知过点E，F分别作AB，BC的垂线，
∴∠MBC=∠MON=∠BNO=90°，
∴四边形MBNO是矩形，
∴OM=BN，ON=BM，
∴．