1.5 全称量词与存在量词（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三
题型一 全称量词、存在量词的理解
题组一 量词的判断
1.（2025河南南阳开学考试）下列命题是全称量词命题的是( )
B
A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是
C.至少有一个整数,使得是质数 D.有些实数 满足
【解析】 含有存在量词“存在一个”,该命题是存在量词命题；
含有全称量词“每个”,该命题是全称量词命题；
含有存在量词“至少有一个”,该命题是存在量词命题；
含有存在量词“有些”,该命题是存在量词命题.
2.（多选/2024湖南长沙市德成学校月考）下列命题中是存在量词命题的是( )
AD
A.有些自然数是13的约数 B.正方形是菱形
C.能被6整除的数也能被3整除 D.存在,使得
【解析】 “有些”是存在量词；
隐含全称量词“所有”,即所有正方形都是菱形,是全称量词命题；
隐含全称量词“所有”,即所有能被6整除的数也能被3整除,是全称量词命题；
“存在”是存在量词.
坑神有话说
常见的全称量词有“所有”“任何一个”“每一个”等,存在量词有“有些”“存在一个”“部分”等.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命
题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义先找到量词.
3.（2024河北保定联考）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；, ；
③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数.其中,全称量词命题的个数为___.
2
【解析】 ①④是隐含“所有”的全称量词命题；②中“ ”是存在量词符号,是存在量词命
题；③中“存在一个”是存在量词,因此是存在量词命题.
题组二 量词的符号表示
4.（2025山东菏泽期中）下列命题与“, ”的表述意义一致的是( )
C
A.有且只有一个实数,使得成立 B.有些实数,使得 成立
C.不存在实数,使得成立 D.有无数个实数,使得 成立
【解析】 “,”表达的意思是所有的实数都满足 ,即是“不存
在实数,使得 成立”.
5.指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
（1） 所有实数都能使 成立；
【答案】 “所有”是全称量词,, ；
（2） 对所有有理数,,方程 恰有一个解；
【答案】 “所有”是全称量词,,,方程 恰有一个解；
（3） 有整数解；
【答案】 “有整数解”即存在整数解,“存在”是存在量词,,, ；
（4） 存在自然数,使得与 的倒数之和等于1.
【答案】 “存在”是存在量词,, .
题型二 判断含量词命题的真假
6.（2025湖南邵阳期中）下列四个命题是真命题的是( )
A
A., B., C., D.,
【解析】 因为,,可得 ,即A是真命题；
易知当时,不是整数,即不存在, ,所以B为假命题；
易知当时, ,因此C为假命题；
解不等式可得,显然不存在,使得 ,可得D为假命题.
坑神小课堂
对于全称量词命题,若要证该命题是真命题,必须对限定范围内的每个证明 成立;只
要能举一反例, 不成立,即是假命题.
对于存在量词命题,只要能找到一个, 成立,即为真命题；若要证是假命题,必
须对限定范围内的每个证明 不成立.
7.（2025江苏如东高级中学检测）设非空集合,满足 ,则下列选项正确的是
( )
B
A.,有 B.,有 C.,使得 D.,使得
【解析】 , .
当时,,使得 ；
,,必有,即,必有 ；
由B正确可知,必有,,使得 错误；
当时,不存在,使得 .
8.（多选/2025湖北四校联考）下列命题中,是存在量词命题且为真命题的有( )
BC
A.,使得方程 成立 B.存在一个三角形,它的三个角都是锐角
C.至少有一个实数,使得 D.,
【解析】 由得, ,所以该方程没有实
数根,该命题为假命题；
含有存在量词“存在”,且锐角三角形的三个角都是锐角,为真命题；
含有存在量词“至少有一个”,且当时, ,为真命题；
含有全称量词“ ”,是全称量词命题.
9.（多选）下列能说明存在量词命题“,, ”为真命题的是
( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 ,此时 ,为真命题；
,此时 ,为真命题；
,此时 ,为假命题；
,此时 ,为真命题.
题型三 量词命题的否定
10.（2025江苏苏州期末）若命题,,则 的否定是( )
B
A., B.,
C., D.,
【解析】 由题意可知,命题为全称量词命题,其否定是存在量词命题,否定时, ,再
对结论进行否定,故的否定是“, ”.
11. （2025四川内江期末）设命题三角形的内角和为 ,则 的否定为( )
C
A.所有三角形的内角和都不为 B.有的三角形的内角和为
C.存在三角形的内角和不为 D.三角形的内角和不为
【解析】 命题省略了全称量词“所有”,命题为:所有三角形的内角和都是 ,
是全称量词命题,否定是存在量词命题,所以命题 的否定为:存在三角形的内角和不为
.（修改量词所有 存在，否定结论）
坑神来避坑
对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,将命题改写成含量词的完整形式,再写
出命题的否定.
. .
. .
12.（多选/2025江苏连云港检测）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有
( )
AD
A., B.所有的正方形都是矩形
C., D.至少有一个实数,使
【解析】 是存在量词命题,其否定为:,,即 ,是全称
量词命题,且为真命题；
是全称量词命题,其否定为存在量词命题；
是存在量词命题,其否定为:,,即 ,因为
恒成立,故其是假命题；
是存在量词命题,其否定为:任意实数,都有,因为,所以不存在 使
得 ,故其为真命题.
存在量词与全称量词命题一真一假,只需找选项中是存在量词命题,且为假命题的
即可.只有A,C,D是存在量词命题,且A中 ,所以A为假命题,C中
恒成立,所以C为真命题,D中任意实数,都有 ,所
以D为假命题.故选 .
题型四 由含量词命题的真假求参数
13.（2025广东广州番禺区期末）若“,使得”是假命题,则实数
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由于“,使得”是假命题,则其否定:“ ,使得
”是真命题,故,又随着的增大而减小,所以 小于当
时的最小值时,恒成立,则,即 .
当题中命题为真命题时,可得,使得成立,所以 大于或等于
当时的最小值即可,即 ,又该命题为假命题,所以
.
14.（2025江苏苏州高新区一中月考）若命题“,使 ”是假命题,则
实数 的一个可能取值为_________________.
0（答案不唯一）
【解析】 因为命题“,使”是假命题,所以命题“ ,使
”是真命题,即方程 有解,所以
,得 ,
故实数的一个可能取值为0（满足 即可）.
当题中命题为真命题时,可得, ,则
,得,又该命题为假命题,所以 .
15.（2025湖南长沙第二十一中学期中）已知命题,都有 ,命题
,使,若命题为真命题,命题的否定为假命题,则实数 的取值
范围为___________.
【解析】 命题为真命题,只需大于或等于的最大值,即 ；
由为假命题,知为真命题,只需大于或等于的最小值,即 .
综上可知, .
坑神小课堂
根据命题的真假求参数的策略:①全称量词命题为真可转化为恒成立问题,存在量词命题
为真可转化为能成立问题；②不等式的恒成立、能成立问题,注意结合方程的根或函数
值的取值范围求解.
16.（2024湖北武汉检测）已知命题,,命题 ,
.
（1） 若两个命题都是真命题,求实数 的取值范围；
【答案】 若为真命题,则对任意恒成立,所以 .
若为真命题,则,解得或 .
若,都是真命题,则实数应满足即.则实数 的取值范围是
.
（2） 若两个命题只有一个为真命题,求实数 的取值范围.
【答案】 当为真命题,为假命题时,解得 ；
当为假命题,为真命题时,解得 .
综上所述,当,只有一个为真命题时,实数的取值范围为或 }.
能力觉醒
1.（2025广东广州南海中学月考）哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一,即所谓的
“”问题,1966年,我国数学家陈景润证明了“ ”成立,哥德巴赫猜想的内容是“每一
个大于2的偶数都能写成两个质数之和”,则该猜想的否定为( )
D
A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
【解析】 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知A,C错误;
由命题否定的改写原则知,将任意改成存在后,对结论进行否定,故哥德巴赫猜想的否定为
“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.
2.（2025四川绵阳南山中学月考）大招9已知,或,则是 的
( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 和都含不等号,利用等价转化法判断.先由,得到,,由, 的关系可
推出, 的关系.
,且.当且时,成立,但当时,
且不一定成立,故,,所以,,所以是 的充分不必要条件.
3.（2025河南南阳六校期末）大招10,11“, ”成立的一个必要不充
分条件是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由题意可得,在 时能成立,
即在时能成立,则小于或等于 的最大值即可.
当时,,所以为使在时能成立,只需 .
求其必要不充分条件，找比其大的范围.故选D.
4.（2025江苏扬州期初考试）大招9,11已知,, ,使得
,则是 的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 成立即小于的最小值,因为,所以 .
成立即小于的最大值,因为,所以 .
所以是 的充分不必要条件.
5.（多选/2025江西省宜春市丰城市第九中学段考）下列说法正确的有( )
CD
A.命题“,”的否定是“, ”
B.“”是“ ”的必要条件
C.命题“, ”是假命题
D.若为假命题,则 为真命题
【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题,命题“, ”的否定是
“, ”；
举反例:如,但 不成立,不是必要条件；
时, 不成立,所以是假命题；
由命题及其否定一定一真一假可知,D正确.
6.某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命
题“,函数的图象在轴的下方”是假命题,求 的取值范围.小李略
加思索,反手给了小王一道题：若命题“,函数的图象在 轴的上方
或轴上”是真命题,求的取值范围.你认为两位同学所出的题中 的取值范围是否一致？
____.（填“是”或“否”）
是
【解析】 存在量词命题“,函数的图象在 轴的下方”的否定为“
,函数的图象在轴的上方或 轴上”,且互为否定的两个命题真假
相反,所以两位同学所出题目的条件互为充要条件,求出 的取值范围是一致的.
7. （2024山东济南检测）根据事实：,, ,
, ,写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:_______________
________________________ ,该命题的否定为____________________________________.
,
,
【解析】 由归纳推理得, ,则命题的否定为：
, .
8.（2025吉林六校联考）大招3，7已知集合 ,集合
,如果命题“, ”为假命题,则实数 的取值
范围为__________.
【解析】 因为命题“, ”为假命题,所以命题“, ”为真
命题.
因为集合,集合 ,
所以当 ,即时, 成立,
当 时,由“, ”得 （ 端点值
的取舍）解得 ,
综上,实数的取值范围为 .
. .
素养觉醒
1. （2024广东四校联考）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩公
布前作出如下预测.
甲预测说：我不会获奖,丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符,已
知有两人获奖,则获奖者可能是( )
C
A.甲和丁 B.乙和丙 C.甲和丙 D.乙和丁
【解析】 甲和丙的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.
若甲和丙的预测与结果相符,则丁的预测准确,与“四人的预测中有两人的预测与结果相符,
另外两人的预测与结果不符”相矛盾,
所以甲和丙的预测与结果不符,则乙和丁的预测成立.所以甲获奖,丁不获奖.丙获奖,乙不
获奖或者乙获奖,丙不获奖.即获奖的两人为甲和丙或者甲和乙.
2. 甲、乙、丙三人独立解答同一份试卷,试卷共有5题,每人都至少正确解答其
中3题,则下列说法一定正确的是( )
A
A.至少有2题有多于一人正确解答 B.至少有1题三人都正确解答
C.至少有1题三人都无法正确解答 D.至多有1题无人正确解答
【解析】 假设没有2题及以上有多于一人正确解答,取极端情况,假设三人均答对3
题,有一题3人均答对,且三人回答的其他两个问题均不同,则至少还需要6道不同的题,不满
足题意；
道题编号为1,2,3,4,5,甲正确解答1,3,5,乙正确解答1,2,4,5,丙正确解答2,3,4,则每题都
只有两人正确解答；
三人都正确解答了所有题满足题意,所以至少有1题三人都无法正确解答错误；
如果三人都正确解答1,2,3,这时有2题没有人正确解答,所以至多有1题无人正确解答
错误.