第一章 集合与常用逻辑用语-觉醒小卷-数学人教A版必修第一册

(共26张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
觉醒小卷
限时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.（2024全国甲卷）若集合,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,分别令,,, ,
,,得,1,2,3,4,8,所以,于是 ,故选C.
2. （2025广东省惠州市第一中学期中）已知命题,,使得,则
为( )
C
A.,,使得 B.,,使得
C.,,使得 D.,,使得
【解析】 由全称量词命题和存在量词命题的否定形式,可得命题, ,
使得的否定为:,,使得.（修改量词 , ,否定结论）
. .
3. （2025天津经济技术开发区一中月考）以下关系； ；
；； 中正确的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】 ①因为0是集合的元素,所以 ；
②因为 是集合的元素,所以 ；
③因为集合的元素为0,1,集合的元素为 ,两个集合的元素不相同,所以
与 之间不存在包含关系；
④因为集合的元素为,集合的元素为 ,两个集合中的元素指的
是点,所以不一定相等；
⑤空集是任何集合的子集,则 .综上所述,正确的个数为3.
4.（2025湖北武汉期中）若集合, ,则能
使成立的所有 的集合是( )
C
A. B. C. D.
等价于,分类讨论是否为 ,求出对应 的范围即可.
【解析】 因为,所以 ,
若 ,则,得,满足 ；
若 ,即时,要使,则有
所以,此时.综上所述 .
5.（2025江苏省常州第三中学月考）已知集合, ,
,,,},则集合,, 的关系为( )
B
A. B.
C. D.,
【解析】 ,, },
,, },
,, },
.
6.（2024天津南开区期末）“”是“, ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 将存在量词命题转化为方程有解问题,因为在 上有解,所以
,解得.因为},所以 “”是“ ,
”的必要不充分条件.
7.已知集合,,,,,则集合 的子集个数为( )
A
A.16 B.15 C.4 D.8
【解析】 因为,,,,所以或或或 ,
故,,即集合中含有4个元素,所以集合 的子集个数为
.
8.（2025云南昆明第九中学质量监测）某校高一（4）班学生共47人,寒假参加体育训练,
其中足球队25人,排球队22人,游泳队24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加
的有9人,排球、游泳都参加的有8人,三项都参加的人数为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 设参加足球队的学生组成集合,参加排球队的学生组成集合 ,参加游泳队的
学生组成集合,则,,, ,
, .
设三项都参加的人数为,则 ,（【大招6】三元容斥原理）
因为 ,所以由
,
得,解得 ,即三项都参加的为5人.
. .
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.（2025湖南师范大学附属中学月考）已知全集为,非空集合,满足 ,则下
列运算结果不为 的是( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】 由题意作出 图.
由得 ；
；
因为,所以,则 ,
.
10.（2025安徽师范大学附属中学期末）下列命题正确的是( )
AD
A.命题“,”的否定是“, ”
B.的充要条件是
C.,
D.,是 的充分条件
【解析】 “,”的否定是“, ”；
当时,,但无意义,所以不是 的充要条件；
当时, ；
由,可得,所以,是 的充分条件.
11.（2025四川南充检测）在整数集中,被5除所得余数为 的所有整数组成一个“类”,记
为,即,,1,2,3, ,给出如下四个结论,正确的是( )
ACD
A.
B.
C.
D.“整数,属于同一‘类’”的充要条件是“ ”
【解析】 因为,所以 .
因为,所以 .
因为整数集中的数被5除的余数为0,1,2,3,4,所以 .
若两个数属于同一“类”,则对应的余数相同,其差能被5整除,故 ；当
时,,,所以,所以,即整数, 属于同一“类”.
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.（2025江苏苏州实验中学月考）已知全集,, ,试
写出一个符合要求的集合 __________________.
（答案不唯一）
【解析】 ,,,则 ,
或或或 .
13.（2024九省联考）已知集合,0,2,,,若,则 的
最小值为___.
5
【解析】 由,得,由,得 ,故有
即即,故 的最小值为5.
14.（2024河南郑州期中）已知,其中,.若是 的必要条
件,则实数 的取值范围是_____________.
【解析】 记集合,,.因为是 的必要条件,所
以,即 所以 .
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（13分）已知全集,,0,2,,, ,
且 .
（1） 求集合, ；
【答案】 因为,所以,且 .（1分）
因为,所以,解得 ,所以
.（4分）
因为,所以,解得 ,所以
, .（7分）
（2） 若集合,,求实数 的值.
【答案】 由（1）得,0,,则,, ,（10分）
所以解得 .（13分）
16.（15分）（2025广东深圳实验学校月考）已知是实数,集合,, ,
.
（1） 若,请写出集合 的所有子集；
【答案】 若,则,, ,（2分）
所以 的所有子集为:
,,,,,,,,,,, .（6分）
（2） 求证:“”是“ ”的充要条件.
【答案】 若,则,,,所以 ,故充分性成立；（8分）
若,则,因为,所以,解得或 ,（10分）
当时, ,不满足互异性,故舍去,（12分）
当时,,, ,满足互异性,故必要性成立.（14分）
所以“”是“ ”的充要条件.（15分）
17.（15分）（2024安徽联考）已知集合,3,,, .
（1） 若“”是“”的必要不充分条件,求实数 的值；
【答案】 若“”是“”的必要不充分条件,则是 的真子集,（2分）
或,解得或 或2,（5分）
或1时,不满足集合中元素的互异性,应舍去, .（7分）
（2） 从三个条件,, 中选出合适的一个,补充在下面问题中,并完
成解答.已知____,若集合含有两个元素且满足,求集合 .
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
【答案】 若选择条件①,则 ,不满足集合中元素的互异性,不符合题意.（9分）
若选择条件②,则,, ,（11分）
或或 .（15分）
若选择条件③,则,, ,（11分）
或或或或或 .（15分）
18.（17分）（2025重庆七校联考）已知关于的方程 有实
数根, .
（1） 若命题是真命题,求实数 的取值范围；
【答案】 因为命题是真命题,则命题 是假命题,（1分）
即关于的方程 无实数根,（3分）
因此,解得 ,（7分）
所以实数的取值范围是 .（8分）
（2） 若是的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
【答案】 由（1）知,若命题是真命题,则 ,（10分）
因为命题是命题 的必要不充分条件,
则（由知 一定不为空集，
所以不用讨论空集）是 的真子集,（13分）
因此 ,（16分）
解得 ,
所以实数的取值范围是 .（17分）
. .
19.（17分）（2025陕西商洛期中）若非空数集满足,,都有,则称集合
为无和集.
（1） 判断集合, 是否为无和集,直接写出结论；
【答案】 集合 是无和集,（2分）
集合 不是无和集.（4分）
（2） 给定正整数,集合,满足,2, ,,且 ,求证：集合,
不可能都是无和集；
【答案】 假设,都是无和集,且,2, ,, .（5分）
因为,所以1和2不能属于同一集合,不妨设,,又因为 ,所以
,则,,所以,则 ,
此时如果,则,则不是无和集,如果,则,则 不是无和集,与假
设矛盾,所以集合, 不可能都是无和集.（9分）
（3） 给定正整数,集合,2, ,,且为无和集,求集合 中元素个数的最大值
（用含 的表达式表示）.
【答案】 当集合是由,2,3, , 中所有偶数组成的集合时,不符合无和集的定义,则可
设集合是由,2,3, ,中所有奇数组成的集合,易知集合 是无和集.（11分）
下面说明是集合 元素个数最多的情况.
假设加任意一个偶数到集合中,由于,因此1和 中有一个不属于
集合,即集合中的奇数至少减去一个,则元素个数不会比 中元素个数多.（15分）
故是偶数时,中元素个数的最大值为；是奇数时,中元素个数的最大值为 .
（17分）
坑神敲黑板
新定义问题的方法和技巧:（1）可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的
应用,从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清
晰描述,那么说明对此信息理解得较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系,并从描
述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息
与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.