第二章 一元二次函数、方程和不等式-觉醒小卷-数学人教A版必修第一册

(共39张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
觉醒小卷
限时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.（2025江苏淮安期中）如果,那么当取得最小值时 的值为( )
B
A. B.4 C.8 D.16
【解析】 由于，由基本不等式得，当且仅当 ，即
时取等号，此时可取到最小值.
2.（2025河北高碑店一中期末）不等式 的解集是( )
A
A. B.或
C. D.或
【解析】 原不等式即，解得，所以 ，
所以解集为 .
3.（2024辽宁沈阳五十六中期中）关于的不等式的解集为 ,若
,则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 原问题可转化为在 时恒成立,根据一元二次不等式
与二次函数的关系求解.
设,要使在时恒成立,则当 时,二次
函数的图象在轴下方,则有解得 .
4.（2025湖南长沙市雅礼中学月考）已知命题, 为真命题,则实
数 的取值范围是( )
D
A.} B.} C.} D. }
【解析】 因为命题， 为真命题，所以不等式
的解集为 .
若 ，（二次项系数含参，所以接下来需对二次项系数是否为0进行讨论）则不等式
可化为
，解得，不等式解集不是 ；
若，则根据一元二次不等式解集的形式可知:解得 .
综上可知 .
. .
5.（2025陕西渭南期中）已知实数,满足,,则 的取
值范围是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 待定系数法.设 ，则
，
所以解得即 ，
因为则
因此 .
双换元法.设，，则， ，所以
，又因为， ，所以
,因此 .
6.（2025四川成都期中）“”是“不等式对于任意正实数 ,
恒成立”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当时，对于任意正实数， ，
，当且仅当 时取等号，
即此时不等式对于任意正实数， 恒成立；
当不等式对于任意正实数， 恒成立时，
，当且仅当 时
取等号，此时需满足，解得，此时 不一定等
于9.
故“”是“不等式对于任意正实数， 恒成立”的充分不必
要条件.
7.（2025陕西西安期中）已知二次函数.甲同学: 的解集为
或}；乙同学:的解集为或 },丙同学:函数
图象的对称轴在 轴右侧.在这三个同学的论述中,只有一个假命题,则
实数 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 若的解集为或，则解得 ；
若的解集为或，则解得 ；
若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴 ，则
，得 .
又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上， .
8.（2024山西晋城检测）定义,,表示,,中的最小值.已知实数,, 满足
, ,则( )
B
A.,,的最大值是 B.,,的最大值是
C.,,的最小值是 D.,,的最小值是
【解析】 因为,所以在实数,,中,负数的个数为1或3.又因为 ,所
以在,,中,有1个负数,2个正数,不妨设,则,,.因为 ,
当且仅当时等号成立,所以.又因为,,所以 ,则
,故,,的最大值是 ,无最小值.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.（2025江苏南京师大附中月考）若实数,,,满足, ,则下列说法正
确的是( )
BD
A. B.
C. D.
【解析】 ，，又 ，不满足不等式的性质5
（同向可加性），举反例:当,,,时，满足, ，但
.
,， ，（不等式的性质5（同向可加性））
.（不等式的性质6（同向同正可乘性））
与大小无法判断，举反例:当,,, 时，满足
, ，但 .
, .
. .
. .
10.（2024常州一中期末）已知关于的不等式 的解集是
,其中 ,则下列结论中正确的是( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】 因为 的解集为
,所以,且则有, ；
原不等式可化为 ,设
, ,画出其图象如图所示,可
得,则 .
11.（2025湖南联考）若正实数,满足 ,则( )
ACD
A.的最大值是 B.的最小值是
C.的最大值是 D.的最小值是
【解析】 由基本不等式链得，即 ，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为 ；
（“1”的代换） ，当且仅当
，
即时等号成立，所以 的最小值是9；
，当且仅当 ，即
时等号成立，所以的最大值是 ；
（消元法转化为单变量求最值）
，当时，取得最小值 .
. .
. .
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.（2025江苏如东高级中学期中）为配制一种药液,进行了二次稀释,先在体积为
（单位:升）的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出5升后用水补满,搅拌均匀,第二次
倒出4升后用水补满,若此时桶中纯药液的含量不超过容积的,则 的取值范围为____
________.
【解析】 第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有 升，
则加满水后药液含量占容积比例为 .
第二次倒出的4升液体中，药液有 升，
则加满水后药液含量占容积比例为 ，
由题有，即，解得 .
又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以，故的取值范围为 .
13.（2024江苏无锡检测）在等式 右侧两个分数的分母括号处,各填上一个
正整数,使等式成立且这两个正整数的和最小,则括号内所应填写的正整数依次为___,___.
3
6
【解析】 由题意可设.其中, ,则
,当且仅当,即, 时,
等号成立,所以括号内所应填写的正整数依次为3,6.
14.（2025人大附中期末）已知的图象经过点,则 ___；若方程
有两个不等实数根,,满足,则实数 的取值范围为______.
1
【解析】 由题知，当时，，解得 ，
所以，又方程有两个不等实数根, ，
则又因为，所以，得到 ，
由，得到或，所以 .
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（ 分）已知____.
从下面条件①、条件②中任选一个,补充在上面的横线上作为已知,并作答.
的最小值是 ；
②不等式的解集是 .
注：若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
（1） 解不等式 ；
【答案】 选①,, ,
,（3分）
当且仅当,即时,等号成立,即 .（4分）
由上可知,不等式,即,解得或 .
故不等式的解集为或 }.（7分）
选②,由题意知和1是方程的两个根,
（2分）
解得 .（4分）
下同选①.（7分）
（2） 若有实数解,求实数 的取值范围.
【答案】 不等式即有实数解. 对应二次函数的图象
开口向上, 对应方程的判别式 ,（10分）
解得或,故实数的取值范围为或 .（13分）
16.（分）（2025四川成都期末）利用一堵长,高 的
旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库,如图所示.由于空间限制,
仓库的宽度固定为 .已知仓库三个侧面的建造成本为900元/
,仓库底面的建造成本为600元/ .整个仓库的建造成本预
（1） 求与 满足的关系式；
【答案】 由题设知 ，（2分）
则 ，（3分）
且, .（4分）
算为32 400元,假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为,（单位: ）.
（2） 求仓库占地（即底面）面积 的最小值；
【答案】 由得 .（5分）
所以，解得 .（7分）
从而当时，取得最小值 .（9分）
由 ，（5分）
得 ，（7分）
易知随着的增大而减小，所以当取最大值时，取最小值 .
故仓库占地面积的最小值为，此时, .（9分）
（3） 求仓库的储物量（即容积 ）的最大值.
【答案】 由，得 .
（10分）
因为（当且仅当 时取等号），所以
，故 ，
由，得 .（10分）
故 .
（13分）
解得，故（当且仅当, 时取等号），（14分）
所以仓库容积的最大值为，此时, .（15分）
因为（当且仅当 时
取等号）.（12分）
所以（当且仅当, 时取等
号），（14分）
故仓库容积的最大值为，此时, .
（15分）
17.（分）已知正实数,满足 .
（1） 求的最小值及此时, 的值；
【答案】 由基本不等式可知 ,（2分）
当且仅当时等号成立,所以,此时 满足题意.
（4分）
（2） 求的最大值及此时, 的值；
【答案】 由基本不等式的推论有 ,（6分）
当且仅当,即,时等号成立,所以的最大值是 ,（7分）
此时, .（9分）
（3） 求的最小值及此时, 的值.
【答案】 一方面 ,（10分）
另一方面,所以 ,（11分）
从而 ,（14分）
当且仅当, 时等号成立,
所以的最小值是3,此时, .（15分）
18.（分）（2025江苏海门中学调研）设函数 的图象与平面直角坐
标系的轴交于点, .
（1） 当时,求 的值；
【答案】 当时，函数 ，（1分）
因为函数的图象与轴交于点, .
所以方程有两个根, ，
则 （3分）
故 .（5分）
（2） 若,,求实数 的取值范围；
【答案】 由题意关于的方程 有两个正根，
所以由根与系数的关系知 （8分）
所以解得，所以实数的取值范围为 .（10分）
（3） 在（2）的前提下若对于任意的,,有恒成立,求 的最大值.
【答案】 由（2）知，又,得 ，（11分）
所以 ，（“1”的代换）
由于,，所以 ，（基本不等式）（14分）
当且仅当时等号成立，即当且仅当, 时等号成立，
此时实数符合条件，故，且当,时，取得最小值 ，
由已知可得 ，（16分）
所以的最大值为 .（17分）
. .
. .
19.（分）已知函数, .
（1） 当时,求不等式 的解集；
【答案】 当时,,所以方程 的
根为或 ,（3分）
所以不等式的解集为 .（4分）
（2） 求不等式 的解集；
【答案】 不等式即, ,对应一元二次方程
,判别式 .（5分）
判别式的符号不确定,需分类讨论：
①若,即,此时二次函数的图象在 轴上方,不等式
的解集为 ；（6分）
②若,即,此时方程为,只有一个根 ,不等
式的解集为 ；（7分）
③若,即,此时方程的两根分别为 ,
,不等式的解集为 }.
（8分）
综上所述,当时,不等式的解集为 ；当时,不等式的解集为 ；
当时,不等式的解集为 }.（9分）
（3） 若不等式的解集中恰有三个整数解,求实数 的取值范围.
【答案】 由（2）知当时,不等式有一个整数解 .（11分）
当时,,则,则 ,则
,从而, ,（13分）
则解集}中满足题意的另外两个整数解为, ,
则需满足,当时,,当时,,即 .
综上可知,若不等式的解集中恰有三个整数解,的取值范围是 .（17分）