1.2 集合间的基本关系（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共40张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
题型觉醒
高频题型：题型三、题型四
题型一 空集的性质
1. （多选/2025广东实验中学期中）以下四个结论中,正确的有( )
AC
A. B. C. D.
【解析】 因为空集是没有任何元素的集合,所以 正确, 错误, 正确,
错误.
2.（多选/2025河南郑州月考）若关于的方程的实数解集为 ,则实数 的可能
取值是( )
AC
A. B.1 C.0 D.2
【解析】 二次项系数为参数,需分和 两种情况讨论解的情况.
当时,方程无解,解集为 ,满足题意；
当时,由得,由于,所以当时方程无解,即解集为 .
因此方程的解集为 的条件是 .
观察选项可知,A,C符合.
题型二 集合基本关系的判断
3. （2025广东省18校期末）若,, ,则以下正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 为元素,为集合,所以 ；
为集合,为集合,且,所以 ；
为集合, 是有序数对,两者无属于关系；
为集合,为集合,且,故 .
4.（2025山东日照检测）已知集合或, ,则( )
C
A. B. C. D.
【解析】 在数轴上表示出两集合,如图,显然 .
5.（2025江苏省常州市调研）下列表示集合}和 关
系的 图中正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 同时满足,的只能为1,,2,,故,,2,,, ,所
以是 的真子集.
选项B中的 图符合.
M
N
6.（2025广东珠海测试）若,,, ,
, },则这三个集合间的关系是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 将三个集合中元素的特征性质统一形式.
依题意,,,,, },
,, },
而,}=,{偶数,},因此集合中的任意元素都是集合
中的元素,即有,集合中的每一个元素都是集合中的元素,即 ,所以
.
坑神小课堂
集合基本关系的判断方法
（1）列举观察法,中元素都在中,则,中存在一个不是中的元素,则 ；
（2）元素特征法,分析比较特征性质进行判断；
（3）数形结合法,利用 图、数轴直观判断.
题型三 由集合基本关系求参数
题组一
7.（2025湖北武汉）大招1,2已知集合,5,,,,且,则 ( )
D
A. B.1 C. D.3
【解析】 由及集合,的元素,得或 .
若,则,此时 ,不满足元素的互异性.
若,由十字相乘法得,解得或.当 时
,不满足元素的互异性, .
综上所述, .
8.（2025湖南株洲期末）已知集合,,,且,则实数 的取值范
围是( )
D
A. B.
C.且 D.且
【解析】 ,由,得解得且 ,所以
实数的取值范围是且 .
9. （2025河北保定检测）已知集合, ,
若,则实数 的取值范围是___________.
【解析】 因为,, ,
所以,（注意包含端点值）所以 .
. .
10.（2025河北石家庄检测）大招1已知集合,,,集合,,,若 ,
则 ____.
【解析】 两集合相等,则元素对应相等.由分式的性质及集合中元素的互异性显然有
且,所以,得,所以且.又,所以 .
所以 .
题组二
11. （多选/2025河北唐山第二中学期中）设,,,若 ,则
实数 的值为( )
ABD
A. B. C. D.0
【解析】 对集合分是否为空集进行讨论,即分, 两种情况.
当时, ,符合题意；
当时,},又因为,所以或,解得或 .
综上,或或 .
12. （2025山西省实验中学月考）大招2已知 ,
,若,则 的取值范围为__________________.
或
分 、为单元素集合、 为双元素集合三种情况讨论,分别求出参数的取
值范围即可得解.
【解析】 集合中含有参数,所以先考虑 是否为空集.
若为空集,则,解得 ；
若为单元素集合,则 ,（有两个相等的实数根）
解得 ,
将代入方程,得,解得 ,
所以 ,符合要求；
若为双元素集合,则,即 ,
此时,,即解得 .
综上所述,的取值范围为或 .
. .
13. 已知或 .
（1） 若或,,求 的取值范围.
【答案】 即的范围小于 的范围.
当,即时,,满足 ；
综上所述,的取值范围为或 }.
当,即时,要使 ,由图1得
等号不同时成立，解得 .
（2） 若,,求 的取值范围.
【答案】 即的范围小于 的范围.
要使,优先考虑 是否为空集.
当,即时, ,满足 ；
当,即时,要使,由图2得 （ 此情况无解）
或,解得.又因为,所以 .
综上所述,的取值范围为 .
. .
14.已知集合, .
【答案】 当时,；当时,}；当 时,
}.
（1） 若,求实数 的取值范围.
【答案】 若,显然,则当时,解得所以 .
当时,解得 .
综上所述,当时,实数的取值范围为或 .
（2） 若,求实数 的取值范围.
【答案】 若,优先考虑,即 时符合题意；
当时,解得 ；
当时,解得 .
综上所述,当时,实数的取值范围为 .
（3） 集合,能否相等？若能,求出 的值；若不能,请说明理由.
【答案】 能相等.由（1）（2）可知,当且仅当时, .
题型四 子集和真子集的个数
15.（2025广东梅州期中）集合且 }的真子集的个数是( )
D
A.4 B.3 C.8 D.7
【解析】 由题可得:,所以集合的真子集个数为 .
16. 已知集合,},则集合, 的非空真子集
的个数为( )
C
A.4 B.8 C.14 D.15
【解析】 集合, .
,时,,2,3,6,因此 .
故的非空真子集有 （个）.
17.（多选/2023山东青岛检测）大招2已知集合恰有4个子集,则
的值可能为( )
ABC
A. B. C.0 D.1
【解析】 集合恰有4个子集,所以集合有2个元素,则 有两个不相等的
实数解,则,解得.故选 .
18. （多选/2025山东聊城第二中学月考）下列各个选项中,满足
,0,1,的集合 有( )
AC
A., B., C.,0, D.,0,1,
【解析】 由十字相乘法知 ,即
,，所以,,0,1,,因此中定有 和3,可排
除B,又是,0,1,的真子集,排除D．故选 .
能力觉醒
1.（2025江苏省泰州市兴化中学期末）若,,,,,1,2,,则 的最
大值为( )
C
A.12 B.13 C.16 D.18
【解析】 因为,,,,,1,2,,要使 最大,
则取3,取,取,则 .
2.（2025河南部分学校联考）大招2已知集合 ,
,若,则 ( )
C
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 （十字相乘法）,
中最多只有2个元素,又因为,所以,所以 .
. .
3.（2025河北张家口开学考试）非空集合,并且 中的元素满足条件:如果
,则,适合上述条件的集合 的个数是( )
C
A.4 B.6 C.7 D.8
【解析】 由,可知集合中的元素需从三个实数对,, 中选取
若干个即可,因此若中含有一组实数对,则或或 ；
若中含有两组实数对,则或或 ；
若中含有三组实数对,则 .
综上可知,适合上述条件的集合 的个数是7.
4.（2024河北师大附中期中）大招1已知集合,,,0,,若 ；
；中有且只有一个正确,则 ( )
B
A.2 B.3 C.5 D.8
【解析】 根据集合相等的定义分类讨论求解.
假设③对,因为,,,0,,所以,, ,此时
；
假设②对,因为①错,必有,而 ,不符合集合元素的互异性,假设不成立；
假设①对,因为③错,所以,因为错,所以,而 ,因此只能
,不符合集合元素的互异性,假设不成立.
综上所述， .
5.（2025江西省景德镇一中期中）已知集合,,},若 ,则实数
的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 当时,即恒成立,故此时,满足 ；
当时,由得,故此时 },
因为,,},所以且 ,
所以所以 ；
当时,由得,故此时 },
因为,,},所以且 ,
所以所以 .
综上,实数的取值范围为 .
6.（多选/2025四川成都检测）下列关于集合的说法不正确的有( )
ABD
A.任何一个集合至少有两个子集 B.空集是任何集合的真子集
C.若且,则 D.若且,则
【解析】 空集只有一个子集；
空集是任何非空集合的真子集；
因为,所以集合中所有元素都属于集合,则 ,故C正确；
例如,,,满足且,此时 .
7.（多选/2024安徽桐城中学月考）已知,, ,下列关
系正确的有( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 由知集合,元素相同,所以,则 也成立;
由知中的元素是集合,且为的子集,即 ,,,, ,
, ,,所以 .
【解析】 因为 是任何非空集合的真子集,所以,}不是空集,即 有
实数解,故,即实数的取值范围是 .
（2） 设,且,,则__, __.
【解析】 因为,,所以解得, .
8.（1） 若 是,}的真子集,则实数 的取值范围是__________.
9.已知集合,则至少含一个偶数的集合 的子集个数为____.
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【解析】 依据“至少含一个偶数”分类列举：只含有一个偶数、含有两个偶数.
只含有偶数2的子集有,,,,,,, ,共8个；
只含有偶数4的子集有,,,,,,, ,共8个；
含有偶数2,4的子集有,,,,,,, ,共
8个.
所以至少含一个偶数的集合的子集个数为 .
集合一共有（个）子集,其中不包含偶数的子集个数也是集合
的子集个数,即,故至少包含一个偶数的集合的子集个数为 .
10.（2025江苏兴化中学月考）大招4设集合,,,若集合 的各个非空子集元素
和的总和是64,则 ____．
16
【解析】 由,,，得的非空子集为,,,,,,，, ,
,,，若集合的各个非空子集元素和的总和是64，则 ，故
.
11.（2025北京通州区期中）设集合为非空集合,且,若 ,则
,满足上述条件的集合 的个数为____.
15
【解析】 ， 满足“，则”的 的
集合是 的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
将集合看作有4个元素，故其非空子集个数为 .
12.（2025天津经济技术开发区第一中学月考）大招2，3已知集合
, .
（1） 若 ,求实数 的取值集合.
【答案】 因为 ,所以 ,
当时,则 },与题意矛盾,
当时,则,解得 ,
综上所述,实数的取值集合为 .
（2） 若的子集有两个,求实数 的取值集合.
【答案】 因为的子集有两个,所以集合 中只有一个元素,
当时,则 },符合题意,
当时,则,（一元二次方程有两个相等的根）解得 ,
综上所述,实数的取值集合为 .
（3） 若且,求实数 的取值集合.
【答案】 因为,所以,解得 ,
所以, ,
当时, ,（空集优先）
当时, },
因为,所以或,解得或 ,
综上所述,实数的取值集合为,, .
. .
素养觉醒
1. （2025北京四中期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合
,,,2,3,.任取, ,若
,则称与正交.若,且 中
任意两个元素均正交,则 中元素个数最多是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.6
不妨设,则中其他元素包含2个1和2个 ,最多另有6个元素,又因
为与,与,与
三组元素不正交,所以6个元素中最多只有3个元素在 中,即可得到答案.
【解析】 不妨设,由,则 中最多另外包含
,,,,, 个
元素,又因为与,与, 与
三组元素不正交,
所以,,,,,
个元素中最多只有3个元素在集合中,如,, ,
,
若,且中任意两个元素均正交,则 中元素个数最多是4.