1.3 集合的基本运算（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共47张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二、题型三、题型四
题型一 集合的交并补运算
1.（2025江苏常州期末）已知集合,,则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为,,所以 .
2.（2025北京市八一学校模拟）已知集合,,则集合 可以是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,则 ；
,则 ；
,则 ；
,则 .
3. （2025湖南师范大学附属中学模拟）集合, ,
0,1,2,3,4,,则 ( )
C
A. B. C.,4, D.,0,4,
【解析】 集合,而,0,1,2,3,4,,所以,, .
4.（2025四川省资阳天立学校开学考试）大招4已知全集,集合 ,
},则( )
D
A.集合的真子集有8个 B.
C.中的元素个数为7 D.
【解析】 集合有3个元素,则真子集个数为 ；
,,则,所以 （
1是集合的元素, 不是）；
由B知 中的元素个数为5；
,所以 .
. .
5.（多选/2025湖南长沙市雅礼中学月考）设集合, ,下
列结论中正确的是( )
BD
A. B. C. D.
【解析】 因为集合,,所以 ,
因此,,,（或由交集的定义直接判断 正确）所以A错误,
D正确,B正确.
又因为 ,所以C错误.
. .
题型二 集合的混合运算
题组一
6.（2023全国甲卷）设全集,集合,,则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,,所以.又因为 ,所以
.
根据如图所示的图易得 .
7.（2025陕西西安检测）若全集,,,则集合 等于
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由,得 , .
方法一, ,由德·摩根定律知,
, ,故D
正确.
方法二 易得,,所以 ,
.故D正确.
根据如图所示的图易得 .
8.已知全集,, .
（1） 求,, ；
【答案】 由于, ,
所以,或 ,
或 .
（2） 求 .
【答案】 方法一,所以或 .
方法二 利用德·摩根定律结合（1）得
或 .
题组二
9.（2025天津部分学校质检）已知集合,,0,1,, ,则
( )
D
A.,0, B. C.,, D.,,
【解析】 因为,所以或 ,
所以,, .
10.（多选）设集合,,若集合,则 可
以是( )
AB
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以或,又 ,
所以或 .
因为集合,所以集合 可以是A,B.
题型三 根据集合运算求参数
题组一 直接运算
11. （2025辽宁大连模拟）已知,,集合,},集合, ,若
,则 ( )
D
A.1 B.2 C.或1 D.
【解析】 因为,则且,或且,解得, 或
, .
当,时,,, },满足题意；
当,时,, ,不满足题意,舍去.
综上所述, .
12. （2025浙江联考）已知集合或, ,若
,则实数 的取值范围是____________.
【解析】 作出数轴,如图.由得,即,,
.（若,则并集取不到 ,不符合题意）
. .
坑神有话说
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程（组）
求解.
易错警示:在求出参数后,注意结果的验证（满足互异性）.
13.（2025山东日照检测）已知,},且 ,则实数
的取值范围为__________.
【解析】 或,因为,所以,解得 .
14.（2025江苏无锡期中）大招2已知集合 ,集合
,,则 ____
14
【解析】 设方程的两个根分别为, ,
则,,又因为 ,（【大招2】根与系数的关系）
故或则 .
设方程的两个根分别为, ,
则,,又因为 ,
故或则 .
故 .
. .
题组二 子集与交、并运算的转换
15. （2025山东百校联考）已知集合,,, },若
,则所有符合条件的实数 组成的集合是( )
D
A.{-,0, B.,0, C., D.,0, }
【解析】 等价于 ,
当时, ,此时 ,符合；
当时,},因为,故或,即或 .
所以所有符合条件的实数组成的集合是,0, }.
16.（2025山西省孝义中学质检）大招3已知集合 ,
.若 ,则实数 的取值范围为( )
A
A. B.
C.或 D.
【解析】 由 得.优先考虑 为空集的情况：
当,即时, ,符合题意；
当,即时,需解得 .
综上得，则的取值范围为 .
17.（15分）（2025浙江杭州第十四中学期末）大招3已知集合 ,
.
（1） 当时,求, ；
【答案】 当时,可得,或 .（2分）
又因为,所以 ,（4分）
或 .（6分）
（2） 若,求 的取值范围.
【答案】 由可得 ,（运算的转化）（8分）
当 （空集优先考虑）时,,即 ,满足题意；（11分）
当 时,需满足解得 .（14分）
综上可得,的取值范围为 .（15分）
. .
. .
坑神敲黑板
利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
（1）方法:利用集合的交集、并集性质解题时,常常遇到, 等这类问
题,解答时常借助交集、并集的定义去转化为集合间的关系求解,如 ,
.
（2）关注点:当集合时,若集合不确定,运算时要考虑 的情况,否则易漏解.
题型四 图的应用
18.（2025天津实验中学月考）已知全集 ,
, ,则图中阴影部分表示
的集合为( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意,图中阴影部分表示为 ,
因为 ,
所以或 ,
又 ,
则 .
19.（多选/2025湖北武汉经济技术开发区第一中学月考）如图,
全集为,集合,是 的两个子集,则阴影部分可表示为
( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】 根据图中阴影可知, 符合题意,
又因为,（德·摩根定律）所以 也符
合题意.
. .
20.（多选/2025湖南部分学校联考）已知非空集合,,都是的子集,满足 ,
,则( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 画出 图如图所示,
由图易得... .
,所以 ；
,则,所以 ；
若,,则, ；
,所以,又,所以,故 .
题型五 容斥原理
21.（2025重庆市巴蜀中学校月考）某班在一次测验中,有36人数学成绩不低于80分,有20
人物理成绩不低于80分,有15人的数学、物理成绩都不低于80分,则这两科成绩中至少有
一科不低于80分的人数为____.
41
二元容斥原理,（数学）,（物理）,
（数学 物理） .
【解析】 设全集为,集合表示数学成绩不低于80分的学生,集合 表示物理成绩不低于
80分的学生,如图所示,则该班学生中两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为
.
根据二元容斥原理,（数学）,（物理）,（数学 物
理）,则（数学或物理） ,即该班学生中两科成绩中至少有
一科不低于80分的人数为41.
22.（2025广东广州南海中学月考）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75
人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,记 是听了数学讲座的学
生,是听了历史讲座的学生,是听了音乐讲座的学生}.用 来表
示有限集合中元素的个数,若,, ,
,则( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 将已知条件用 图表示出来,如图.
；
；
；
.
题型六 补集思想的应用
23.若当时,一元二次方程无实数根,则实数 的取值范围为
____________________.
或}
本题若正面求解,可由方程有解且解在 的范围内和判别式小于零讨论出
的取值范围,显然运算量大,还需要有一定的技巧.但用补集思想则可避开这些麻烦.
【解析】 设全集为,时,集合 为方程无实根时的取值},则集合
为方程有实根时的取值},于是,将方程变形整理得 .
若方程有实数根,则由得,即 ,由此解得
,即},所以或 }.
即当或时,方程在 内无实数根.
24.已知集合,,若 ,则实数
的取值范围为__________________.
或
【解析】 因为,所以当时,}；当 时,
, （集合中的元素要满足互异性，注意分类讨论）.
因为,所以 .
方法一 因为 ,所以当 时,显然不满足；
当时,或,解得或 .
即实数的取值范围为或 .
方法二 我们考虑 的反面 ,利用补集思想求解.
. .
. .
显然时符合；当时,需满足且,即且 .综上得
.
由补集思想得当时,或,即实数的取值范围为 或
.
能力觉醒
1.（2025江西一模）大招4满足,0,的集合 的个数为( )
B
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】 因为,,0,1,,所以,0,,,0,1,,则 必
须包含和1,也必须包含,0, 的子集才不影响结果,
又,0,的子集共有个,把每个子集与集合, 取并集都符合条件,
则符合条件的集合 共有8个.
2.（2025江苏盐城期末）已知集合,,, },
则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,, ,
},
因为,表示所有的整数,,表示所有的偶数,所以,即 ,
,但 表示的是奇数,而非所有的整数.
3.（2025广东省深圳外国语学校月考）已知集合 ,
,在求时,甲同学因将看成 ,求得
,乙同学因将看成,求得 .
若甲、乙同学求解过程正确,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 根据题意得且,解得 即
,
由解得故 .
4.（2025福建莆田期中）设集合,},若 ,
则 中元素个数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.至少3个
【解析】 因为,所以有,可得 ,
因为，,所以必有,且 ,
所以（对21进行拆分,）或解得 或
因此 ，共2个元素.
. .
5.（2025陕西商洛模拟）大招2已知全集, ,
,若 ,则实数 的值为( )
D
A.1 B.3 C.或 D.1或3
【解析】 因为方程的判别式,
所以 .
根据题意得到集合, ,
即,,, ,
因为 ,所以,所以或, ,
若,则解得 ,
若,,则
解得 ,
综上，或 .
6.（2025上海普陀区长征中学期中）已知非空集合, 满足以下两个条件：
, ；②若,则.满足以上条件的集合 的个数
为___.
7
【解析】 由题意可知：中只能有一个或两个元素.（只有当中元素少于 时，条件②
才能满足）
当中只有一个元素时,若,则,若,则,若 ,则
,若,则 ；
当中有两个元素时,若,则,若,则,若 ,则
.
故满足条件的集合 的个数为7.
. .
7.（2024陕西宝鸡检测）设集合,3,,,,.若 ,
,则 ____.
【解析】 因为,所以,故或 ,
若,则,,,此时 ,符合题意；
若,则,,此时,不符合题意.故的值为 .
8.（2025浙江杭州学军中学期中）已知集合, .
（1） 若,求 ；
【答案】 当时, ,
则,则 .
（2） 从；； 这三个条件中任选一个,补
充在下面的横线上,并进行解答.
问题:若____,求实数 的取值范围.
【答案】 若选①,,可得,则 .
当时,},由},可得,故 ；
当时,},由},可得,故 .
综上,实数的取值范围为 .
若选②,或,又因为,则 .解答过程同①.
若选③, ,当时, , ,不合题意；
当时,},需使,故 ；
当时,},需使,解得 .
综上,实数的取值范围为 .
素养觉醒
1. （2024重庆南开中学开学考）有三只股票,, ,28位股民的持有情况如下：
每位股民至少持有其中一只股票.在不持有股票的人中,持有股票的人数是持有 股票
的人数的2倍.在持有股票的人中,只持有股票的人数比除了持有 股票外,同时还持有
其他股票的人数多1.在只持有一只股票的人中,有一半持有股票.则只持有 股票的股民
人数是( )
A
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】 如图,设只持有股票的人数为,则持有 股票还持有其他
股票的人数为 （图中 部分）,
只持有一只股票的人中, 有一半没持有或 股票,
只持有了和股票的人数和为 （图中 部分） .
假设只同时持有和股票的人数为, ,即
,
则的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,与之对应的 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.
没持有股票的股民中,持有股票的人数是持有 股票的人数的2倍,
,即 .
又 为自然数,
,时满足题意,此时, ,
只持有 股票的股民人数是7.