湘教版九年级下 2.3 垂径定理 课后巩固（含答案）

湘教版九年级下 2.3 垂径定理 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 鼓楼区校级期中）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC⊥OB于点D．若AC=16，OD=6，则半径的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．4
4．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm,油漆面宽AB为24cm,则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　）
A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm
5．某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度CD为4cm.则这个圆形截面的半径是（　　）
A．20 B．18 C．12 D．10
6．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AD的长为（　　）
A．9 B． C．10 D．
7．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
8．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，在下列四个说法中，①=2；②AC=2CD；③OC⊥BD；④∠AOD=2∠COD，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8，CD=2，则线段CE的长为（　　）
A． B．8 C． D．
10．如图，在⊙O中，直径AB=10，CD⊥AB于点E，CD=8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m=PC+PF，则m的取值范围是（　　）
A．8＜m≤4 B．4＜m≤10 C．8＜m＜8 D．6＜m＜10
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=10，AE=4，则CD等于 ______．
12．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为______．
13．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm,在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为 ______cm.
14．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8，CD=2，则线段CE的长为 ______．
15．如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作BF的垂线交BF于点G，交⊙O于点H，若AE=3，，，则OE的长度为 ______，AF的长度为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，点D是以AB为直径的⊙O一动点，且点D与点C位于直径AB的两侧，CD与AB交于点F，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E．
（1）当CD⊥AB时，求CD的长；
（2）当CD经过圆心时，求△DCE的面积．
17．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．
（1）求证：D是AC的中点；
（2）若AB=6，，求⊙O的半径．
18．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）连接OA、OC，若OA=6，OC=4，∠OCD=60°，求AC的长．
19．如图，AB是半⊙O的直径，弦CD∥AB，点E，F分别在半径OD和弦CD上，且OE=CF，连接AE，OF．
（1）求证：AE=OF；
（2）若∠DOF=90°，AB=10，CD=8，求DE的长．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠ABC的平分线交AD于点E．点O在AD的延长线上，以O为圆心，OE为半径的⊙O经过点B，C．
（1）若，，求⊙O的半径；
（2）设⊙O与AD的延长线交于点F，M是CF的中点，MD的延长线与AB交于点N．求证：BN=BD．
湘教版九年级下 2.3 垂径定理 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、D 3、B 4、B 5、D 6、B 7、C 8、B 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、16； 12、4； 13、8； 14、2； 15、；2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∠ACB=90°，
∵AC=1，BC=2，
∴AB==，
∵CE⊥CD，
∴CF=DF，
∵CF AB=CA CB，
∴CF==，
∴CD=2CF=；
（2）如图，
∵CD经过圆心，即CD为直径，
∴∠CBD=90°，CD=AB=，
∴BD===1，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠CBD=∠DCE，
∵∠CDB=∠EDC，
∴△DBC∽△DCE，
∴DC：DE=DB：DC，即：DE=1：，
解得DE=5，
∴△DCE的面积=CB DE=×2×5=5．
17、（1）证明：如图，连接BD．
∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB，
∴D是 的中点，
∴，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=CD，
∴AD=CD，
即D为AC的中点；
（2）如图，连接OA．
∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB=6，
∴AH=AB=3，
∵D是AC的中点，，
∴，
∴DH==2，
设OD=OA=r,则 OH=r-2，
在 Rt△OAH中，OH2+AH2=OA2，
∴（r-2）2+32=r2，
∴，
即⊙O的半径为．
18、（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AH-CH=BH-DH，
∴AC=BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH=DH=CD，
∵OC=OD，∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=4，
∴CH=2，
∴OH===2，
∴AH===2，
∴AC=AH-CH=2-2．
19、（1）证明：连接OC，如图，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠AOD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠AOD=∠C，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（SAS），
∴AE=OF；
（2）解：过O点作OH⊥CD于H点，如图，则CH=DH=CD=4，
∵∠DOF=90°，
∴∠DHO=∠DOF，
∵∠ODH=∠FDO，
∴△DOH∽△DFO，
∵DO：DF=DH：DO，
即5：DF=4：5，
解得DF=，
∴CF=CD-DF=8-=，
∴OE=，
∴DE=DO-OE=5-=．
20、（1）解：连接OB，⊙O的半径为R，如图所示：

∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB=，BD=，
∴sin∠BAD===，
∴∠BAD=30°，
∴∠ABC=90°-∠BAD=60°，
∵BE是∠ABD的平分线，
∴∠ABE=∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠BAD=30°，
∴AE=BE，∠BEO=∠ABE+∠BAD=60°，
∵点O是⊙O的圆心，OE为半径，⊙O经过点B，C，
∴OB=OE，
又∵∠BEO=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OBE=60°，OB=OE=BE=R，
∴AE=BE=R，
∴OA=OE+AE=2R，
∵∠ABO=∠ABE+∠OBE=30°+60°=90°，
∴△AOB是直角三角形，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2=AB2+OB2，
∴，
解得：R=2，R=-2（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2；
（2）证明：在Rt△CDF中，M是CF的中点，
∴MD=MC=MF，
∴∠MDF=∠F．
∵∠F=∠DBE，∠MDF=∠ADN，
∴∠DBE=∠ADN，
∵AD⊥BC，
∴∠ADN+∠BDN=90°，
∴∠DBE+∠BDN=90°，
∴BE⊥ND，
∴∠DBE+∠BDN=90°，∠NBE+∠BND=90°，
又∵BE是∠ABD的平分线，
∴∠DBE=∠NBE，
∴∠BND=∠BDN，
∴BN=BD．