第一章 集合与常用逻辑用语（考向解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共20张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
真题觉醒
考向一 元素与集合、集合与集合的关系
1.（2023上海）已知,,若,且,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,,,且},所以 .
2.（2023新课标Ⅱ卷）设集合,,,,,若,则 ( )
B
A.2 B.1 C. D.
【解析】 依题意得,或 ,
当时,解得,此时,, ,不符合题意；
当时,解得,此时,,,, ,符合题意.
综上, .
考向二 集合的运算
3.（2024北京）已知集合,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由集合的并集运算,得 .
4.（2024全国甲卷）已知集合,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,,则 .故选D.
5.（2024新课标Ⅰ卷）已知集合,,,0,2,,则
( )
A
A., B. C.,, D.,0,
【解析】 通解：直接法.因为 },（
）,,0,2,,所以, ,故选A.
优解：验证法.因为, ,
,,,所以,,, ,
,所以, ,故选A.
. .
6.（2023全国甲卷）设全集,集合,, ,
, ( )
A
A.,} B., }
C.,} D.
【解析】 因为整数集,, ,
,,所以, }.
7.（2023全国乙卷）设集合,集合, ,则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ,
则 (也可利用德·摩根定律 判断)；
,则 ；
,
则或 ；(也可利用德·摩根定律
判断)
或 ,
则或 .
. .
. .
考向三 集合中元素的个数
8.（2020全国Ⅲ卷）已知集合,,,,则
中元素的个数为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】 由题可得,,,,,所以 中元素的个数为4.
9.（2020新高考Ⅰ卷）某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 的学生喜欢足球或游
泳,的学生喜欢足球, 的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数
占该校学生总数的比例是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由二元容斥原理得,该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的
比例为 .
10.（2020浙江）设集合,,,,,中至少有2个元素,且, 满足：
①对于任意的,,若,则 ；
②对于任意的,,若,则 .
下列命题正确的是( )
A
A.若有4个元素,则有7个元素 B.若有4个元素,则 有6个元素
C.若有3个元素,则有5个元素 D.若有3个元素,则 有4个元素
【解析】 取,则, ,有4个元素,故排除C；
取,则, ,有5个元素,故排除D；
取,则, ,有7个元素,故排除
B.故选A.
考向四 充分条件与必要条件的判断
11.（2023天津）“”是“ ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】 由,得,由,得,即,所以“ ”
是“ ”的必要不充分条件.
12.（2023北京）若,则“”是“ ”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为,所以,.若,则,所以 ,所以
;若,则,即,即 ,所以
.
综上,若,则“”是“ ”的充要条件.
考向五 判断命题的真假
13.（2024新课标Ⅱ卷）已知命题,；命题, .则( )
B
A.和都是真命题 B.和 都是真命题
C.和都是真命题 D.和 都是真命题
【解析】 因为,,所以命题为假命题,所以为真命题.因为 ,所以
,所以,即,解得或或 ,所以
,使得,所以命题为真命题,所以为假命题,所以和 都是真命题,故选B.
特殊值法.在命题中,当时,,所以命题为假命题, 为真命题.在
命题中,因为立方根等于本身的实数有,0,1,所以,使得,所以命题 为真命
题,为假命题,所以和 都是真命题,故选B.
强基自招
1.（2022上海交大强基计划）设集合,2,,其中为实数.令 ,
.若的所有元素之和为6,则 的所有元素之积为( )
D
A.1 B. C.8 D.
【解析】 由条件知,集合中的元素可能为1,2,4,, .
因为（恒成立）,,所以 与其余
几个元素重复,故只可能是,2,4,,且,于是 （经检验符合题
意）,此时的所有元素之积为 .
. .
2.（2023全国中学生数学奥林匹克贵州赛区）设集合 ,
,,则集合 的子集的个数是___.
4
【解析】 集合},将代入 ,得
,则 ,所以方程有2个不相等的实数解,
即集合中有2个元素,则其子集的个数为 .
3.（2024中国科学技术大学强基计划）全集有2 024个元素,若, ,
,则_______.（注:表示集合 的元素个数）
1 888
【解析】 ,
,
,
由集合的容斥原理有
,
等号可在 时取得.
4.（2024南京大学强基计划）集合,为120的倍数},则 的元素
个数为____.
20
【解析】 因为,且可知, 的奇偶性相同,
若为120的倍数,则, 均为偶数,
且,可知, 中必有一个为10的倍数,
且,可知, 中必有一个为4的倍数,
即 必为8的倍数,
结合带余除法可知:从10开始10的倍数除3的余数依次为1,2,0,1,2,0, ,
若10的倍数除3的余数为1,则其加2为3的倍数,
可知为10的倍数,为3的倍数,此时 的值是唯一的；
若10的倍数除3的余数为2,则其减2为3的倍数,
可知为10的倍数,为3的倍数,此时 的值是唯一的；
若10的倍数除3的余数为0（即为30的倍数）,符合题意,
可知,均可为10的倍数,此时 的值有2个；
且,即, ,
在0到151中,可知10的倍数有16个,30的倍数有6个,考虑到0,150的唯一性,
所以的元素个数为 .
5.（2022全国高中数学联赛广西赛区预赛）设,是集合,2, , 的两个子集,
,且时.记为的元素之和,则 的最大值是____.
39
【解析】 由题可得,,得.当时,；当时, ；
当时,；当时,;当时,；当 时,
;当时,；当时,;当时, .由
可知,至多有6个元素.当时, 取最大值,为39.