3.1 函数的概念及其表示-3.1.2 函数的表示法（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共67张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.2 函数的表示法
题型觉醒
高频题型：题型三、题型四
题型一 函数的三种表示法
1.（2025江苏苏州期中）如图所示,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部
的烧杯注水（流量一定）,注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水
面上升高度与注水时间 之间的函数图象可能是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 开始注水时,水注入烧杯中,除烧杯外的正方体容器内无水,高度为0且不变；
烧杯内注满水后,继续注水,正方体容器内水面开始上升,且上升速度较快；
当容器内水面和烧杯水面持平以后,继续注水,正方体容器内水面继续上升,且上升速度减慢.
2.（2024广东湛江期中）如图,四边形是矩形,,, 是等腰直角三
角形.点从点出发,沿着边,运动到点,点在边,上运动,直线 .设点
运动的路程为,左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为.当点 在线
段上运动时, 的解析式为( )
A
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为是等腰直角三角形,四边形是矩形， ,所以
.由题图可知,当点在线段上运动时, ,
,又因为点在上运动,点的路程为,即 ,
因此 （ 使用解析式表示函数时,一定要
标明函数的定义域）.
. .
3.（2025山东淄博期中）已知函数的对应关系如表所示,函数 的图象如
图所示,则 ___.
1 2 3
0 1 2
1
【解析】 因为,,所以 .（从内到外逐步求值即可）
. .
坑神小课堂
函数的三种表示方法的适用条件与优缺点
表示 方法 条件 优点 缺点
图象 法 函数的变化 趋势清晰 能形象直观地显示出函数值变化的 趋势,有利于研究函数的某些性质 只能近似求出自变量对应的
函数值,有时误差较大
列表 法 自变量与函 数值对应清 楚 不用计算,可直观得到自变量对应 的函数值 只能有限地表示出函数的取
值,自变量取值较多时不便使
用
解析 法 变量间关系 明确 简明、全面地得到两个变量之间的 关系,并且可以根据解析式得到任 意自变量对应的函数值 不直观、不形象,并不是所有
的函数都能用解析式来表示
题型二 函数图象变换的相关问题
4.（2025江苏扬州期中）函数 的图象如图①所示，
则图②对应的解析式可以表示为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 函数 的图象如题图①，
去除在轴左侧的图象，将轴右侧的图象关于
轴对称，可得 的图象，结合题图②可知A错误；
的图象在轴及以上部分不变， 轴以下的部分
翻折到轴上方，可得 的图象，结合题图②可知B错误；
去除在轴右侧的图象，将轴左侧的图象关于轴对称，可得 的图
象，结合题图②可知C正确；
去除在轴左侧的图象，将轴右侧的图象关于 轴对称，再将整个函数图象关
于轴对称，即可得 ，结合题图②可知D错误.
5.（2024吉林长春第二实验中学检测）已知的图象恒过点,则函数 的
图象恒过点________.
【解析】 因为的图象向右平移3个单位长度得到的图象, 的图象恒过点
,所以的图象恒过点 .
6.已知函数定义在 上的图象如图所示,请分别画出下列函数的图象:
（1） ；
【答案】 将函数的图象向左平移1个单位长度可得函数 的图象,
函数 的图象如图1.
图1
（2） ；
【答案】 将函数的图象向上平移1个单位长度可得函数 的图象,函
数 图象如图2.
图2
（3） ；
【答案】 函数的图象与函数的图象关于轴对称,函数 图
象如图3.
图3
（4） ；
【答案】 函数的图象与函数的图象关于轴对称,函数 的
图象如图4.
图4
（5） ；
【答案】 将函数的图象在轴及其上方的部分保留,并将下方的部分沿 轴翻折
到轴上方可得函数的图象,函数 的图象如图5.
图5
（6） .
【答案】 将函数的图象在轴左边的部分去掉,在 轴上及其右边的部分保留,并
将右边部分沿轴翻折到轴左边得函数 的图象,其图象如图6.
图6
7. （2024江西南昌等五地月考）将二次函数 的图象先向右平移2
个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数 的图象,则
___.
2
由题意可知,本题考查函数的图象变换,利用“左加右减”“上加下减”,可得二次函
数的解析式,进而求得系数和.
【解析】 由题意可得 ,
( 注意“左加右减”的变化是 ,而“上加下减”的变化是
)
所以,,,则 .
. .
题型三 求函数解析式
8.（2025江西省“三新”协同教研共同体联考）已知对任意的, ,都有
,则一次函数 的解析式为( )
C
A. B. C. D.
已知函数类型,可用待定系数法求解析式.
【解析】 设 ,
则 .
因为,即 ,
则解得所以 .
9.是上的函数,且满足,并且对任意的实数, ,都有
,则 的解析式为_________________.
【解析】 令,则,又因为,所以 .
令,代入,得 ,又因
为,则（ 看作一个
整体,同时解析式中含的项都变形为含的形式）,所以 .
. .
坑神有话说
赋值法求函数解析式
题中函数的解析式未知,为抽象函数,结合题中,则可考虑使用赋值法,取 或
代入等式,再化简求解即可.
10. （2025浙江金华三校期中联考）已知,则 的解析
式为( )
B
A. B.
C. D.
已知的解析式,求的解析式,求出 的解析式是解题的关键.
【解析】 先求的解析式.令 （利用换元法时注意新元的范围）,解
得,所以,则 ,再求
的解析式,.( 因为的定义域为 ,所以
,即)则的解析式为 .
配凑法.因为,其中 ,所以
,,所以 .
即的解析式为 .
. .
. .
11.（2024湖南株洲二中阶段练习）分别求满足下列条件的函数的解析式：
（1） 已知是二次函数,且,, ；
【答案】 设 （已知函数类型,直接设解析式）,
根据题意得解得
所以 .
（2） 函数满足 ．
【答案】 因为 ①,所以 ②,
得,,即 .
. .
坑神小课堂
已知式子是关于两个不同变量的等式,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变
量的关系,建立一个新的关于这两个变量的等式,通过解方程组消去一个变量,得到目标变
量的解析式.
题型四 分段函数
12.（2025贵州毕节期末）已知函数则 ( )
D
A.2 B.1 C. D.0
【解析】 由题意知,,,所以 .
坑神小课堂
分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解.对于含多
层“ ”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理.
13.（多选/2024江西部分学校月考联考）已知函数关于函数
的结论正确的是( )
BD
A.的定义域为 B.的值域为
C. D.若,则的值是
【解析】 因为所以 的定义域为
（分段函数的定义域为各段自变量取值范围的并集）.
当时,,当时,,所以 的值域为
.
因为所以 .
当时,由,得,解得（舍去）；当 时,由
,得,解得或（舍去）.综上可得, .
. .
. .
14.已知函数则使成立的 的取值范围为
_ __________________________.
或}
【解析】 由题意可得或由 解得
；
由解得或 .
综上可知,使成立的的取值范围为或 }.
坑神小课堂
对于分段函数,求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定
义域内的各个区间上,再相应求出自变量在定义域内各个区间上的取值范围,最后求它们
的并集即可.
15.（2025山东潍坊检测）设若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 作出 的图象，如图所示.
可知,当时, （求函数值前要先确
定, 所在区间）,
所以由得 ；
当时,,所以由 得
,无解.
综上可得, .
. .
坑神有话说
求分段函数函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于
哪一段,就用哪一段的解析式来计算函数值,所以求值前要先
确定要求函数值的自变量的取值属于哪一个区间,再代入该区
间对应的解析式求值.当出现 的形式时,应从内到外依
次求值.
16.（2025广东惠州期中）已知函数
（1） 求,, 的值；
【答案】
, ,
.
（2） 若,求 的值；
【答案】 当时,, ；
当时,, ；
当时,,或 （舍去）.
综上所述,的值为或1或 .
（3） 作出函数的大致图象,并求时, 的值域.
【答案】 函数 的图象,如图所示:
当, ,
当, .
综上所述,结合图象可得时，的值域为 .
能力觉醒
1.（2025江苏连云港期中）已知函数,且函数 的定义域为
,则( )
D
A., B.,
C., D.,
【解析】 由（配凑法）,则 ,
又函数的定义域为,即,所以 ,
所以函数的定义域为 .
换元法.令,（利用换元法时注意新元的范围）,则 ,所以
,所以函数,定义域为 .
. .
. .
2.（2025江苏苏州期末）大招33函数
的图象如图1所示,则如图2所示的
图象对应的函数解析式可能为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 先将函数 的图象作关于原点的对称变换,可得出
函数 的图象,如图所示:
再把所得函数图象向左平移1个单位长度,即可得出题图2所示图象,
故题图2所示图象对应的函数解析式为
.
3.（2024湖南长沙市长郡中学月考）设则 的值为
( )
B
A.9 B.11 C.28 D.14
【解析】 .（
9不在 内,所以只能代入另一段）
. .
4.（2025山东泰安检测）若函数若,则实数 的取值
范围是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 分, 两种情况分别解不等式即可.
当时,由,即,, ,
解得 ；
当时,由,即,, ,
解得 .
综上所述,实数的取值范围是 .
5.（2025青海部分学校联考）已知函数若, ,
则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为当时，单调递增，当
时，单调递减，所以，.作出函数
的图象，如图所示.
若，则直线与 的图象有2个
交点，所以，得 .由
，得 ，
所以 .
因为在 上单调递增，
所以 .
6.（2024江苏苏州中学期中）已知函数, .若
恒成立,则 ____.
【解析】 函数,,由 ,得
,化简整理得,解得 .
7.（2024安徽阜阳三中阶段练习）已知函数若 的值域为
,则实数 的值是____.
【解析】 注意到的值域为 ，包含0，
而的图象开口向下,对称轴为直线,最大值为 ,
所以,即,解得或 ,
作出的大致图象,如图.可知 的最大值在
处取到，
所以,解得 ,（图象法求函数值域）经
检验,满足题意,所以实数的值为 .
. .
8.（2025浙江杭州期中）大招34
（1） 已知是一次函数,且满足,求 ；
【答案】 令 （已知函数是一次函数,用待定系数法求解）,又
,
所以 ,
所以,,故 .
（2） 已知,求 ；
【答案】 由题可得,与 联立
（令替换 ）,
所以,则,故 .
. .
. .
（3） ,求 ；
【答案】 方法一：配凑法.因为 ,
所以 .
方法二：换元法.令（对整体换元,表示出）, ,则
,则,所以 .
. .
（4） 已知函数求 .
【答案】 由题知,时,时,时 ,
所以
9.（2025福建莆田六中期中）已知函数, .
（1） 在同一坐标系中画出函数, 的图象；
【答案】 , 图象如图所示.
（2） 定义:对 ,
作出函数
的图象,并求函数的解析式,写出 的
值域（不需要证明）.
【答案】 令,即 ,
当时,,得；当时,,得 ；
则当时,；当时,；当时, .
图象法表示 的图象如图.
由图象可知,的值域为 .
10.（2024福建福州四中期中）如图, 在平面直角坐标
系内,点,的坐标分别为和,记 位于直
线左侧的图形面积为 .
（1） 求 的值；
【答案】 当时,图形为直角边长为 的等腰直角三
角形,
所以 .
（2） 求 的解析式.
【答案】 当时,图形为直角边长为 的等腰直角三
角形,此时 ；
当 时,如图,
设直线与线段交于点,与轴交于点,过点作
垂直轴于点 ,
可知,得 .
因为,所以 ,
则 ,
因此当 时,
；
当时, .
综上所述,
素养觉醒
1. 若函数满足：,,,且 ,
,则 ( )
A
A.2 953 B.2 956 C.2 957 D.2 960
【解析】 方法一：特殊函数法与待定系数法. 取 ,易验证满足
.
由,,得解得
故, .
方法二：赋值法与解方程组法.
由题可知,,, ,
令,则, ①；
令 ,则, ②；
②-①得 ,
由的任意性,令,得（ 每增加9对应的函数值增加27） ,
所以 .
坑神有话说
针对抽象函数的相关问题,当涉及的抽象函数形式较为复杂时,在客观题中,可以考虑使用
特殊函数法或者赋值法,求出满足题意的一种情况,即可选出正确答案,快速解题.
. .
2. （多选/2025浙江杭州期中）设, ,定义:
,下列式子正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】 因为
所以表示中较大的数,表示 中较小的数,
,,所以 .
当,时,, ,
所以,而 ,
此时 不成立.
当时,,得 ,
当,时, ；
当,时, ；
则 ；
当时,,得 ,
当,时, ；
当,时, ；
则 ；
综上, .
当时,, ,
则 ；
当时,, ,
则 ；
综上可得, .