2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共79张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
题型觉醒
高频题型：题型一、题型二、题型六、题型七、题型八
题型一 解不含参数的一元二次不等式
题组一 可分解因式求解
1.（2025广东深圳期中）若“”是“”的必要不充分条件,则实数 的取
值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ，（对应二次函数图象
开口向上,小于0取中间,大于0取两边）
若“”是“”的必要不充分条件，则集合 是集合
的真子集，所以 .
. .
坑神小课堂
用因式分解法解一元二次不等式：第一步,变形使不等式右侧为0,二次项系数为正；第二
步,对不等式左侧因式分解；第三步,得解.一般地,如果 ,则不等式（
的解集是 ,不等式 的解集是
或 .
2.（2025山东菏泽调研）若规定,则不等式 的解集是
( )
D
A. B. }
C.} D.或 }
【解析】 由，结合题意可得，所以 ，
或 ，
，所以或 ，
即不等式的解集为或 }.
3.解下列不等式：
（1） ；
【答案】 对于方程, ,所以由求根公
式可得方程的两个实数根为, ,所以不等式的解集为
}.
（2） ；
【答案】 ,则不等式的解集为 .
（3） ;
【答案】 ,移项得 ,整理得
（注意提取公因式,不能直接约掉）,即 ,解得
或,则不等式的解集为或 .
. .
. .
（4） .
【答案】 因为，即
解不等式，即，解得 ；
解不等式，即 ，又因为
恒成立，
所以不等式的解集为.综上，不等式的解集为 ｝.
4.解下列不等式：
（1） ；
【答案】 即.（可看成关于 的一元二次不等式）
令,则不等式即,由十字相乘法得 ,则
.
因为,所以,即,解得 .
故不等式的解集为 }.
. .
（2） ；
【答案】 即（可看成关于 的一元二次不等式 ）.
令,则不等式即,由十字相乘法得 ,解得
.因为,所以,即,所以 .
故不等式的解集为 .
（3） .
【答案】 即（可看成关于 的一元二次不等式 ）.
令,则不等式即,由十字相乘法得 ,解得
或（舍去）,所以,所以或 .
故不等式的解集为或 .
. .
. .
坑神敲黑板
对于一些非一元二次不等式,可通过换元转化为一元二次不等式,常见形式包括
,或 等.
题组二 三个“二次”关系的应用
5.（2024江苏镇江调研）大招23下面四个不等式中解集为 的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 方程的判别式 ,二次函数
的图象开口向上,且图象始终在轴的上方,所以 的解集
为 ；
,则,即不等式的解集为 }；
,解得 ,即不等式的解集为
}；
对于方程,由求根公式得, ,因为二次函数
的图象开口向下,所以不等式 的解集为
}；
方程的判别式 ,二次函数
的图象开口向上,且图象始终在轴的上方,则 的解集为
.
坑神有话说
将不等式变形为右侧为0,二次项系数为正后,若左侧无法因式分解,需考虑三个“二次”的
关系,用求根公式求出一元二次方程的根或计算得到判别式小于0说明方程无实根,根据二
次函数的图象写出不等式的解集.
6.（多选/2024广东佛山南海区S7联考）已知关于的不等式 ,下列关于
此不等式的解集结论正确的是( )
BD
A.解集可以是 B.解集可以是
C.解集可以是 D.解集可以是
【解析】 当时, ,不等式成立,因此解集至少含有0,所以不
等式的解集不能为 ;
当且时(如,时， ),
,,不等式的解集为；当时, ,
不等式的解集为 ;
若该结论正确,则必有解得则不等式为,解得 ,与
解集 矛盾,故该结论错误;
若该结论正确,显然（当时,的解集为 ,其
中为方程的两个不相等实数根，且）,且 ,2是一元二次
. .
. .
方程的两个实数根,则解得 所以解集可以是
.
题型二 解含参数的一元二次不等式
题组一 可分解因式求解
7.（2025安徽合肥期末）已知关于的不等式组 仅有一
个整数解,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 对不等式左侧进行因式分解，求出对应的两根，比较两根大小后结合不等式
的交集求解.
，解得或 ；
由，即，因为 ，所以
不等式的解集为 ，
不等式组仅有一个整数解，则解集应为 ，所以仅有的一个整数解为4，所
以 .
8.（多选/2025湖南邵阳检测）关于的不等式 的解集可能为
( )
BCD
A. B. C.或 D.
【解析】 二次项系数含有参数,应先讨论是否为0,容易遗漏 时为一次不等式的
情况.
当时,不等式可化为,则不等式的解集为 ,故B正确.
当时, 为一元二次不等式,且可因式分解为
.二次项系数影响不等式是否变号,因此再分, 两种情况.
当时, （求解集需对两根大小进行讨论）.
当,即时,不等式的解集为或 ,故C正确.
. .
当,即时,不等式的解集为；当,即 时,不等式的解集为
或 .
当时,,此时显然 ,不等式的解集为
,故D正确.
9.（2024江西九江期中）求下列关于的不等式的解集,其中 是常数.
（1） ;
【答案】 ,即 ,因为
,所以不等式的解集为或 .
（2） .
【答案】 ,整理得,即 ,
所以当时,不等式的解集为 ；
当时,不等式的解集为 ；
当时,不等式的解集为 .
坑神来避坑
常见含参一元二次不等式的分类讨论点
①二次项系数含参数,则应讨论二次项系数是否为0,二次项系数为0时不等式为一次不等
式是易遗漏的情况.
②讨论判别式 与0的关系,利用相应一元二次方程的根的情况,求解一元二次不等式.方
程无实根或有两个相等实根时,可直接写出解集,方程有两个相异实根时,需用求根公式求
出两实根再得解集.
③已知方程有两个相异实根时,通过讨论两实根的大小关系确定解集.一般情况下,可通过
因式分解求出这两个相异实根.
题组二 不可分解因式求解
10.解下列关于 的不等式：
【答案】 三个不等式左侧都不能因式分解,相应一元二次方程解的情况不确定,因此
需要分别研究,, 时不等式的解集.
（1） ；
【答案】 对于一元二次方程,判别式 .
当时,,的解集为 ；
当时,,的解集为 ；
当时,,方程的两根分别为, ,且
,则的解集为 }.
综上,当时,不等式的解集为 ,当 时,不等式的解集为
}.
（2） ;
【答案】 对于一元二次方程（已知 ,肯定是一元二次方程）,判别
式 .
当时,,等价于,解得 ,故不等式的解集为
；
当时,,方程的两根分别为, ,
且,则的解集为或 }；
当时,,不等式的解集为 .
. .
综上,当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为
或}；当时,不等式的解集为 .
（3） .
【答案】 对于一元二次方程, ,
当时,,的解集为 ；
当时,,的解集为 ；
当或时,,方程的两根分别为, ,
且，所以不等式的解集为 }.
综上,当时,不等式的解集为 ；当或 时,不等式的解集为
}.
题型三 解绝对值不等式
11.（2024江苏无锡期中）不等式 的解集为________________.
}
【解析】 (形如 ,则对不等式两边同时平方)左右两侧同时平
方得，所以，故 ，即
，解得 }.
. .
12.解下列不等式：
（1） ；
【答案】 将直接去掉绝对值符号,得或 ,即
或,所以 （十字相乘法）或
（配方法）,解得或 .
故不等式的解集为或 .
（2） ；
【答案】 当时,原不等式即,所以 ；
当时,原不等式即,即,解得或,所以 .
综上,不等式的解集为或 }.
. .
. .
（3） .
【答案】 ,即或,解得 或
,所以.故不等式的解集为 }.
零点分段法.当即时,,不等式 显然
成立；
当时,即,整理得 ,即
.解不等式组得 .
综上,不等式的解集为 }.
题型四 解分式不等式
13.（2025山东潍坊期末联考）设,则“”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为（小于号说明分子分母都不为0），所以 ，解
得，若，则 ；
若，则不一定满足.综上，“”是“ ”的充分不必要条件.
. .
14.（2025北师大二附中统练）不等式 的解集是_________________.
或}
【解析】 不等式移项整理得，即 （注意分母不能
为0）
解得或，即不等式的解集为或 }.
. .
15. 不等式 的解集为_______________________.
或
【解析】 不等式组法.原不等式可化为或 解得
或所以或.即不等式的解集为 或
.
数轴穿根法.将分子因式分解,原不等式可化为 ,即
.
则方程的三个根分别为, ,4,分别标在数轴上,如图所示,
由数轴穿根法得解集为或 .
题型五 解高次不等式
16. 不等式 的解集是_________________________.
或或
【解析】 等价于
.数轴穿根法如图,
注意的次数为2,因此穿而不过,故不等式的解集为或或 .
17. 不等式 的解集为___________________________.
或或
【解析】 先移项再化简,
得 ,
,即,分子、分母分别分解因式得 ,解原不等式等价
于求解,且分母不为0,即, ,每一个因式都是一
次,由数轴穿根法可得,解集为或或 （注意不要漏掉1,3）.
. .
题型六 利用根与系数关系转换不等式解集
18.（2025山西吕梁期末）已知关于的一元二次不等式 的解集为
,则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 一元二次不等式解集的端点值正好是相应一元二次方程的根，利用根与系数
关系求解参数即可.
因为关于的一元二次不等式的解集为 ，
所以关于的一元二次方程的两个根分别为 ，2，
由根与系数的关系可得 解得
所以 .
遇到利用根与系数关系转换不等式解集的题型时，我们可以采用逆向思维，利用不等式
的解集得到对应方程的实数根,再利用根与系数的关系求参数.
19. （2025陕西榆林期末）某同学解关于的不等式 时,因
弄错了常数的符号,解得其解集为或,则不等式 的解
集为( )
C
A.} B.或 }
C. D.或
【解析】 由解集可知,且,,所以, ,
所以即（注意,不等式两边同时除以 时，不等
号的方向改变）,即,解得 .
. .
坑神敲黑板
已知一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与 轴的交点
的横坐标,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
20.（多选/2025河南联考）已知二次函数
,,为常数 的部分图象如图所示,则( )
BCD
A.
B.
C.
D.不等式的解集为
【解析】 由图象可知，该二次函数图象开口向上，故 ，
与轴的交点为， ，故
，即
， .
；
；
；
可化为，又， ，
即，（十字相乘法）其解集为 .
. .
题型七 一元二次不等式的恒成立问题
题组一 在 上恒成立
21. （2024江苏苏州大学附中月考）一元二次不等式的解集为
的充要条件是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 一元二次不等式的解集为 ,即 恒成立,由
【大招23】知充要条件是（ 恒成立的不等式含“ ”,判别式
也要含“ ”）
. .
坑神小课堂
一元二次不等式在上恒成立的条件：对应, ；
对应,；对应, ；
对应,.可记为：与不等号同向, 与不等号同等.
22. （2025江西南昌期中）关于的不等式 对于任
意恒成立,则 的取值范围是_____________.
【解析】 二次项系数含参，需先讨论二次项系数是否为零.
当，即时，原不等式为 ，恒成立；
当，即时，原不等式恒成立，则 解得
.
综上所述，的取值范围为 .
题组二 在给定范围上恒成立
23.（2025福建泉州期中）,不等式恒成立,则 的取值
范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为在上恒成立，所以 在该范
围内恒成立，因为 ，对应二次函数图象开口向上，对称轴为直线
，所以，（当时,取到最大值2（但 ））
则 .
，不等式 恒成立，对应二次函数
图象开口向上，则当及时，均需满足 ，即
解得，所以的取值范围是 .
. .
24.（2024河北保定联考）已知关于的不等式 对任意的
都成立,则 的取值范围是____________.
不等式左侧已分解因式,肯定使不等式成立,因此将给定范围以 为界进行
分类讨论.
【解析】 当时,不等式对任意的都成立,此时 ；
当时,,则对任意的都成立,则当 时，
恒成立,当时,（当时，一次函数 的
图象在轴上或轴下方）解得 .
综上,的取值范围是 .
. .
25.（2025江苏常州调研）大招26“若, ”为假命
题,则实数 的取值范围为_ __________.
【解析】 “，”为假命题，则“ ，
”为真命题，即 ，又因为
，（）恒成立，所以 ，
设，则（一次比二次型,通过对分子换元为 ,可以将式子转
化为的形式） ，
又因为，当且仅当 时等号成立，所以
，当且仅当时等号成立，所以 .
. .
. .
题型八 一元二次不等式有解问题
26.（2025天津南开中学期中）若存在,使得成立,则实数 的取值范围
为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为 恒成立，所以原不等式等价于
在上有解，即 有解，所以
，（方程在上有解，只需看判别式）解得 ，
即实数的取值范围为 .
. .
27. （2024广东广州期中）若关于的不等式 的解集
不为空集,则实数 的取值范围为( )
C
A. B. C.或 D.或
【解析】 分二次项系数是否为零两种情况进行讨论即可.
当时, .
若,原不等式为,解得,则不等式的解集为 },不是空集,符合题
意；若,原不等式为 ,无解,不符合题意.
当,即 时,不等式有解,（二次项系数含参，不等式有解有两种情况）即
或
② ,
解①得,解②得或 .
综上所述,实数的取值范围为或 .
28.（2025江苏盐城期末）关于的不等式在上有解,则实数
的取值范围是______.
【解析】 由不等式以及可得 ，（分离参数）
依题意可知，， 即可，
令，，又因为 ，（构造二次函数）由
可得 ，
利用二次函数性质可知，即可得 .
. .
. .
29.（2025吉大附中实验学校期中）若两个正实数,满足 ,且不等式
有解,则实数 的取值范围是________________.
或
【解析】 ,,条件等式两边同除以得 ,
则 （“1”的代换）,当且仅当
,即时等号成立,则 的最小值为2.
若不等式有解,则,解得或 .
. .
题型九 变换主元
30.不等式对任意,恒成立,则 的取值范围为___________．
【解析】 以为主元.原不等式等价于 恒成立，
所以且，即 ，所以
,解得 ．
31.若,关于的不等式恒成立,则实数 的取值范围是
__________．
【解析】 将原不等式看成关于变量的不等式，即 ，
其判别式 ，
因此不等式的解集为 ，
因为，所以， ，要使不等式恒成立，则
．
32.大招23,24已知不等式 .
（1） 若不等式在时有解,求实数 的取值范围；
【答案】 不等式可化为 ①,
设,若不等式①在时有解,即当或时,
成立,即或,解得或 ,
所以实数的取值范围是 .
（2） 若不等式在时恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】 不等式可化为 ②.
当时,恒成立,当时,设 （变换主元，视为关
于的一次函数）,因为时不等式②恒成立,所以当且时 ,
所以解得或或 且
.
所以实数的取值范围是或或 .
. .
能力觉醒
1.（2025湖北襄阳联考）已知,则“”是“ ”的( )
A
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 解得，由 ，（偶次根号下非负）可
得，所以“”是“ ”的充要条件.
. .
2.（2025湖南长沙南雅中学月考）在如图所示的锐角三角形空地中,
欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分）,则
（单位： ）的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设矩形的另一边长为,则由三角形相似知,所以 .因为
,所以,即,即 ,解得
.
3.（2025河南联考）已知关于的不等式的解集为 ,则下
列结论错误的是( )
D
A.中可能只有一个元素 B.若,则 中的元素为负数
C.若,则 D. 可能为空集
【解析】 由，得 ，
当，（, 为对应方程的两根,讨论两根大小即可判断）
即时，，得，则 ；
当，即时，，此时与 均为负值，
所以 中元素均为负数；
当，即时，，因为 ，所以
，得 ；
由题意得，则 不可能为空集.
. .
4.（多选/2025陕西西安期中）关于的不等式的解集为 或
,下列说法正确的是( )
ACD
A.
B.不等式的解集为
C.的最大值为
D.
【解析】 不等式的解集为或 ，
故和是方程 的两个根，
所以（结合对应二次函数图象可知,开口向上, 大于0取两边）解得
, ；
可变为
，解得或 ；
. .
，当且仅当，即 时
等号成立，所以的最大值为 ；
是对应方程的根，所以 .
5.（2025安徽师大附中期初）已知二次不等式 的解集为
,,则 的取值范围是_____________.
或
【解析】 因为， ，（根与系数的关系）所以
，
所以，即，解得或 .
因为有两个不等实根,，所以 ，
（易遗漏隐含条件）
解得或，则的取值范围是或 .
. .
. .
6.（2025广东深圳外国语高级中学期末）已知,,若关于 的不等式
在时恒成立,则 的最小值是_____.
【解析】 因为，所以当时，；当时 ，要想关
于的不等式（需两因式同号）在 上恒成立，
则当时，当时 ，
所以当时 ，（解题关键）
则，即，所以，当且仅当 ，即
时取等号.
. .
. .
7.（2025吉林长春期中）关于的不等式的整数解恰有3个,则实数 的取
值范围是____________.
【解析】 关于的不等式等价于 ,
因为此不等式恰有3个整数解,所以,且,所以 .
令得 , ,
故不等式的解集为 }.
因为,所以,所以解集中一定恰有,, 三个整数,所以
,解得 .
8.（2025浙江湖州期末）大招25已知实数,,满足则 的最小值是
_________.
【解析】 由，可得 ，
当时，， ；
当时，，所以，（消去 ）即
,
令，则，（以为主元, 为参数）该方程有正根，
则
即
. .
. .
即,即解得 所以
，
因为函数图象的对称轴为直线 ，开口向下，
所以当时，取最小值，最小值为 .
9.（2024广东深圳期中联考）大招23,24已知,命题, ,
, .
（1） 判断, 是全称量词命题,还是存在量词命题；
【答案】 因为符号“ ”表示存在量词,所以 是存在量词命题.
因为符号“ ”表示全称量词,所以 是全称量词命题.
（2） 若,均为真命题,求 的取值范围.
【答案】 若为真命题,即一元二次不等式在上有解,则,解得 .
若为真命题,即一元二次不等式在上恒成立,则,解得 .
因为,均为真命题,所以的取值范围为 .
10.（2025四川泸州期末）大招23,28已知函数 .
（1） 若,求不等式 的解集；
【答案】 当时,,即,解得或 .
故不等式的解集为或 .
（2） 已知,且在时恒成立,求 的取值范围；
【答案】 即①,当时, ,①式分
离参数得 ,
又因为,所以 .
（3） 若关于的方程有两个不相等的实数根,,且 ,求
的取值范围.
【答案】 由题意可知,且解得,则 .
所以,又因为,所以 的取值范围
是 .
素养觉醒
1. （2024浙江东阳市外国语学校期末）已知函数 ,当
时,恒成立,则 的最大值为___.
2
【解析】 即,当 时不等式恒成
立,求的最大值,我们要考虑如何构造,利用特殊值探路.令
（将视为变量，系数相等时可构造）,则或.因此当 时,不等
式可化为,即,且当, 时等号成立,此时不等式为
,所以 的最大值为2.
. .
2. （2025江苏扬州中学自主学习评估）若任意满足 ,都有
不等式恒成立,则称该不等式为“ 不等式”.
（1） 已知不等式为“不等式”,求 的取值范围；
【答案】 由及，得.因为 ，所
以 .
（2） 判断不等式是否为“ 不等式”,并说明理由；
【答案】 不是“ 不等式”.
理由如下:
方法一:二次函数图象法.二次函数图象的对称轴为直线 ，
当时，二次函数取得最小值，且最小值为 ，
所以不是“ 不等式”.
方法二:根据解集间的关系.由，得 ，解得
.
因为，所以对 不恒成立，所以
不是“ 不等式”.
（3） 若,,,证明:不等式是“ 不等式”.
【答案】 由题意得 ，
①当时，，则 ，符合题意.
②当时，，研究二次函数 的图象，
该二次函数图象的对称轴为直线 ，
则当时，二次函数取得最小值，且最小值为 ，符合
题意.
③当时，，由二次函数 的图象可知，
当或 时，二次函数取得最小值，
当时， ；
当时， .
故是“ 不等式”.