2.4.1函数的奇偶性 题型归纳（含解析）2025-2026北师大（2019）高中数学必修一

2.4.1函数的奇偶性题型归纳
题型一：函数奇偶函数的判断
1．（22-23高一上·宁夏银川·期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．
(1)．
(2)．
(3)
3．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1) (2)
(3) (4)，
(5) (6)；
(7) (8)
题型二：利用奇偶性求函数的解析式
4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ．
5．（23-24高一上·上海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时， .
6．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
题型三：奇偶数求参数问题
7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ．
8．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 .
9．（23-24高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
题型四：奇偶性求解不等式问题
10．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 .
11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 .
12．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
题型五：奇偶性的应用
13．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是
14．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
15．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ．
题型六：奇偶性的对称问题
16．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
17．（23-24高一上·安徽滁州）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
18．（20-21高二下·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 .
题型七：函数的奇偶性综合问题
19．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，.
(1)求时，函数解析式；
(2)解不等式.
20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
21．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在和上的单调性并证明；
(3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围．
【高分达标】
一、单选题
22．（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．12
24．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
26．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（ ）
A． B．
C． D．
28．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
29．（23-24高一上·浙江·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（ ）
A． B． C．是奇函数 D．是偶函数
31．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
32．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在定义域R上为增函数
C．当时， D．不等式的解集为
33．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
34．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
35．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ．
36．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为 ．
37．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则 ；若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
38．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
39．（23-24高一上·福建漳州）已知定义在R上的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明在R上为减函数,并解不等式．
40．（23-24高一上·江苏扬州）定义在上的函数满足对任意x，，恒有，且时，有．
(1)求的值；
(2)证明：为奇函数；
(3)试判断的单调性，并加以证明．
41．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
42．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)解不等式.
43．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为.
(1)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
2.4.1函数的奇偶性题型归纳答案
题型一：函数奇偶函数的判断
1．（22-23高一上·宁夏银川·期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
2．（23-24高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．
(1)．
(2)．
(3)
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析
(3)偶函数，理由见解析
【分析】由奇偶函数的定义判断即可.
【详解】（1）由题意得的定义域为．
因为，都有，
且，
所以是奇函数．
（2）的定义域为，当时，，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）当时，，
则，
当时，，
则，
所以是偶函数．
3．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)，
(5)
(6)；
(7)
(8)
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)非奇非偶函数
(6)奇函数
(7)偶函数
(8)非奇非偶函数
【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可.
【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（2）的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
（3）的定义域为不关于原点对称，
故既不是奇函数也不是偶函数.
（4），的定义域为，不关于原点对称，
故既不是奇函数也不是偶函数.
（5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称，
故既不是奇函数也不是偶函数.
（6）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（7）对于函数，因为，所以，
其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有，
所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数.
题型二：利用奇偶性求函数的解析式
4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.
【详解】函数在上为奇函数，且当时，，
当时，，
所以.
故答案为：.
5．（23-24高一上·上海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时， .
【答案】
【分析】设，则，代入解析式得；再由是定义在上的奇函数，即可求得答案.
【详解】设，则：，
所以：，
又因为：是定义在上的奇函数，
所以：，
所以：.
故答案为：.
6．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【分析】按题意求函数表达式即可
【详解】
和已知条件相加得
故
故
故答案为：
题型三：奇偶数求参数问题
7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ．
【答案】1
【分析】根据条件得到恒成立，即可求出结果.
【详解】由题知，得到，
整理得到恒成立，所以，得到，
故答案为：.
8．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 .
【答案】
【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可.
【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，
所以，解得，
经检验，当时，为偶函数，符合题意.
法二：定义法：因为为偶函数，所以，
所以，化简得，
所以，解得.
故答案为：
9．（23-24高一上·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
【答案】
【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解.
【详解】由题意首先，解得，
即函数是上的偶函数，
由，解得，此时，经检验符合题意，
所以.
故答案为：.
题型四：奇偶性求解不等式问题
10．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，
所以，
设，则，所以，又，
所以，
即当时，函数的解析式为.
故答案为：；
11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】依题意可知函数是在上单调递增的奇函数，再由结合单调性和奇偶性即可求得的解集.
【详解】由任意，有可得，
函数在上单调递增，
又根据奇函数性质可得，且在上单调递增；
所以当时，，可得；
当时，，可得；
综上可得的解集为.
故答案为：
12．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析所以是上的减函数，且，然后利用函数的性质将等价转化，分类讨论即可求得答案.
【详解】，，所以在单调递减，
又是上的奇函数，所以是上的减函数，且，
或，
即或
解得.
故答案为：
题型五：奇偶性的应用
13．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是
【答案】
【分析】先由函数是偶函数求出；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：.
所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增.
因为，即，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用.解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解.
14．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范围是.
故答案为：.
15．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据单调性的定义得到在上单调递增，然后根据为奇函数，得到在上单调递增，，然后分和两种情况解不等式即可.
【详解】因为对任意都有，所以在上单调递增，
又为奇函数，，则在上单调递增，，
可变形为或，解得或.
故答案为：.
题型六：奇偶性的对称问题
16．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.
【详解】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：6.
17．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【分析】令并判断奇偶性，由及奇偶对称性求.
【详解】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以在上的最大值和最小值之和为0，即，
所以．
故答案为：4
18．（20-21高二下·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先将时函数的解析式写成分段函数的形式，根据函数为奇函数作出函数的图像，由题意的图像不能在图像下方，根据函数图像平移可得，则向右平移的距离应该大于等于.从而可得出不等关系，得出答案.
【详解】由题意，当时
当时，，所以，
对任意的，都有，即的图像向右平移个单位，得到图像.
由题意的图像不能在图像下方，则向右平移的距离应该大于等于.
即，所以
故答案为：
题型七：函数的奇偶性综合问题
19．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，.
(1)求时，函数解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件和奇函数的定义即可求解；
（2）求出函数的解析式，根据函数图象判断函数单调性，求解不等式.
【详解】（1）当时，，则，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以，即.
（2）由（1）可知，并做出其函数图象，由图象可知在R上单调递增，
由可知，，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)单调递减；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可；
（3）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性化简，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由基函数的性质可知，，所以，即，
因为，所以，即.
（2）函数在上单调递减.
证明：任取，
则，
因为，则，，则，
即，所以函数在上单调递减.
（3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数，
则，
所以，解得，
则不等式的解集为.
21．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在和上的单调性并证明；
(3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析；在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用定义域上奇函数满足，并用定义验证即可.
（2）利用定义法分别在和上判断函数的单调性即可.
（3）将对于任意，恒成立，转换为恒成立，然后求实数n的取值范围.
【详解】（1），是奇函数，所以，
当时，，
，，是奇函数，所以；
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
，且，有
，
①当时，，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递减．
②当时，，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递增．
（3）对于任意，恒成立，
只需，即．
由（2）得．
又，时，，所以，
所以，n的取值范围是．
【高分达标】
一、单选题
22．（23-24高一上·江苏扬州·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性的概念，当时，为偶函数，当时，为奇函数，则由函数是偶函数可排除B，C，D，再判断选项A中函数的单调性即可．
【详解】对于A，因为，所以是偶函数，
当时，设，则，
所以，
所以在上单调递减，故A正确；
对于B，因为，所以是奇函数，故B错误；
对于C，因为，所以是奇函数，故C错误；
对于D，因为，所以是奇函数，故D错误.
故选：A.
23．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】C
【分析】由奇函数的性质代入求值即可.
【详解】由题意是定义域为的奇函数，当时，，
所以.
故选：C.
24．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.
【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确；
对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得，
又因为在上单调递减，可得，
因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数，
所以，所以B不正确；
对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确；
对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.
故选：D.
25．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据题意求得函数的性质，从而得解.
【详解】依题意，令，则的定义域为，
因为是定义在上的奇函数， 所以，
所以函数是定义在上的偶函数，
因为对，且有，
所以在上单调递增，所以当时，，
当时，则有，
所以，即，
又，所以在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递减，
因为，所以，
所以由，得，则，
所以，解得.
故选：D.
26．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，结合是定义在上的奇函数，得到，作出函数图象，根据函数图象平移变换求解.
【详解】解：由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，
∴当时，，即，而；
当时，，即，而；
∴综上，有，可得如下函数图象，
的图象可以看作的图象向左或向右平移个单位长度而得到的，
若对任意的，成立，
当时， 则的图象至少向左平移6个单位长度；
当时， 则的图象至多向右平移2个单位长度；
所以或.
故选：D.
27．（23-24高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由，得到为减函数，再结合偶函数即可得到结论．
【详解】因为对任意，，当时都有,
所以在上递减，
又因为是偶函数，
所以,
所以,所以，
故选:B．
28．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式.
【详解】由可得，故在上单调递减，
又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数，
故不等式满足或，
所以或，
故不等式的解为，
故选：A
二、多选题
29．（23-24高一上·浙江·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由偶函数排除两个选项，再判断单调性即得.
【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是；
函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是.
故选：BD
30．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（ ）
A． B． C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】ABD
【分析】A选项，令得到；B选项，令得到；CD选项，先赋值求出，进而令得到，得到C错误，D正确.
【详解】A选项，中，令得，，A正确；
B选项，中，令得，，
解得，B正确；
CD选项，中，令得，，
解得，
中，令得，
，
函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确.
故选：ABD
31．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】由奇函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，
所以，令可得：，故A正确；
对于B，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确；
对于C，若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；
对于D，若时，，
则时，，，
因为是奇函数，所以，所以,故D正确.
故选：ABD.
32．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在定义域R上为增函数
C．当时， D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的性质，结合函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，当时，，
所以当时，，
所以选项C不正确；
因为，所以选项A正确；
二次函数的对称轴为，所以当时，单调递增，
又因为是定义在R上的奇函数，所以，
而是奇函数，它的图象关于原点对称，所以在定义域R上为增函数，因此选项B正确；
因为是奇函数，，所以，
于是由，所以选项 D正确，
故选：ABD
33．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由两个等式可得函数周期，根据周期结合求出a，然后利用赋值法可得b，再利用周期即可求出.
【详解】因为，
所以，即，
又
所以，所以，A正确；
因为，
所以，B正确；
在中，令，得，
即，解得，C正确；
，D错误.
故选：ABC
三、填空题
34．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】应用偶函数的性质求解即可.
【详解】解：当时，可得，
又因为当时，，
所以，
又因为函数是偶函数，即，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
35．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据奇偶性可得到结果.
【详解】因为为奇函数，则，所以
则，即，
，
故答案为：.
36．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【详解】由题意可得在上为单调减函数，且，
则时，时，时或；
由可得或，则或，
故不等式的解集为．
故答案为：．
37．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则 ；若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】 .
【分析】（1）根据函数为偶函数，利用，列出方程，求得的值，作出函数的图象，求得函数的最小值，结合题意，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，
不妨设，则，所以，
即，可得，所以，
所以函数，作出函数的的图象，如图所示，
可函数的最小值为，
要使得对于任意的，不等式恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
38．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递减；证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质求解当时的解析式，从而得解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】（1）因为当时，，
设，则，则，
又是定义在上的奇函数，
所以，
故；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
当时,，
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，，
故，则，
所以函数在上单调递减.
39．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明在R上为减函数,并解不等式．
【答案】(1)1
(2)证明见解析，
【分析】（1）由奇函数的性质，结合，可求a值，注意验证即可；
（2）首先求的单调性，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）由题意，
解得，此时，满足，
所以实数a的值为1．
（2），不妨设，则
，
因为，所以，，，
从而，即，
所以在R上为减函数，由题意，
所以，解得．即不等式的解集为．
40．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）定义在上的函数满足对任意x，，恒有，且时，有．
(1)求的值；
(2)证明：为奇函数；
(3)试判断的单调性，并加以证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）取代入计算得到答案；
（2）取得到，得到证明；
（3）设，计算，得到答案.
【详解】（1）取得到，解得；
（2）因为的定义域为，
取得到，故函数为奇函数；
（3）函数在上单调递增，证明如下：
设，
则，
因为时，有，则，故，即，
函数在上单调递增.
41．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案；
（2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明；
（3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2），
则
.
因为，
所以，，，，
所以，，
所以，，
所以，函数在上单调递增.
（3）由已知，定义域为，关于原点对称.
又，所以为奇函数.
由可得，.
由（2）函数在上单调递增，
可得，解得.
42．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质可得、，求出m、n的值，检验即可；
（2）由（1），利用定义法证明函数的单调性即可求解；
（3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】（1）因为奇函数的定义域为，所.
故有，解得.所以.
由即，解得.
此时，满足，为奇函数，
故.
（2）证明：由（1）知，
任取，
则＝＝，
因为，所以，故，
又因为，所以，而，故，
即，所以函数在上为增函数．
（3）函数是定义在上的奇函数，
由，得，
又在上为增函数，
所以，解得.
43．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为.
(1)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数为偶函数得到，设，计算得到证明；
（2）确定为奇函数得到单调区间，题目转化为，解得答案.
（3）根据单调性计算值域得到，为方程的两个实数根，根据根的范围得到不等式，解得答案，或确定，得到不等关系，解得答案.
【详解】（1）函数在上单调递减，
函数为偶函数，故对称轴为，得，，，
不妨设，
则，
因为，所以，，
即，，，即，
所以函数在上单调递减，
（2），，，
函数为奇函数，故函数在上单调递减.
，即，即，
因为函数在和上单调递减，
所以，或，或，解得，
故不等式的解集为.
（3）函数在上单调递减，所以在上的值域为，
由题意得，，化简得，
所以，为方程的两个实数根，
因为要存在实数，，
所以方程有两个大于1的不相等的实数根，
法1：，或，解得，
所以实数的取值范围为
法2：由条件，，所以，故，解得，
所以实数的取值范围为.