2.2 基本不等式（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共58张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
题型觉醒
高频题型：题型一、题型四、题型五、题型七
题型一 比较大小＆判断不等式成立
1.（2025河南省实验中学月考）已知,都是正数,则“”是“ ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】 由题意可知当时，可取,，显然不能推出 ；
当时，且,，所以 ，（基本不等式的应用）即
，解得 ，
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
. .
2.（2024江苏连云港期末）大招16已知, 都是正数,则下列关系正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 对比【大招16】的基本不等式链知选项C正确.
由基本不等式可得,所以 ,
因为,所以,所以,所以 .
综上可得, （用代数方法证明了基本不等式链）,当且仅当
时等号成立.
. .
坑神小课堂
运用基本不等式及其变形时注意公式应用的条件：
（1）若, <>,则,（当且仅当时取“ ”）；
（2）若,,则,,（当且仅当时取“ ”）.
3.（多选/2025福建福州期中联考）下列结论正确的有( )
AD
A.当时, B.当时,
C.当时, D.当时,
【解析】 当时，，，（一正） （二定），所以
，
当且仅当,即 时取等号；（三相等）
，当且仅当，即时取等号，又因为
（不满足“三相等”），故等号取不到；
. .
. .
. .
. .
（配凑出乘积为定值的形式）,当且仅当，即 时等号成立；
当时，,，，当且仅当，即 时取等号.
坑神来避坑
若,则（当且仅当时取“”）；若,则 ,即
或（当且仅当或时取“ ”）.
. .
当时，，，所以
题型二 直接求最值
4.（2025陕西西安期末）已知正数,满足,则 的最小值为( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】 积定求和最小，直接应用基本不等式即可.因为正数，满足 ，所以
，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为 .
5.（2024黑龙江哈尔滨九中开学考试）大招16已知正实数,满足 ,则
的最大值是( )
B
A.2 B. C. D.
【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立,所以
的最大值为 .
（平方升幂） ,当
且仅当时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 .
由柯西不等式得
,当且仅当
时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 .
. .
6.（2025重庆期末联考）已知,都是正实数,若,则 的最大值为__.
【解析】 满足和为定值，可直接利用基本不等式求解.
，可得，当且仅当，即, 时，取等号，所
以的最大值为 .
因为，当且仅当，即 ,
时，取等号，所以的最大值为 .
题型三 多次利用基本不等式求最值
7.（2025天津红桥区期中）已知,,则 的最小值为( )
D
A. B. C.4 D.2
【解析】 因为,，所以 ，当
且仅当，且 ，（连续两次使用基本不等式,注意取等条件应一致）
即,时，取等号，所以 的最小值为2.
. .
. .
8.（2024辽宁朝阳联考）已知,则 的最小值为___.
8
【解析】 由得,则 (第一次用基
本不等式：由消去),当且仅当即 时,等号成立.
（第二次用基本不等式：求最值）,当且仅当即 时,
等号成立.
因此,当时（ 连续用基本不等式时注意同时取等号）, 取
得最小值8.
. .
. .
. .
坑神有话说
连续应用基本不等式求最值时,要注意每一次等号成立的条件是否一致,若不能同时取等
号,连续用基本不等式是不可取的.
题型四 配凑定值
题组一 积定求和最值
9. （2025湖南湘潭期末）已知,则 的最小值为( )
C
A.5 B.4 C.3 D.2
不为定值，但可配凑出定值，即将所求的和式“ ”
后由基本不等式求解即可.
【解析】 由题意得，（一正）则
，（二定）
当且仅当，即时，等号成立.（三相等）故 的最小值为3.
. .
. .
. .
10.若,则 的最小值为( )
B
A.2 B.4 C.5 D.6
【解析】 方法一：二次比一次型,将分子向分母配凑.因为,所以 ,
,所以 （分离变量得
积为定值）,
当且仅当,即时,等号成立,故 的最小值为4.
方法二：二次比一次型,对分母换元利于配凑.令,则,又因为 ,所
以 .
则,当且仅当,即 ,
时等号成立,
故 的最小值为4.
. .
坑神小课堂
积定求和最值的三种模型
模型一：,当且仅当 时等号成立.
模型二： ,当且仅当
时等号成立.
模型三：,当且仅当 时等号成立.
题组二 和定求积最值
11.（2024广东广州大学附中月考）已知,则取最大值时 的值为
( )
C
A.1 B. C. D.
虽然不为定值,但是观察根号下的式子可配凑 .
【解析】 因为,所以 ,当且
仅当时等号成立,因为,所以 .
坑神小课堂
和定求积最值模型：
,当且仅当
时等号成立.
12.（2025兰州一中期中）已知,,且,则 的最大值为____.
25
要求的最大值，需将条件变形为 ，成定
值的形式后利用基本不等式求解.
【解析】 配凑法.由，得 ，则
，
当且仅当，即,时，取等号，所以 的最大值为25.
消元法.因为,所以 ，则
，
又因为，则结合二次函数图象可知当时， 取到最大值
25，即 的最大值为25.
13.（2025河北沧州期中）已知实数,,满足,则 的最大值为___.
1
【解析】 由，得，所以 ，
（对条件和所求分别变形成相同形式）
当且仅当时取等号，故 的最大值为1.
. .
题型五 “1”的代换
题组一 乘“1”型
14.（2025江西吉安检测）已知,,,则 的最小值为( )
A
A.32 B.24 C.16 D.8
【解析】 初始定值条件可化为1后，利用“1”的代换求出最值.
,,由，得 ，则
，
当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为32.
15.（2024河北张家口开学考试）已知,,且,则 的最小值为
____.
11
将待求式中配凑出 后,再进行“1”的代换,构造积为定值.
【解析】 因为,,所以 ,
,
当且仅当即时等号成立,所以 的最小值为11.
坑神有话说
本题也可以利用换元替代配凑.令 ，
则， ，
由可得 ,所以由权方和不等式可得,
,解得,当且仅当 时等号成立.
当且仅当 时等号成立.
，
16.（2025浙江杭师大附中期中）若两个正实数,满足,则 的最小值为
___.
2
条件未直接给出“1”，但等式两边同除以后，得到 .
【解析】 因为正实数，满足，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即， 时取等号.
题组二 分子代换“1”,构造齐次式
17.（2025江苏盐城期中）已知,,,则 的最小值为( )
D
A.2 B.4 C.1 D.3
待求式中有分式不是齐次式，考虑用“1”的代换进行齐次化.
【解析】 因为,, ，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以 的最小值为3.
18.（2025四川成都石室中学月考）已知,,,则 的最小值为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 对分子进行“1”的代换,构造成二次.
,当且仅当
即时,等号成立,所以的最小值为 .
因为,所以,则 （分子利用“1”消元）
（“1”的代换）
（“1”的代换构造齐次式） ,当且仅当
. .
. .
. .
即时,等号成立,所以的最小值为 .
19.（2024辽宁省实验中学检测）设,,,则 的最小值为
___________.
,分子中含常数2,无法利用均值不等式求最值,因此考虑
利用“1”的代换对分子进行变形构造齐次式.
【解析】 ,,,又 ,
,当且仅当即 时等号成立,
的最小值为 .
题型六 利用基本不等式证明不等式
20.（1） 已知实数,,均大于0,证明： .
【答案】 根据待证不等式结构选用
,当且仅当
时等号成立,所以 .
（2） （2025江苏镇江期末）已知,,证明: .
【答案】 因为,，所以，当且仅当 时取
等号，
，当且仅当 时取等号，所以
,因此 .
21. （2025四川德阳检测）已知,,,且 ,证明:
（1） ；
【答案】 因为 （配凑积为定值的形式）
，
当且仅当时等号成立，故 ，当且仅当
时等号成立，
故 成立.
. .
（2） .
【答案】 ,（通过“1”的代
换进行齐次化）
由基本不等式得，当且仅当 时等号
成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
故 ，
当且仅当 时等号成立.
. .
题型七 利用基本不等式解决恒成立问题
22.（2025江苏泰州检测）大招15若对于任意,恒成立,则 的取值范围为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为不等式对任意恒成立,所以大于或等于 的最大值.
因为,所以,当且仅当,即 时等号成立,所
以 .
23.（2025湖南师大附中期中）已知,,且恒成立,则 的最
大值为( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】 因为,，则,, ，又因为
恒成立，
即恒成立.（分离变量，将不等式右侧分母乘到左侧）又因为
，
当且仅当，即时取等号，所以 .
. .
题型八 基本不等式的实际应用
24.（2025辽宁锦州期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准,需要加入某种
药剂,加入药剂后,药剂的浓度（单位:）随时间（单位: ）的变化关系可近似地
用函数 刻画.由此可以判断,要使被处理的污水中该药剂的浓度达
到最大值,需经过( )
C
A. B. C. D.
【解析】 依题意，，所以 ，所以
，当且仅当
，即 时等号成立，故由此可判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达
到最大值，需经过 .
25.（2025江苏镇江期末）如图,互相垂直的两条小路,
旁有一长方形花坛,其中, .现欲经
过点修一条直路,交小路,分别为点, .计划准备将
长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛 .要求
的长不小于且不大于.记三角形花园 的面积
为 .
（1） 设,试用表示,并求 的取值范围；
【答案】 依题意可得，所以，即，可得 ，
因此，又要求的长不小于且不大于 ，即
，解得，即, .
（2） 当的长度是多少时, 取最小值？最小值是多少？
【答案】 易知 ，所以
当且仅当，即时，等号成立，此时 取得
最小值1 200.
因此当时，取得最小值，最小值为 .
，
由基本不等式可得
,
能力觉醒
1.（2024湖南岳阳检测）已知,且,若的最大值为 ,则
( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 已知条件中含“和为定值”、“积的最大值”,借助基本不等式求解.
由基本不等式得,当且仅当时,等号成立,则 ,故
.
2.（2025安徽六安统考）已知,两地的距离是 .两地之间的公路车速限制在
.假设油价是8元/,以的速度行驶时,汽车的耗油率为 ,
司机每小时的工资是56元,那么最经济的车速是( ) .
C
A. B.55 C.60 D.80
【解析】 由题意可知，行车的总费用为 ，其
中，由基本不等式可得 （元），
当且仅当，即 时，等号成立，因此最经济的车速是
.
3.（2025河北承德期末）大招17已知,则 的最小值为( )
D
A.25 B.6 C.10 D.5
【解析】 ，为定值.由题意得，则
（“1”的代换） ，
当且仅当，即时，等号成立，故 的最小值为5.
权方和不等式，当且仅当，即 时等
号成立，所以 的最小值为5.
. .
4.（2025江苏常州调研）大招15,27已知,,且,则 的最小值
为( )
A
A.2 B.3 C. D.
要求和的最小值需先有积为定值,对条件进行配凑定值.
【解析】 将条件变形得到（积为定值，将 凑项，
利用基本不等式求最值）.因为,,所以, ,所以
,当且仅当 ,
即时等号成立,所以 的最小值为2.
符合【大招27】有积有和有常数求和最值的情况,利用“一个桥梁”求解.
由得 .
因为,,所以（桥梁）,当且仅当 时等号成立,
所以,解得或 （舍去）.
由且得,故当且仅当时, 取得最小值2.
地位等价法.令,则,解得或 （舍去），所以
的最小值为2.
. .
. .
5.（2025湖南邵阳联考）若,,则下列能成为“ 的最小值为16”的充要
条件是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ， ，
的最小值为16，
利用分母构造求最值时齐次化要用的“1”:
，
当且仅当，即 时，等号成立，即取到最小值16.
，即 .
若，显然 的最小值为16.
6.（多选/2025广东深圳期中）大招15 已知 ,则( )
ABD
A.的最大值为1 B. 的最大值为1
C.的最小值为2 D. 的最小值为3
【解析】 令,则,由二次函数的性质得当时, 取
得最大值1；
,而,当且仅当时等号成立,故
的最大值为1；
,当且仅当 时等号成立,此时方
程无解,故 的最小值不为2；
,当且仅当 时等号成立,所
以 的最小值为3.
坑神来避坑
对于选项A,有学生会这样做：因为 ,即和为定值,所以
,当且仅当,即时等号成立,所以 的最大值
为1.此解法虽满足“二定”“三相等”但不满足“一正”且 ,不能用基本不等式
求解.这里也能得到答案的原因是等号成立的条件恰好满足且 .
7.（多选/2024郑州外国语学校月考）大招17已知正数,满足 ,则下列说法
正确的是( )
ABC
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最小值为8 D.
【解析】 因为,,,即,所以
（“1”的代换）,当且仅当 时等号成
立；
,所以,当且仅当 时等号成立；
,当且仅当 时等号成立；
由得,因为,,所以 .
. .
8.（2025广东期末联考）大招26已知,且是方程 的一个实数根,则
的最小值是___.
8
【解析】 由是方程的一个实数根可得，即 ，
且，所以，当且仅当，即 ,
时等号成立，故 的最小值是8.
9.（2025山东枣庄期末）大招15,17已知,,均为正实数,若 ,则
的最小值为___.
6
【解析】
(分别使用基本不等式) ，
当且仅当，即,,时等号成立，故 的最小
值为6.
. .
10.已知,则 的最小值为___.
4
【解析】 要求的最小值,注意这里有两个变量, ,且不具备“和”或“积”为定值
的条件,因此先利用基本不等式消元.
注意到与的和为,,因而利用基本不等式可得 ,
当且仅当时等号成立,可得,则 ,当且仅当
,时等号成立,所以 的最小值为4.
由可得
,()当且仅当
时等号成立,有,当且仅当, 时等号成立,
所以 的最小值为4.
. .
11.大招19设,,,,则 的最大值为_ ____.
所求式为形如 的倒数形式,采用待定系数法求解.
【解析】 若要出现,,,则必然有,, 的形式,故对分母
进行拆分,要拆分的系数待定,
.
要想使分子、分母进行约分,则,即 ,整理得 ,解得
或 （舍去）,
所以,当且仅当 时
等号成立,所以的最大值为 .
素养觉醒
1. （2024安徽期中联考）我们知道,,当且仅当 时等号成
立,即,的算术平均数的平方不大于, 平方的算术平均数.
（1） 证明：此结论是否可以推广到三元,即,当且仅当 时
等号成立;
【答案】 ,
故,当且仅当 时等号成立.
（2） 已知,,,若不等式 恒成立,利用（1）中
的不等式,求实数 的最小值.
【答案】 当,,时,由（1）中的不等式得 ,
所以,即,当且仅当 时等号成立,因
此的最大值为 .
由恒成立可得,即实数 的最小值为
.
2. 已知,,, 为正实数,利用基本不等式证明（1）,确定（2）,并指出等号成
立的条件,然后解（3）中的问题.
（1） 请根据基本不等式,证明 ；
【答案】 因为,,,,所以,,当且仅当, 时等号成立,
所以,当且仅当, 时等号成立.
又,当且仅当 时等号成立,
所以,当且仅当 时等号成立.
（2） 请根据（1）中的结论,确定与 的大小关系（无须推导）；
【答案】 ,当且仅当 时等号成立.
（3） 若,求 的最小值.
【答案】 因为,所以,当且仅当 时等号成
立,所以 ,
因此（拆成两个 的目的是保证等号
成立）,当且仅当,时等号成立,所以 的最小值为3.
. .
坑神来拓展
基本不等式链可以拓广到元：如果,, , 均为正数,那么
,当且仅当 时
等号成立.