3.1 函数的概念及其表示-3.1.1 函数的概念（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共41张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三
题型一 函数概念的理解
1.（2024黑龙江鸡西阶段练习）对于函数,若, ,则下列说法正确的个数为
( )
① ；
② 有且只有一个；
③若,则 ；
④若,则 .
B
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】 对于函数,若,,则根据函数的定义可得,且 唯一；
（函数的单值性）
若,则 ,故①②④正确；
若,则不一定有,如,则,但 ,故③错误；
故说法正确的个数为3.
. .
2.（2025湖南邵阳期中）已知集合, ,给出下列四个对应关系:
,,,,请由函数的定义判断,其中能构成从到 的函
数的是( )
D
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【解析】 对于①,当时, ,故①不正确；
对于②,当时, ,故②不正确；
对于③,当时,,当时, ,故③正确；
对于④,当时,,当时, ,故④正确.
坑神来避坑
判断一个对应关系是不是函数主要从下面三个方面判断:
第一,定义域、值域是不是数集（本题显然是）；
第二,定义域内每一个在值域内是不是有和 对应；
第三,定义域内每一个在值域内是不是有“唯一”的和 对应.
3. （2025广东广州天河区期末）集合,与对应关系 如
图所示,下列说法正确的是( )
B
A.若,则
B.是从集合到集合 的函数
C.,对应关系
D.的定义域为集合,值域为集合
【解析】 由图可得 ,则
,
则或,即或 ；
由图,对于集合中的每个元素在集合 中都有唯一的数与
其对应,符合函数定义；
坑神敲黑板
由函数定义,函数的定义域是集合,但是值域不一定是集合 ,确切地说值域是集
合 的子集.
因为,,当时,由图知,而 ；
由题图及函数定义,的定义域为集合,值域不是集合,是集合 的一个真子
集.（易错点）
. .
. .
题型二 函数定义域问题
题组一 求函数定义域
4.（2025广东汕头期末）函数 的定义域为__________________.
【解析】 由题意可得解不等式组得且，所以函数 的定
义域为 .
5.（2025山东泰安检测）已知的定义域为,则 的定义域为______.
已知函数的定义域,求复合函数 的定义域.
【解析】 因为函数的定义域为 ,
所以对于函数,有(已知函数的定义域为 ,则复合
函数的定义域由不等式 求出)
解得 ,
故函数的定义域为 .
. .
6. （2025上海浦东新区检测）已知函数的定义域是,则函数
的定义域为______.
已知的定义域,求的定义域,即求 的值域.
【解析】 由题意知,（）,则函数的定义域为 .
. .
7.求下列函数的定义域.
（1） ；
【答案】 由 （0次幂的底数不为0,二次根式被开方数非负且分母不为0）
得且 ,
所以函数的定义域为 .
（2） .
【答案】 由得即且 ,
所以函数的定义域是 .
. .
题组二 函数定义域求参问题
8.（2024江苏盐城期中联考）若函数的定义域是一切实数,则实数 的取值
范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知对一切实数恒成立,若,则 ,符合题意；
若,则,解得.综上所述,实数的取值范围是 .
9.（2024黑龙江齐齐哈尔六中阶段练习）若函数的定义域为 ,则实数
____,实数 的取值范围为________.
【解析】 因为函数的定义域为则而函数 的
定义域为,所以,,即, .
题型三 函数值域问题
10.（2025重庆南开中学质量检测）已知函数的定义域为 ,
,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 令,则,令,则 ,
故有
解得即 .
11.（2025黑龙江哈尔滨期中）函数 的值域为( )
D
A. B.
C. D.
型函数,利用分离常数法求值域.
【解析】 因为函数的定义域为, ,
所以函数的值域为 .
12.（2025上海曹杨二中月考）已知,若函数的值域为 ,
则 的取值范围是________.
【解析】 当时，,不符合题意；当时，由函数
的值域为,得函数值域包含,则
解得 .
13.求下列函数的值域.
（1） ；
【答案】 换元法.令 ,（ 换元后务必注意新元的范围）所
以 ,
即,当时,,即函数的值域为 .
（2） ；
【答案】 配方法.易知的取值需满足,即,即函数定义域为 ,
因为 ,
由二次函数性质可得当时， ,
所以的值域为 .
. .
（3） ；
【答案】 配方法.由可得函数的值域为 .（
习得单调性后可用单调性来解.）
. .
（4） ；
识别出 型函数,可采用换元法或判别式法求解.
【答案】 已知函数,( 分母)定义域为 ,
方法一：换元法.设,则, ,
所以 ,
因为,所以 ,
所以 ,
故值域为 .
. .
方法二：判别式法.
,整理得 ,
当时,方程为 ,不成立；
当时,,即,解得 ,
综上, .
（5） ；
【答案】 令，则，且， ，
当时， ；
当时，，因为，当且仅当 时等号
成立，所以 ，
所以函数的值域为 .
（6） .
识别出 型函数,采用分离常数的方法,结合基本不等式求解.
【答案】 ,
因为,所以,故,当且仅当 ,即
时等号成立,
故,即函数值域为 .
题型四 同一函数的判定
14.下列函数：；；,与函数 是同一个函数的
个数是( )
A
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 （确定函数定义域时不要化简函数解析式）,定义域为 ,与函数
定义域不同,不是同一个函数；
与函数定义域不同,不是同一个函数；定义域为 ,
与函数 定义域不同,不是同一个函数.
. .
坑神有话说
判定是否为同一个函数的方法：定义域相同（解析式化简前求解）,对应关系相同
（化简后相同）,与变量字母无关.
如与 就是同一个函数.
15.（多选/2024河南郑州外国语学校阶段练习）下列各组函数中是同一个函数的是
( )
CD
A.,
B.,
C.,
D.,
【解析】 由，得或 ，所以函数
的定义域为或.由得 ，所以函数
的定义域为 .
两函数的定义域不同，不是同一个函数.
函数的定义域为,函数的定义域为 ,
定义域不同,不是同一个函数.
函数的定义域为 ,函数
的定义域为 ,是同一个函数.
函数的定义域为,函数的定义域为 ,且
对应关系也相同,是同一个函数.
能力觉醒
1.（2024上海奉贤区期末）以下图形中,不能表示函数图象的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 根据函数的定义,每一个自变量都应有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存
在一个值对应两个 值,所以A中图形不能表示函数图象.
2.（2025江苏常州期中）大招31已知函数,则函数 的定义
域为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 , ,
由解得且 ,
函数的定义域为 .
由,得(先求 的定义域,再求复合函数的定义域)
解得,又 ,
则,解得且, 函数 的定义域为
.
. .
3.（2025吉林长春开学考试）若函数的定义域为,值域为,则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由有意义可得 ,
所以 ,
所以 ,
所以函数的定义域 ,
由,可得 ,
所以函数的值域,所以 .
4.（2025广东省广州十六中检测）已知函数的定义域为 ,且
,则 ( )
D
A.0 B.1 C.2 024 D.2 025
要求,则需求函数解析式,通过赋值先求得,再令 减少一个变量
得到只关于 的式子,再通过列方程组法求得函数解析式.
【解析】 令可得,所以 ,
再令可得 ,
即 ①,
将上式中的全部换成可得 ②,
联立①②可得,所以 .
5.（多选/2025江苏南京检测）大招31，32下列说法正确的有( )
BCD
A.若函数的定义域是,则函数的定义域是
B.与 是同一函数
C.已知函数,则
D.函数的值域为
【解析】 因为的定义域是,（ 定义域是 的范围,而不是
的范围）
即,则 ,
所以,即,即函数的定义域是 ；
由于,且两函数定义域都为 ,所以是同一函数；
由,（ 不是直接将 代入,而是
）
令,即,所以 ；
由,所以函数的值域为.
. .
. .
6.大招32函数 的值域为______.
利用换元法,令, ,结合二次函数的性质分析求解.
【解析】 因为,令,所以,（ 新元的范围）则 ,
则,, 的图象开口向上,
对称轴为直线,且当或1时,,当时,,所以在 上
的值域为,即在上的值域为 .
，（通分后分离常数）即
.（分式部分分子分母同时除以 ）
因为，当且仅当 时等号成立，
所以，.故所求值域为 .
. .
. .
. .
7.（2025江西赣州三中期中）已知函数 .
（1） 若的定义域为,求实数 的取值范围；
【答案】 因为的定义域为 ,
所以 （由于二次项含有参数,因此需要对参数是否为0分类讨论）
对 恒成立.
当时, 不恒成立,不合题意；
当时,由题意可得
解得 .
综上可知,实数的取值范围为 .
. .
（2） 若的值域为,求实数 的取值范围.
【答案】 设函数的值域为 .
因为的值域为,所以 .
当时,的值域为 ,满足题意；
当时,由题意知解得 .
综上可知,实数的取值范围为 .
8.（2025江苏南京励志高级中学期中）已知函数 .
（1） 求,,与 .
【答案】 由 ,
所以 ,
;
,
.
（2） 由（1）中求得的结果,你能发现与 有什么关系？证明你的发现.
【答案】 由（1）中求得的结果发现 ,证明如下:
因为 ,
所以 .
（3） 求 的值.
【答案】 由（2）知 ,
所以 .
素养觉醒
1. （多选/2025重庆万州期中）若一个函数的定义域与值域相同,则称这个函数
为同域函数,则下列函数为同域函数的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 因为的定义域与值域均为,所以 是同域函数.
因为的定义域与值域均为,所以 是同域函数.
对于函数,其定义域为 ,
,当时,,所以 不是同域函数.
因为,（分离常数法求值域）由得 ,
所以的定义域与值域均为,所以 是同域函数.
. .
2. （多选/2025广东广州期中）已知函数的值域是 ,则它
的定义域可能是( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】 当时，，故 ；
当时， ，
故 ；
当时，，故 ；
当时，，故 .