第二章 一元二次函数、方程和不等式（专项解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共56张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专项觉醒1 换元和消元的应用
题型一 消元
1.（2025河南新高中创新联盟联考）已知正数,满足,则当 取得最
大值时, ( )
D
A. B.4 C. D.
【解析】 , 由，得（直接用表示 ,将两个变量转化为
一个变量），又，， ，
令 ，则
，
当且仅当，即时取等号，此时 .
. .
2.（2025湖南名校联考）已知,,且,则 的
最大值为__.
题目中给出的条件等式比较复杂，但两个变量间存在关系，考虑整理条件后
进行消元.
【解析】 ,，又 ，
，
（将看作整体后由十字相乘法求解）， 或
（舍去），
，
当且仅当，即时等号成立，此时取最大值 .
. .
3.（2025天津西青区期中）设正实数,,,满足,则当 取得最大
值时, 的最大值为_______.
【解析】 将代入后剩下关于,的二元分式 ，经齐次化
处理后使用基本不等式.
由题意知正实数，，，满足 ，
即 （第一步:将三元消为两元），则
，
当且仅当，即时取等号，故，即的最大值为 ，
此时，故 （第二步:结合上述等号成立的条件进行
第二次消元） ，
当，即时，取最大值 .
. .
. .
坑神有话说
对含有多元变量的代数式求最值时,通常要减少变量的个数（即消元）,方法是把其中一
个变量用其他变量表示后代入消元,也可利用比值消元如第3题中, .
题型二 换元
4.（2025福建联考）已知,,,则 的最小值为___.
9
【解析】 条件式子比较复杂，两个分式的分母可直接考虑整体换元，简化式子形式.
设, ，
则, ，
当且仅当即，即,时等号成立，所以 的最小值为9.
配凑定值.，又因为,, ，所
以，当且仅当，即 ,
时等号成立，所以 的最小值为9.
5.已知,,且满足,则 的最小值为_____.
【解析】 可化为,即
（根据乘积换元）.令,,则.将待求式转化为, 的表达式,根
据 ,由基本不等式求最小值.
所以 .
因为,当且仅当时等号成立,所以 的最
小值为 .
. .
6.（2025重庆八中月考）已知且,则 的最小值为___.
9
由于待求式的两个分母与已知式间关系不明显,需考虑换元,使结构简单.
【解析】 由,得,，令, ,则
,
故（“1”的代换） ,
当且仅当即时等号成立,也即,,即,
时,等号成立,故 的最小值为9.
利用权方和不等式.由,得, ，
,当且仅当,即, 时等
号成立.故 的最小值为9.
. .
7.已知,,,则 的最大值为_____.
由可对称设元, ,化为一元函数最值求解.
【解析】 设,, ,
则
,（复杂的分式结构,对分子、分母公共部分换元）
设, ,
则原式,当且仅当,即 时等号成立,所以
的最大值为 .
. .
①.由 得
,则 ,代入①得原式
.令,因为,, ,所以
,当且仅当时等号成立,所以 ,则原式
,
当且仅当且,即时等号成立,故 的最大值为
.
8.（2025江西吉安一中月考）若对任意实数,,不等式 恒成
立,则实数 的最小值为_____.
【解析】 分离变量,将问题转化为对于任意实数, 恒成立,则只需求
的最大值即可.
（分子分母同时除以,得到关于 的代数式,可整体换元）.
设,则,再设 ,则
,当且仅当 ,
即时等号成立,此时，所以,即实数的最小值为 .
. .
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专项觉醒2 一个桥梁的应用
1.（2024河南郑州检测）已知,,,则 的最小值为
( )
A
A.6 B. C.7 D.
应用桥梁消去已知条件中的,转化为关于 的一元二次不等
式求解.
【解析】 ,而
（桥梁）,所以 ,即
,解关于 的一元二次不等式得
舍去,当且仅当时等号成立.故 的最小值为6.
. .
配凑定值.,, ,所以
,当且仅当 ,
即,时等号成立.故 的最小值为6.
消元法.因为,所以 ,所以
,当且仅当时等号成立,所以 的最小值为6.
坑神传妙招
地位等价法
在求解代数式的最值时,如果,互换位置,题目不变,我们称之为, 地位等价,通常可以使
用地位等价法.但此方法并非万能,它的原理是基本不等式中“一正”“二定”“三相等”,所以
建议在部分选择题或者实在不会做时使用.
地位等价法使用条件：, 互换位置题目不变或者系数成比例.
地位等价法求解最值的一般步骤：①令；②求出, 的值；③代入即可.
令,则,即,解得或 （舍去）,
所以 的最小值为6.
万能 法
题目给定关于,的一个二次式,要求另一个代数式的最值,可以直接令待求式等于 ,然后
用表示,代入原式,得到一个关于 的一元二次方程,利用判别式大于或等于零,得到一个
关于的不等式,解出 的范围即可.
.
令,则,代入题干条件可得, ,即
,由,解得或 （舍去）,所以
的最小值为6.
2.（2024重庆联考）已知正实数,满足,记的最小值为；若 ,
,且满足,记的最小值为.则 的值为( )
C
A.30 B.32 C.34 D.36
【解析】 ,, ,
（为桥梁）,当且仅当 时等号成立.
令,有,即,解得 舍
去,, .
, （“1”的代换）
,当且仅当,即, 时等号成立,
.
.
. .
. .
3.（多选/2025湖南长沙市长郡中学期末）若实数,满足, ,则下
列说法正确的为( )
ABD
A.当时,的最大值为18 B.当时,的最小值为
C.当时,的最小值为 D.当时,的最小值为
要求，需利用桥梁，消去；要求 ，
配方后再利用桥梁 求解.
【解析】 当时，， ，
（求谁就把谁放等式的左边，右边利用基本不等式转化为所求因式）
则，当且仅当时等号成立， 有最大值，最大值为18；
. .
当时，，则 ，所以
，即，当且仅当时，， 有最
小值，最小值为 ；
当时，，则 ，
当时，，当且仅当 时等号成立，此时
无解.所以取不到 ；
当时，， ，
则，当且仅当或 时等号成立，
有最小值，最小值为 .
4.（2024江苏南京联考）若,,且满足,则 的最小值为
___； 的最小值为___.
6
3
【解析】 （桥梁）,则 ,即
,故,解得或
（舍去）,故,当且仅当时等号成立,故 的最小值为6.
令, （换元是基本不等式求最值中的常见变形）,则
可化为,即 ,所以
,当且仅当,即, 时等号成立,故
的最小值为3.
. .
. .
5.已知实数,,满足,,则 的最大值为_ __.
【解析】 要求的最大值,需要构建关于的不等式,, ,且
（桥梁）,当且仅当 时等号成立,所以
解得,当且仅当时,有最大值,为 .
. .
6.（2024安徽合肥一中期中）如图,某学校欲建一个矩形运动场,运动场左侧为围墙,其余
三侧有通道且通道宽均为 ,运动场与通道之间由栅栏隔开.
（1） 若运动场面积为 ,求栅栏总长的最小值；
【答案】 设矩形运动场的长、宽分别为,如图,单位：,则, .
由题意,得,所以,当且仅当, 时等号成立,故
栅栏总长的最小值为 .
（2） 若运动场与通道占地总面积为 ,求运动场面积的
最大值.
【答案】 由题意,得 ,整理得
,
所以 ,故
.
令,则,得 ,
所以,即,当且仅当, ,
即, 时等号成立,
故运动场面积的最大值为 .
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专项觉醒3 一元二次方程根的分布
1.（2024北京交通大学附中期中）已知关于的方程的两根同号,则 的
取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 方程两根同号,则根的判别式 且两根之积大于零.
设方程的两根分别为,,则解得 .
2.（2024河北邯郸期中）已知关于的方程 有两个正根,那么这两个
根的倒数和的最小值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 方程有两正根,则根的判别式 且两根之和、两根之积都大于零.
由题可得,,解得或 ,
设方程的两个正根分别为,,则由根与系数的关系得解得 .综
上可知, .
两个根的倒数和为,,,故 ,故
,, 两个根的倒数和的最小值是 .
3.（2025上海同济大学附中月考）已知实数,关于 的不等式
的解集为,则实数,,, 从小到大排序是
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设
（十字相乘法分解因式）,则
.画出二次函数图象的草图
和直线，如图所示，则 .
由根与系数关系得,.由于, ,所以可设
,则,所以 ,
所以
,即.又,所以 ,所以
,故,.又因为,故 .
. .
4.（2025山西联考）已知关于的方程 有一正一负两个实数根,则实
数 的取值范围是________.
【解析】 方程有一正一负两个实数根，则需判别式 ，且两根积小于零.设方程的
两根分别为,，则
.
坑神敲黑板
设一元二次方程的两根分别为,
（1）,都为正数的充要条件是
（2）,都为负数的充要条件是
（3）,一正一负的充要条件是
5.（2025山东临沂联考）已知方程的两根都大于2,则实数
的取值范围是______________.
符合大招中已知两根与一个实数的大小情况的根的分布问题，分析函数的图
象特征，列出不等式组求解即可.
【解析】 根据题意，二次函数的图象与 轴的两个交点都在
点 的右侧，如图.
根据图象可得 （【大招28】表二）
解得 .
. .
6.设,关于的方程有两实数根, ,且
,则实数 的取值范围是______________________________.
或
已知一元二次方程的两根与多个实数的大小情况,根据【大招28】表三列不等
式组求解.
【解析】 令,因为关于 的方程
有两实数根,,且 ,
所以
即解得或 .
7.（2025甘肃天水一中检测）关于的方程 至少有一个负根的充要条件
是______.
【解析】 当 （二次项系数含参,需先考虑二次项系数是否为0）时，方程为
，此时方程的根为负根，
当 （二次项系数不为0时，为一元二次方程，转化为根的分布问题）时，方程
，
至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况:
当方程有两个负根时，则有解得 ;
. .
. .
当方程有一个负根一个正根时，则有解得 .
综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有 ，
即关于的方程至少有一个负根的充要条件是 .
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专项觉醒4 由一元二次方程根的分布求代数式的取
值范围
题型一 利用配方法
1.若方程在上有实数根, 则 的最小值
为____.
设两根为,，由根与系数的关系得则
【解析】 不妨设的实数根为,且 ,
则, ,
（消元） ,（不等式放缩）
当且仅当,时取等号.故的最小值为 .
,当时，取到最小值 .
. .
. .
2.已知,,关于的方程有一个实数根,求 的最小值.
本题是以一元方程为背景的最值求解问题，分析题意可知，对于 的四次方程，
直接配方非常困难.可考虑转化为，分别以, 为元进行配方，
转化为关于, 的平方和的最值问题，这是解决本题的突破口，也是最小值的本质.
【答案】 显然不是原方程的根.原方程可等价变形为 ，
配方得，则有，即 ，当且仅
当,，且时等号成立，此时,，或 ,
.所以 的最小值为8.
坑神有话说
此类多元最值问题对学生来说相对陌生，可将其视为关于某个字母（主元）的二次函数
或利用配方法求解.
题型二 利用根与系数关系
3.已知在上有两个零点,则 的取值范围是___________
_______.
【解析】 设函数在上的两个零点分别为,，则 ，
,由根与系数的关系可知，，，所以 ,
，
因此.又,,且，所以 .
4.若关于的方程在上有实根,则 的
最小值为___.
2
【解析】 方程在上有实根,说明在 上至少有一实根,设方程的两个根
分别为,,不妨设,.由根与系数关系得, ,于
是 .
因为,,所以,当且仅当 ,
时等号成立.故 的最小值为2.
题型三 以值代参
5.已知函数在上有两个零点,则 的取值范围是
________________.
【解析】 不妨设,是函数的两个零点,且 ,则
,（二次函数的两点式）
把3代入得，,所以 ,
又,,所以,即 .
. .
6.设方程在上有两个根, 求 的取值范围.
【答案】 设方程在上的两个根分别为,, ,
,
则 ,
则当时， ,
又,, .
.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
专项觉醒5 利用根与系数关系构造方程
1.［求值］如果,那么 ___.
【解析】 假设,则,.于是,是方程
的两个根,由方程根的定义知 （利用根与系数关系构造方程,进行整体代
换）,所以原式 .
.
. .
2.［求取值范围］已知,,,,,则 的取值范围为
___________.
利用 的展开式及已知条件,得到两数和与两数积的信息.
【解析】 ,因为 ,
,所以 .
又因为,所以 .
因此,是关于的一元二次方程的两个实数根,则 ,即
,即,解得 .
3.［解方程］解方程 .
【答案】 原方程可化为 .根据等号左边因式的特点,
可设, ,（条件本身含有两数乘积的信息,因式中隐含
有两数和的信息）则, .
于是,是方程的两个根,解得, ,
所以,解得,,即所求方程的解集为{-, }.
. .
4.［解方程组］解方程组
方程①是三个数之和的信息,令,平方后结合方程②构造 的信息.
【答案】 由,易得, .
于是,是关于的一元二次方程 的两个实数根,
,又,,故 .
从而有,,解得 .
当 时,满足方程③,
因此原方程组的实数解为 .
5.［证明等式］已知实数,,满足,,求证： .
已知条件正好是两数和、两数积,故考虑利用根与系数关系构造方程解题.
【答案】 由已知,得, .
于是,是关于的一元二次方程 的两个实数根.
所以,又,所以,从而有 .
6.［证明不等式］已知,,都是实数,且,,求证：,, 中必有一个大
于 .
已知条件是三数之和、三数之积的形式,可任选一数表示出另外两数和、两数积.
【答案】 由及可知,,, 中有一个正数,两个负数.
不妨设,则, .
于是,是关于的一元二次方程 的两个实数根,
.
,
,
即 .
故,,中必有一个大于 .