1.1 集合的概念（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共37张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
题型觉醒
高频题型：题型二、题型四、题型五
题型一 集合的判断
1.（2025四川南充高级中学期中）下列选项中,能够构成集合的是( )
C
A.南充高中2024级个子较高的学生 B.高中数学人教A版必修第一册中的难题
C.关于的方程的所有实根 D.无限接近于 的所有实数
【解析】 个子较高,对象不确定,不符合集合中的元素确定性;
难题,对象不确定,不符合集合中的元素确定性;
的根为,故集合为, ;
无限接近于 ,对象不确定,不符合集合中的元素确定性.
2.下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是( )
C
A.所有很大的实数组成的集合
B.满足不等式 的所有整数解组成的集合
C.所有大于 的偶数组成的集合
D.所有到, 轴距离均为1的点组成的集合
【解析】 “很大的实数”,对象不确定,不能组成集合；
不等式的解集为,所有整数解组成有限集,0,1, ；
所有大于 的偶数,对象确定且有无数个,能组成集合,且为无限集；
所有到,轴距离均为1的点为,,, ,则组成的集合中只有4
个元素,是有限集.
3. （2025浙江宁波北仑中学检测）下列说法中正确的是( )
B
A.0与 表示同一个集合
B.集合与 是两个相同的集合
C.方程的解集为
D.集合 可以用列举法表示
【解析】 不是集合, 表示以0为元素的一个集合；
集合与 的元素完全相同,且集合中元素具有无序性,所以是两个相同的
集合；
所给集合不满足集合中元素的互异性,方程 的所有解组成的集合
可表示为 ；
集合 表示大于4且小于5的全体实数,有无数个且无法一一列举出来,故
不可以用列举法表示.
题型二 集合的表示方法
4. （2025湖北省黄石一中入学考试）一次函数与 图象
的交点组成的集合是( )
C
A. B., C. D.
【解析】 联立两函数的表达式得解得 因此两函数图象的交点为
,组成的集合为(集合中的元素是点，用实数对 表示，而不是数，注意
的顺序)
. .
5.（2025陕西西安开学考试）对集合 用描述法来表示,其中正确的是( )
D
A.是小于18的正奇数} B.,,且
C.,,且 D.,,且
【解析】 是小于18的正奇数 ；
,,且15913 ；
,,且15913 ；
,,且 .
6.（多选/2025福建泉州期中）给出下列说法,其中不正确的是( )
BCD
A.集合用列举法表示为
B.实数集可以表示为为所有实数}或{ }
C.方程组的解组成的集合为, }
D.集合与 是同一个集合
【解析】 集合 （元素限制条件为非负整数）中只含有两个元素0和1,
所以用列举法表示为 ；
“”表示所有的实数组成的集合,所以实数集的正确表示应为为实数}或 ；
方程组解得
解集应为,(该集合中的元素是点，需要用实数对 表示)其中元素实际上表
示的是两条直线的交点；
集合为的取值集合,集合表示图象上点 的集
合,所以两个集合不是同一个集合.
. .
. .
题型三 、 的判断及应用
7. （2025广东广州市实验外语学校期中）给出下列关系:； ；
；； ,其中正确的个数为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 是实数,①正确；是无理数,②错误；是整数,③错误; 是自然
数,④错误；0是有理数,⑤错误,正确的个数为1.
8.（2025江苏南通一中月考）已知集合,},若且 ,则
实数 的取值范围是( )
A
A.} B.} C.} D. }
【解析】 ,则1不满足,,则3满足 ,故有
解得.故的取值范围是 }.
9.（2025湖北省株洲市第二中学开学考试）已知,, 为非零实数,代数式
的值所组成的集合是 ,则下列判断正确的是 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 根据题意,需分4种情况讨论.
当,,全部为负数时,也为负数,则 ；
当,,中有两个为负数时,为正数,则 ；
当,,中有一个为负数时,为负数,则 ；
当,,全部为正数时,也为正数,则 .
所以,0, ,则可知A选项正确.
10.（多选/2025河北石家庄云臻高级中学月考）已知集合, ,
,},且,, ,则下列判断正确的是( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】 由题可知集合表示奇数集,集合表示偶数集,又,,,所以, 是
奇数, 是偶数.
因为两个奇数的乘积为奇数,所以 ；
因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以 ；
因为两个奇数的和为偶数,所以 ；
因为两个奇数与一个偶数的和为偶数,所以 .
11.（2024天津八中月考）大招2若, },用列举法表示集合
, }=______.
【解析】 由题意可知,是方程的一个根,则 ,解得
,代入方程中,得 .由十字相乘法可得
,解得或,所以 ,
.
题型四 互异性在求参中的应用
12.（多选）若集合,,,则实数 的值可能为( )
CD
A. B.3 C.0 D.5
【解析】 集合中的元素必须满足互异性,所以集合 中的三个元素互不相等,即
解得所以且 .故0,5满足题意.
13.（2025广东广州阶段检测）设为实数,,,,,若与相等,则 ___.
0
【解析】 集合中的元素必须满足互异性,且两集合相等,所以,且, ,
故 .
14.（2025江苏海安高级中学月考）已知集合,,,, ,
且,则集合 ______.
【解析】 因为,所以或.由,得到或 ,
当时, ,不满足集合中元素的互异性,舍去,
当时,,满足题意,此时 ；
当,即时,集合不满足集合中元素的互异性,舍去,故 .
15.（2024陕西商洛检测）已知集合中含有两个元素和 .
（1） 若是集合中的元素,试求实数 的值.
【解】因为是集合中的元素,所以 或（由集合元素的确定性和无
序性分两种情况讨论） .
若,则,此时集合中含有两个元素 ,1,满足互异性,符合要求；
若,则,此时集合中含有两个元素, ,满足互异性,符合要求.
综上,满足题意的实数的值为1或 .
（2） 能否为集合 中的元素？若能,试求出该集合中的所有元素；若不能,请说明理由.
【解】不能.理由如下：
若为集合中的元素,则或 .
当时,解得,此时 ,显然不满足集合中元素
的互异性；
当时,解得,此时 ,显然也不满足集合中元素的互异性.
综上,不能为集合中的元素.（事实上,由集合中元素的互异性知 ,即
,而当时, ）
. .
题型五 确定集合中的元素或元素的个数
16.下列选项中是集合,, }中的元素的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 将选项代入逐个验证即可.
显然对应的 的值不相同；
当,时,由得,由得,此时 的值不相同；
当,时,由得,由得,此时 的值相同.
17.（2025湖北武汉期中）大招1已知集合,则集合, 中元素
的个数是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 根据,知,都可取0,1,2.当时,；当时, 的取值为
0,1,2；当时, 的取值为0,2,4.
根据集合中元素的互异性得, ,元素的个数是4.
18.（多选/2025陕西省西安市西北工业大学附属中学检测）已知集合 ,
,则满足中有8个元素的 的值可能为( )
AC
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】 由,,可知,依次讨论为6,7,8,9时,集合 中的元素个数.
时,满足,的的值为6,3,2,1,,,,,故集合 中有8个元素；
时,满足,的的值为7,1,,,故集合 中有4个元素；
时,满足,的的值为8,4,2,1,,,,,故集合 中有8个元素；
时,满足,的的值为9,3,1,,,,故集合 中有6个元素.
能力觉醒
1.（2025辽宁葫芦岛检测）已知正数集合,,,,则以,,, 为边长构成
的四边形可能是( )
D
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
【解析】 由集合中元素的互异性可知,构成的四边形的四条边长度不相等.平行四边形、
矩形和菱形对边均相等,不符合要求.梯形的四条边可能互不相等,故可能为梯形.
2.（2025河南新乡一中期中）已知集合,,, ,
,},若, ,则( )
A
A. B.
C. D.不属于,, 中的任意一个
【解析】 ,,,,, ,
,, .
3.（2025江西南昌大学附中月考）下列各组中, 表示相同集合的是( )
C
A.,,
B.,
C.,,, }
D.,,, }
【解析】 ,是数集,是点集,二者不是同一集合,故 ；
与表示不同的点,故 ；
,,, ,其中
元素均表示大于等于1的所有实数,故 ；
是二次函数,的所有值组成的集合,而集合 是二次函数
,图象上所有点组成的集合,故 .
4.（多选/2025安徽合肥一六八中学月考）已知, ,且
,,则 的值可能为( )
BCD
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 当时,,,故, ；
当时,,,故, ；
当时,,,故, ；
当时,,,故, .
5. （多选/2025广东广州南海中学月考改编）下列四个命题中正确的是( )
BC
A.方程的解集为,
B.同时满足的整数解的集合为,0,1,
C.由实数,,,, 所组成的集合最多含2个元素
D., }中含有3个元素
【解析】 由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为 ；
（易错点）
由得 ,
. .
所以整数解组成的集合为,0,1, ;
由于,,且在,,中,当时,,当时, ,
当时, ,三者中至少有两个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该
集合中最多含2个元素；
当时, ,
当时, ,
当时, ,
当时, ,
当时, ,
当时, ,
所以集合含有4个元素2,1,0, .
6.（2025河北省高碑店市第一中学月考）图中阴影部分
（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ___________
____________________.
,且
【解析】 设集合中的代表元素是 .
由题意,,且 ,
因此所求集合,且 .
7.（2025安徽多校联考）大招2已知集合 中只有一个元
素,则 的所有可能取值组成的集合为__________.
,,
【解析】 原问题即为方程 的根的个数问题,由于二次项系数含
参数,需分其是否为零分类讨论.
集合表示关于的方程 的解集,
因为集合中只有一个元素,当,即时,,解得,此时 },符合
题意.
当时,则 ,（一元二次方程有两个相等的实数根）解得
或 ,
当时,},当时, },符合题意；
综上可得,的所有可能取值组成的集合为,, .
. .
8.已知集合,0,,,,则集合 中所有元素之和为____.
【解析】 由知, 或0或1.
当时,,此时,则 ,不满足题意,舍去；
当时,,若,此时,则 ,不满足题意,舍去,若
,此时,则 ,满足题意；
当时,,此时 ,满足题意.
所以,, },
所以集合中所有元素之和为 .
素养觉醒
1. （多选/2024江苏常州检测）对于集合,,我们把集合且 叫做
集合与集合的差集,记作.已知集合, ,则下列说法正
确的是( )
AB
A. B. C. D.
【解析】 根据差集的定义知表示中独有元素,表示 中独有元素,则
,, ,故A,B正确,C,D不正确.
2. （2025广东普宁期末）设是非空实数集,且.若对于任意的, ,都
有,则称集合具有性质；若对于任意的,,都有,则称集合 具有性质
.
（1） 写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合 .
【答案】 由,, ,可得恰含有两个元素且具有
性质的集合, .
（2） 若非空实数集具有性质,求证：集合具有性质 .
【答案】 若集合具有性质,不妨设, .
由非空数集具有性质,有 ．
①若,易知此时集合具有性质 ．
②若实数集只含有两个元素,不妨设, ,
由,且,解得,此时集合具有性质 ．
③若实数集含有两个以上的元素,不妨设不为1的元素, ,
则有,由于集合具有性质 ,
所以有,这说明集合具有性质 .