2.1 等式性质与不等式性质（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共58张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三
题型一 不等关系的表示
1.（2025河南联考）在某校新生军训考核评比中,甲班的分数大于乙班的分数,甲班和乙
班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ,则用不等式组表示
为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 由甲班的分数大于乙班的分数可得 ，由甲班和乙班分数之和大于170得
，不大于190，则 ，故D正确.
2.（2024江西上饶期末）糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.如果
克糖水中含有克糖,再添加克糖 （假设糖全部溶解）,糖水变甜了,
将这一事实表示为不等式正确的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 加入克糖 后糖水变甜了,即糖水的浓度增加了.
加糖之前,糖水的浓度为；加糖之后,糖水的浓度为,所以 .
题型二 不等式性质的应用
题组一 利用性质判断不等式是否成立
3.（2025北京顺义区期末）已知实数, 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确
的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由题图知 .
因为,，由性质4（可乘性）知 ；
因为，，则由倒数法则可知 ；
由作差法可得 ；
因为，所以由性质7（乘方法则）可知，即 .
坑神敲黑板
应用不等式的性质时需要注意：变换条件、交换条件和结论的位置不等式都不一定成立.
4. （多选/2025山东泰安期末）下列选项正确的是( )
ABC
A.若,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
【解析】 与开方法则相比，可判断正误.
因为，，所以.（易错提示:由于 ,故若此处未带等号,则
式子不成立）
因为，所以由倒数法则得 ，
因为，由性质6（同向同正可乘性）知 .
与性质5（同向可加性）相比， ，条件不成立，故结论无法成立.举反例:
当,，,时，满足，，此时 ，
，则 .
. .
坑神传妙招
举反例是判断不等式是否成立的常用手段,举例时注意根据目标式选择合适的数值.
5.（多选/2024江西联考）已知, ,则( )
CD
A. B. C. D.
【解析】 由,可得,解得 ；
由,可得,解得 ；
由可得,即 ；
由得，则，由A知 ，则
.
由B知,即，由A知 ,所以
,即 .
6. （多选/2025河南省实验中学月考）大招13下列命题为真命题的是( )
BCD
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【解析】 由倒数法则知, 是异向相加,不一定成立.
举反例：当,时, .
利用作差法比较大小..由 知
,,符号不确定，故 不一定成立.
利用作差法比较大小,所以 .
（同乘-1不等式变号）
（可加性）,同乘,（可乘性）得.又因为,则
（同向同正可乘性）.
利用作差法比较大小 .
因为,所以,,,所以,即 .
若,则（可加性）,且 （可加性）,即
,同乘（可乘性）得 .
利用作差法比较大小.由 知
,,，故，即 .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
题组二 作差法、作商法比较大小
7.（2025河南洛阳检测）设 ,下列式子恒成立的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 用作差法比较大小.因为 ，
（配方法），该式大于等于0不恒成立；
举反例:取，则 ；
恒成立，该选项正确；
，当时，，即 不恒成
立；
（配方法），当 时等号成立，
所以 不恒成立.
. .
. .
8.（2024山东省实验中学期中）若,,则,
的大小关系是( )
C
A. B. C. D.不能确定
【解析】 ,都是两个无理式相加,且 ,平方后只需比较两个根
式的大小.
,
,
,,,.（ ,
由开方法则得）
. .
9. （多选/2024河北邯郸统考）已知实数,,满足 ,则以下大小关系正确
的是( )
AD
A.当时, B.
C. D.
【解析】 由性质7（乘方法则）知当时正确.当 时可用作商法比较
大小：,, .
,当时 .
注意糖水不等式中要求.当时， .
作差法,,
（开方法则）, 上式大于0, .
作商法
,
,, ,
.
平方法. , ,
., ,
,,故 .
. .
10. （2025广东深圳高级中学月考）（1）设,试比较
与 的大小.
（2）已知,,,且,,试比较与 的大小.
【答案】 （1）两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小.若两式相
除可以约去一些公共项，也可选用作商法.
（2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小.
方法一:作差法.
（1） .
因为，所以， ，
所以 ，
所以 .
（2）.因为且，，所以 .
又因为，所以，则 ，
又因为，，所以，即 .
方法二:作商法.
（1）因为，所以， ，两式作商可
得，所以 .
（2）因为，，，，所以， ，两式作商可得
，因为，由倒数法则可知，又 ，所以由不等式的性
质6（同向同正可乘性）得，则由性质5（同向可加性）知 ，
则，即 .
题型三 求代数式的取值范围
题组一 利用不等式性质
11.（2024江西景德镇一中月考）已知,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由知,则.不等式同乘得 （同乘负，
不等式变号）,
所以 .
. .
12. （2025江苏盐城期中）已知, ,则下列结论错误的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由不等式的同向可加性得 ，即
；
同乘不等式变号，得，又因为 ，由不等式的
同向可加性得，即 ；
由B项及不等式的同向同正可乘性得，即 ；
因为，所以由倒数法则得 ，
又因为，由不等式的同向同正可乘性得，则 .
坑神来避坑
利用不等式性质时,要注意两个同方向的不等式可加不可减,可乘不可除,减、除应分别转
化为加、乘处理.
13.（2025广东阳江期中）已知实数且,则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
先由等式得到关于,的表达式，再由条件得到, ，进而分析各不等
式得到 的取值范围，从而得解.
【解析】 由，得 .
因为且，所以, ，
所以由，得，两边同乘 ，由不等式的性质4（可乘性）得
；
由，得，所以 ；
由，,得.综上， .
题组二 利用待定系数法或双换元法
14.（2025江苏海安高级中学月考）若,,则 的最小值
为( )
B
A. B. C. D.
已知，的范围求 的最小值，用待定系数法或双换元法求解.
【解析】 方法一:待定系数法.设
，故且 ，
所以,，故 ，
由于，，所以 ，
（不等式的同向可加性） ，
故最小值为，此时, .
方法二:双换元法.设，，则，，所以 .
由于，，所以，故 ，即
，
故最小值为，此时, .
. .
坑神来避坑
不少同学看到这道题会这么做: ①， ②， ，得
,即 ③，由②得, ④,
得,即， ⑤， 得
.产生错误的原因是同向不等式相加是不可逆的，不是等价变形，使用
次数越多，范围扩大得越多.
15. （多选/2025四川遂宁期中）若实数,满足, ,则下
列说法正确的有( )
ABC
A.的取值范围为 B.的取值范围是
C.的取值范围是
D.的取值范围是
【解析】 ,,两式相加得,即 .
,与相加得 ,即
.
待定系数法.设 ,所以
解得则 .
, ,所以
.
双换元法.令,,则, .所以
.
,,所以 .
题型四 证明不等式
16.（2024江苏扬州新华中学期中）证明下列不等式：
（1） 已知,,,求证： ；
【答案】 ,, （可乘性）,
（同乘-1,不等式变号）.
,即（对称性）, （同向可加性）.
（2） 已知,,求证： .
【答案】 , （倒数法则）, （同乘-1,不等式变
号）.
, （同向同正可乘性）,, .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
坑神敲黑板
本题结合不等式的性质应用综合法证明不等式,证明的每一步都必须有依据,即“由因导果”.
17.（2024河北保定检测）
（1） 设,,,,.证明: ；
【答案】 ，
.
,，，均不为0，则 ，
.
（2） 若,证明: .
【答案】 .
，取等号的条件为 ，
而， 等号无法取得，即 ，
又，， .
坑神敲黑板
作差比较大小的关键是对代数式进行合理变形，本题中利用了立方差公式，另外要注意
配方等方法的应用.
18.（2025上海南汇区检测）
（1） 证明： .
【答案】 要证不等式,只要证 ,
即证明,即证明,即证明 .
显然恒成立,所以不等式 成立.
（2） 已知,,且,求证：和至少有一个大于 .
【答案】 假设和都不大于,则又因为,,所以 所以
（同向可加性）,与矛盾,故假设不成立,所以和 至少有一个大于
.
. .
坑神小课堂
（1）用分析法证明,思路是从要证的不等式出发,逐步寻找它成立的充分条件,最后得到
的充分条件为已知或事实成立的不等式,即逐步“由果索因”.解析中彩色所示的连接词必
不可少.
（2）用反证法证明,步骤是：①否定结论,提出假设；②从假设出发,推出矛盾；③下结论.
能力觉醒
1.（2025山东枣庄调研）大招9，12“,,”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】 若，，，由不等式的性质6（同向同正可乘性）可得 ，
所以“，，”是“ ”的充分条件；
取，，满足，但不满足，所以“，，”是“ ”
的充分不必要条件.
2.（2025黑龙江齐齐哈尔期中）大招12已知三个不等式:;; .则
以其中两个不等式为条件,余下的一个不等式为结论,能得到的真命题的个数是( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 ,两边同乘,得,故 ;
,两边同乘,得,故 ;
移项并通分得,结合,得,故 .
综上所述,以其中两个不等式为条件,余下的一个不等式为结论,可得到3个真命题.
3.（2025广东梅州期末）大招12每次去加油站,甲选择加固定金额的油,乙选择加固定体
积的油.在油价波动的情况下,哪种方式更经济呢？( )
A
A.加固定金额的方式 B.加固定体积的方式 C.两种方案一样 D.要视具体价格而定
【解析】 设两次加油的油价分别为，,，且 ，乙每次加油的量为
；甲每次加油的固定金额为，则乙两次的平均油价为 ，
甲两次的平均油价为 .
因为，（用作差法证明:当时,算术平均数 调和平均数）
所以 ，即加固定金额更经济.
. .
4.（多选/2025河南商丘期末）大招13若,且 ,则( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 因为，,所以，所以 ,
.
因为，所以,，所以 .
不妨设,,，满足和，此时 ，
，A,D错误.
,两边同除以得，（实际是可乘性，即两边同时乘 ）
，，故，即，不等式两边同除以得 ，所以
.
. .
. .
5.（多选/2024福建厦门期中）大招12,14下列说法中正确的是( )
AB
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
【解析】 （移项法则）.因为 ,所以
.
因为,所以,又因为,所以 .
. .
因为,所以（倒数法则）,又因为,所以 （同乘一个负
数，不等式要变号）.
待定系数法.设 ,则
解得则 .
, ,所以
.
双换元法.令,,则, ,所以
.
,,所以 .
. .
. .
坑神来避坑
本题D选项若多次使用不等式的性质先求出, ,再得
,就扩大了范围得到错误答案.
6.（2025吉林白城市实验高级中学期中）若,,,均为实数,使不等式 和
都成立的一组值 是___________________________（只要举出适合条
件的一组值即可）.
（答案不唯一）
【解析】 由，知,同号，,同号，且 .
因为，所以 .
所以在取时只需满足以下条件即可:,同号，,同号，, 异号；
.
令,,,，不妨取,,，则，取 ，
则 满足要求.
7. （2025上海市向明中学月考）已知,定义:表示不小于 的最小整数,
如:,,,若,则 的取值范围是_____________.
【解析】 由，得，即 .
当时， ，矛盾，舍去；
当时， ，满足题意；
当时， ，矛盾，舍去.
同理可知，当或时不合题意，所以的取值范围是 .
8.（北京卷）李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果
进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后,
李明会得到支付款的 .
① 当 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元;
130
【解析】 顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为（元）,又 ,所
以优惠10元,顾客实际需要支付130元.
② 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 的最
大值为____.
15
【解析】 设顾客一次购买的水果总价为元.由题意易知,当时, ,当
时,,得对任意恒成立,又因为 ,
所以 的最大值为15.
9.（2024江苏南京市中华中学检测）大招13已知, ,
,则与 的大小关系为_______.
【解析】 先作差再平方.
,要判断
与的大小,即判断与 的大小.
要判断与的大小,即判断 与
的大小,
（平方后
，相减可最大限度地消去参数）
,所以,即 .
. .
坑神来避坑
看到带根号的式子,有学生会直接平方作差：
,
无法继续下去.
因此平方作差有一定的局限性,要根据式子结构选择先作差再平方,还是直接平方作差.
10.（2025江苏南通联考）大招14设,为实数,满足,,则 的最大
值为____.
32
已知,的范围求 的范围,用待定系数法或双换元法求解.
【解析】 待定系数法.从三个代数式的关系看到用待定系数法“设 ”
无法求解,用指数幂的形式可以.设,所以 ,
,所以,,即 .
, ,由不等式的同向同正可乘性得
,即的最大值为32,当且仅当即 时取到最大值.
（求最值时注意说明等号成立的条件）
双换元法.设①,②, ②得③,由①得 ,易知
，将③代入得,所以.因为 ,
,所以,即的最大值为32,当且仅当 即
时取到最大值.（求最值时注意说明等号成立的条件）
. .
. .
. .
11.（2024湖北省鄂东南联盟期中）已知克糖水中含有克糖,再添加 克糖
（假设糖全部溶解）,糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,不必证明.利
用此结论证明：若,,为三角形的三边长,则 .
【答案】 根据糖在糖水中所占的比例变大,则糖水变甜,得到不等式
.
因为,,为三角形的三边长,则有,, ,
由糖水不等式可得,, ,（糖水不等式通常用来放缩）
将以上不等式左、右两边分别相加,得 ,
所以 .
. .
12.（1） 已知,.求证： .
【答案】 作差得 ,所以
.
（2） （2024河南郑州检测）已知,求证： 的充要条
件是 .
【答案】 充分性（条件 结论）：
因为,所以,又 ,所以
,（立方和公式）即
.即充分性成立.
必要性（结论 条件）：
,
而,所以,所以 .即必要性成立.
综上,的充要条件是 .
. .
素养觉醒
1. 已知实数,满足 1,,则 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 涉及 无法用【大招14】的待定系数法或
双换元法求的取值范围.要解决问题,需得到, 的
最小值、的最大值能取到,即可得 的范围.
, （绝对值的定义）, ,（移项法则）
.（可加性）同理,由得 ,
.
令, ,
,（ 时取等号）,
（ 时取等号）,
当时,,当时, 均满足题意,
.
. .
. .
. .
. .
. .
坑神传妙招
本题是求二元函数的取值范围问题（后面会学到一般利用式子的几何意义求解）
是相乘,需用已知条件放缩消元,得到
,注意这里不是恒成立问题,因此验证 1）的最小值能取
到, 的最大值能取到,就可得所求范围.
2. （2024九省联考）以表示数集中最大的数.设 ,已
知或,则,, 的最小值为__.
【解析】 令,,,其中,, ,
所以
若,则,故 ,
令,,,, ,
因此故,则 .
若,则,即 ,
,,,, ,
则故,则,当且仅当且, ,
时等号成立,即 时等号成立.
综上可知,,,的最小值为 .