1.4 充分条件与必要条件（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共34张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
题型觉醒
高频题型：题型一、题型三
题型一 充分、必要条件的判断
1.（2025山西运城期末）已知,,,则“”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 定义法.若,则 ,即充分性成立；
若,例如,,,可得 ,满足题意,
但 ,即必要性不成立.
综上所述,“”是“ ”的充分不必要条件.
2.（2025浙江杭州学军中学月考）已知,,则“ ”是“
”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】 若,,满足,但 不成立；
若,则,则 成立,
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
3.（2025安徽省马鞍山市第二中学开学考试）设,则“”是“ ”的
( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 集合法.由,可得.因为 ,所以“
”是“ ”的充分不必要条件.
定义法.由,可得.因为,但 ,
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
坑神有话说
1.依据:设集合,.若具有性质,则；若具有性质 ,则
.若,就说具有性质,则必具有性质,即.类似地,与 等价,
与 等价.
2.结论:,,若,则结论:是的充分条件,是 的必要条件；
若,则结论:是的充分条件,是的必要条件；若,则结论:是 的充要条件.
4.（2024安徽合肥第四中学质量检测）在下列“若,则”的命题中,是 的必要条件的命
题是( )
C
A.若四边形的一组邻边相等,则四边形是平行四边形
B.若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等
C.若,则
D.若是无理数,则 也是无理数
【解析】 是的必要条件即命题“若,则 ”是真命题.
仅邻边相等不能判断四边形为平行四边形,（不是平行四边形的判定定理）为假命
题；
若一个三角形三边长分别为5,6,9,另一个三角形三边长分别为6,6,8,两个三角形周长
相等（{不是全等三角形的判定定理）,却不全等,为假命题；
,为真命题,则是 的必要条件；
若,则, 不是无理数,为假命题.
5.（2025四川省乐山市央江中学月考）已知是的充分不必要条件,是的充分条件, 是
的必要条件,是 的必要条件,则下列命题中：
是的充要条件； 是 的充分不必要条件；
是的必要不充分条件； 是 的充分不必要条件.
正确的命题序号是( )
B
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
【解析】 由题意画出关系示意图,如图.
由,,形成闭环知,,,故是的充要条件,是的充要条件,是 的充要
条件,故①正确,③④错误；
易得,,故是 的充分不必要条件,②正确.
题型二 充分、必要条件的探求
6.（2025河北石家庄二中月考）“ ”成立的一个必要不充分条件是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 探求使不等式成立的必要不充分条件，即寻找大于该范围的选项.
由得,所以 是选项中对应集合的真子集.
是充要条件；
,即是 成立的充分不必要条件；
与无包含关系,即是 成立的既不充分也不必要条件；
,即是 成立的必要不充分条件.
7.（多选/2025甘肃天水第一中学段考改编）大招2关于的方程 至少有
一个负根的充分不必要条件是( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】 探求使不等式成立的充分不必要条件,即寻找在解集范围内,且小于该范围的选
项.当时,方程为 ,此时方程的根为负根,
当时,方程 ,
当方程有两个负根时,则有解得 ,
当方程有一个负根一个正根时,则有解得 ,
综上所述,当关于的方程至少有一个负根时,有 ,（充要条件）选
项中，比 小的范围有A,B,C.
. .
8.（2024辽宁阜新市高级中学月考）若,都是实数,试从； ；
； 中选出满足下列条件的式子,并用序号填空.
（1） 使, 都不为0的充分条件是____；
（2） 使, 至少有一个为0的充要条件是____.
④
①
【解析】 ①或,即, 至少有一个为0；
②,互为相反数,则, 可能均为0,也可能为一正数一负数；
③, 为任意实数；
④或即, 都不为0且同号.
综上可知,
（1）使,都不为0的充分条件是④；（2）使, 至少有一个为0的充要条件是①.
题型三 已知充分、必要条件求参数
9.（2025江苏盐城五校联盟期末）集合,,若“ ”是
“”的充分不必要条件,则 不能是( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 由“”是“”的充分不必要条件,则是的真子集,结合数轴可得 .
（时, ,仍满足题意）
所以 不能是2.
. .
坑神敲黑板
已知充分、必要条件求参
（1）化简, 两命题；
（2）根据与 的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；
（3）利用集合间的关系建立不等关系；
（4）求解参数范围.
10.（多选/2025湖北省武汉市第六中学月考）大招2若是
的必要不充分条件,则实数 的值可以为( )
BCD
A.2 B. C. D.0
依题意,是,的真子集,则可以是 ,或 ,
解之即得.
【解析】 由十字相乘法得,解得或 ,
因为是的必要不充分条件,所以是,的真子集,则 可
以是 ,或 .
当 时,易得 ；
当,可得 ；
当,可得 .
11.（2025吉林长春期末）大招2已知,,若是 的充
分条件,则实数 的取值范围为( )
B
A.} B.} C. D.
【解析】 因为,所以 或
,（十字相乘法）
因为是的充分条件,所以,所以 .
. .
. .
12.（2025江苏南京期中）已知, .
（1） 是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出 的取值范围；若不存
在,请说明理由.
【答案】 要使
是的充要条件,需使,则 此方程组无解,
故不存在实数,使是 的充要条件.
（2） 是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出 的取值范围；若不存
在,请说明理由.
【答案】 要使是 的必要条件,（ 必要条件和必要不充分条件的区别,
前者是子集,后者是真子集）需使 .
当 时,,解得 ,满足题意；
当 时,,解得,要使,则有解得 ,所以
.
综上可得,当实数时,是 的必要条件.
题型四 充分、必要条件的证明
13.（2025陕西部分学校调考改编）证明：
（1） “”是“ ”的充分不必要条件；
【答案】 充分性：当时, ,充分性成立.
必要性：由,得,即 ,必要性不成立.
故“”是“ ”的充分不必要条件.
（2） “ ”是“ ”的充要条件.
【答案】 充分性：若 ,则 ,充分性成立.
必要性：若,则 ,必要性成立.
故“ ”是“ ”的充要条件.
14.（2025西北工业大学附属中学检测）设,,,求证：关于 的方程
有一个根为的充要条件是 .
证明充分性即证明关于的方程有一个根为 .
由,得,代入方程得,即 ,
所以是方程 的一个根,充分性成立.
证明必要性即证明是方程的一个根 .
将代入方程,得 ,必要性成立.
综上可知,关于的方程有一个根为的充要条件是 .
15.（2024重庆八中期中）已知的三边长分别为,,,其中,求证： 为
等边三角形的充要条件是 .
【答案】 充分性：当时, 可化为
,即 ,所以
,
则,所以,即 ,则
为等边三角形,充分性成立.
必要性：为等边三角形,且,所以 ,则
,必要性成立.
故为等边三角形的充要条件是 .
能力觉醒
1.（2025广东汕尾检测）老子《道德经》有云“天下难事,必作于易；天下大事,必作于细.”
根据这句话,说明“做容易题”是“做难题”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 由题意可知,“做容易题”不一定能推出“做难题”,但“做难题”一定可以推出“做
容易题”,故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件.
2.（2025浙江宁波余姚中学月考） 是 的( )
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 若 ,如,,满足 ,但不满足 ,充分
性不成立；
若,如 ,,满足,但不满足 ,必要性不成立.
所以 是 的既不充分也不必要条件.
3.（2024甘肃白银期中）下列命题中,不是“四边形是正方形”的充分条件的有( )
C
A.对角线相等的菱形 B.邻边相等的矩形
C.对角线相等的平行四边形 D.有一个角是直角的菱形
【解析】 根据正方形的判定知A,B,D中四边形均为正方形,是“四边形是正方形”的充分
条件；
对角线相等的平行四边形是矩形,故C选项不是“四边形是正方形”的充分条件.
4.命题“是的必要不充分条件”是假命题,则 的取值可能是( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 由是的必要不充分条件,得,则由命题“是 的必要
不充分条件”是假命题,得,所以 的取值可能是1.
5.（多选/2025四川内江第六中学月考）大招5设全集为, 是非空子集,在下列选项中,是
的充要条件是( )
BD
A. B.
C. D.
【解析】 当时, ,必要性不成立；
由图可知, 等价于 ,充分性、必
要性都成立；
当时,取,, ,此时
, ,满足条件,但 不成立,即充分性不
成立；
由图可知,等价于 ,充分性、必要性都成立.
6.（多选/2025江苏省东海高级中学城北校区月考）设计如图所示的四个电路图,条件
开关闭合；条件灯泡亮,则是 的必要条件的电路图为( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 是的必要条件,即灯泡亮 开关 闭合.
灯泡亮,可能是开关闭合,也可能是开关闭合,故不是 的必要条件；
只有一个开关,灯要亮,开关必须闭合,则是的充要条件,即是 的必要条件；
灯亮必须和同时闭合,则是 的必要条件（必要不充分条件）；
灯一直亮,跟开关是否闭合没有关系,则是 的既不充分也不必要条件.
7.（2025江苏常州调研）大招3，9已知或 ,
,若是的必要条件,则实数 的范围是_ _______________.
【解析】 因为是的必要条件,（，小推大）所以 ,
①当时, （易遗漏）,满足 ；
②当时,},由,得,解得 ,
故 ；
③当时,},由,得,解得 ,
故 ；
综上所述,实数的范围是 .
. .
. .
8.（2025广东肇庆检测）大招2,10设,,分别为的三边,,的长,求证:关于
的方程与有公共实数根的充要条件是 .
【答案】 必要性:设方程与有公共实数根 ,
则,,两式相减并整理,可得 .
因为,,所以,将此式代入 中,
整理得,故 .
充分性:因为 ,可得,所以 ,
将代入方程中,可得 ,
即 ,（十字相乘法）
将代入方程中,可得 ,
即,故两方程有公共实数根 .
所以关于的方程与 有公共实数根的充要条件是
.
. .
素养觉醒
1. （2025山东淄博第七中学检测）黄金三角形被称为最美等
腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）,
黄金三角形有两种,一种是顶角为 ,底角为 的等腰三角形；另一种
是顶角为 ,底角为 的等腰三角形.则“中有一个角是 ”
是“ 为黄金三角形”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 若中有一个角是 ,但不是等腰三角形,则 不是黄金三角形.
若为黄金三角形,则中必有一个角是 .
则“中有一个角是 ”是“ 为黄金三角形”的必要不充分条件.
2. （2025福建泉州奕聪中学月考）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字
游戏,甲、乙、丙三位同学分别写出三个集合,, ,
},然后他们三人各用一句话来正确地描述“ ”代表的数字,让丁同学猜
出该数字.以下是甲、乙、丙三位同学的描述,甲：此数为小于5的正整数；乙：是 成
立的必要不充分条件；丙：是成立的充分不必要条件.则“ ”代表的数字可以是
( )
C
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
【解析】 因为“ ”代表的数字为小于5的正整数,所以
}.
因为是成立的必要不充分条件,是成立的充分不必要条件,所以是的真子集,是
的真子集,故解得,故“ ”代表的数字可以是1或2.