第二章 一元二次函数、方程和不等式-（考向解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
真题觉醒
考向一 解不等式
1.（2023新课标Ⅰ卷）已知集合,,0,1,,,则
( )
C
A.,,0, B. C. D.2
【解析】 ,即（十字相乘法分解因式）,解得 或
,所以或,而,,0,1,,所以 .
. .
2.（2022新高考Ⅱ卷）已知集合,1,2,,,则 ( )
B
A., B. C. D.,
【解析】 ,所以,解得,所以 ,故
.
3.（2024上海）已知,则不等式 的解集为________________.
【解析】 方程的解为或，故不等式 的解集
为 .
4.（2023全国乙卷节选改编）不等式 的解集为________________.
不等式含两个绝对值,由【大招20】知可利用零点分段法分解成三个不等式组,
再求并集.
【解析】 利用零点分段法得到 则不等式
可化为或
或无解,解②得,解③得,因此 ,所
以原不等式的解集为 .
考向二 基本不等式
5.（2022上海）若实数,满足 ,则下列不等式中恒成立的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以;（当且仅当 时取等号,因此
等号不成立）
,当且仅当,即 时等号成立
（ 可以成立）.
. .
6.（浙江卷）设,,则“”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为,,所以,当且仅当时等号成立,由 可
得,解得,所以充分性成立;当时,取,,满足 ,但
,所以必要性不成立.所以“”是“ ”的充分不必要条件.
7.（多选/2022新高考Ⅱ卷）若,满足 ,则( )
BC
A. B. C. D.
由【大招27】知要求的取值范围,需要先把 化成关于
与的式子,再利用建立关于的不等式;要求 的取值范围,需
利用建立关于 的不等式.
【解析】 由 （桥梁）得
,即 ,
当且仅当时等号成立, 所以 ;
. .
由（桥梁）得,即 ,当且仅
当 时等号成立;
因为，所以 ,则
.
举反例:当, 时,,满足,但 .
从出发，注意到 ，可利用柯西不等式求解.
. .
因为
注意代数式的变形，当且仅当,即时等号成立，所以 .
因为 ，所以
，即 ，
当且仅当 时等号成立，
又 ，所以
，即 ，
当且仅当 时等号成立.
. .
8.（2021天津）若,,则 的最小值为_____.
【解析】 ,,
（两次使用基本不等式,要保证等号同时成立）,当且仅当且,即 时
等号成立,的最小值为 .
. .
9.（2020天津）已知,,且,则 的最小值为___.
4
【解析】 ,, ,
,当且仅当 时取等号.
结合,解得,或, 时,等号成立.
的最小值为4.
当且仅当 时等号成立,
的最小值为4.
消元法，,,， 原式
，
强基自招
1.（2024厦门大学强基计划）, ,若
,则以下结论错误是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由得，解得 ，所以
，
因为， ，
设方程有两个实数根 ，
，如图，结合图象可知 且
，
将代入方程得 ；
又因为 ，所以
；
.
2.（2024北京大学强基计划）上方程的解的个数为___.
表示不大于的最大整数
4
【解析】 由得，所以 ，
因为 ，
所以
得，解得或 ，
此时可能取值为1,2,10,11,12，分别代入计算可得,,,, ，
经检验 不符合题意，故方程的解有4个.
3.（2024厦门大学强基计划）,, ,则
的最大值为_______.
【解析】 不妨设 ，
则
因为 ，
利用基本不等式推得,即,即 ,两边开平方
可得
当且仅当 时取等号，
. .
所以 ，
当且仅当,,时等号成立，所以 的最大值为
.
4.（2023南京大学强基计划）已知,,,则 的最小
值为_______________.
【解析】 由柯西不等式可知
,当且仅当 ,即
,时,等号成立.故的最小值为 .
5.（2023全国中学生数学奥林匹克吉林预赛）若不等式 对满足
的正实数,,均成立,则实数 的最大值为_______.
【解析】 因为,,均为正实数,所以,所以 .又因为
,
当且仅当即即时等号成立,所以实数 的最大
值为 .
6.（2022上海交大强基计划）
（1） 已知,则 的最小值为______.
【解析】 ,, ,
,当且仅当
即
即时等号成立.故的最小值为 .
（2） 已知,,为正数,则 的最小值为___.
4
【解析】
分子分解可参考【大招19】待定系数法将分子
拆分为 ,要想
分子、分母约分，则,解得,,
,当且仅当时等号成立.故 的最小值为4.
. .
7.（2023全国中学生数学奥林匹克重庆预赛）若实数,满足 ,则
的最大值与最小值的和为___.
【解析】 齐次化.设 ,则
.
当时,,则, 是其一组解.
当时,,即 .
若,则, ,舍去；
若,得 ,
解得,且 .
综上可知,,所以的最大值与最小值的和为 .
8.（2023全国中学生数学奥林匹克重庆预赛）设,,,且 ,证
明：,并指出其“ ”成立的条件.
【答案】 由二元均值不等式得 ,
故只需证 ,
即证 ,
因为,,,且,所以,所以 ,所以
,当且仅当,,即,, 时等号成立.