3.2 函数的基本性质-3.2.1 单调性与最大（小）值（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共82张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三、题型四
题型一 理解函数单调性的定义
1.（2025上海师范大学附属嘉定高级中学期中）已知函数,.若
成立,则下列说法中正确的是( )
D
A.函数在 上一定是增函数
B.函数在 上一定不是增函数
C.函数在 上可能是减函数
D.函数在 上不可能是减函数
【解析】 因为函数,且 成立,
则函数在 上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,（
函数单调性中的任意性）
如,满足,但是在 上不具有单调性.
2. （多选）下列说法正确的是( )
AB
A.若在区间上,随着自变量的减小,函数值反而增大,则在 上单调递减
B.函数在 上单调递增
C.函数 在定义域内为增函数
D.函数的单调递减区间为
【解析】 设任意，则,由函数单调性知在 上是减
函数；
该二次函数是对称轴为直线 ,开口向上的抛物线,
函数在 上单调递增；
函数在和上分别单调递增,但不能说 在定义域内单调
递增；
函数在和上分别单调递减,单调递减区间为 和
.(或写成,的形式,不能用“ ”符号连接)
. .
. .
3.（2024陕西咸阳高新一中质检）如果函数在上单调递增,对于任意的 ,
,则下列结论中正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 因为在上单调递增,所以对于任意的, ,
当时,,所以,,所以 ，
；
当时,,所以,,所以 ,
.因此 .
由于,的大小关系不确定,所以与 的大小关系也不确定.
坑神小课堂
函数单调性的等价结论
,,,在
上单调递增；
在 上单调递减.
题型二 判断函数单调性或求单调区间
题组一
4. （2025浙江杭州期中）函数 的图象如图所示,则该函数的定义域和单调
递增区间分别是( )
D
A.定义域为, ；单调递增区间为
B.定义域为；单调递增区间为 ,
C.定义域为, ；单调递增区间为
D.定义域为；单调递增区间为 ,
【解析】 定义域是函数自变量的取值范围,由图象可知为 ,
函数的单调递增区间有2个,不能用并集,并且单调区间是定义域的子集,即, .
坑神有话说
1.一个函数出现两个或两个以上的单调递增（减）区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”
或“,”连接.如函数在区间和 上都单调递减,不能认为函数
的单调递减区间是 .
2.对于单独的一点,由于它对应的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单
调性,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但单调区间一定不包括使函
数式无意义的点.
5.（2025吉林长春期中）函数 的单调递增区间为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 函数
当时,在 上单调递减,
当时,在上单调递减,在 上单调递增,
所以函数的单调递增区间为 .
6.（2024湖南永州期末统考）已知函数 .
（1） 若,求 的值；
【答案】 由题设可知,则,故 .
（2） 若,判断在区间 上的单调性,并用定义法证明.
【答案】 在区间 上单调递增,证明如下：
任取,则 ,
又因为,且,,则 ,
又因为,所以,则 ,即
在区间 上单调递增.
题组二
7.（2025广东广州大同中学期中）函数 的单调递减区间是( )
A
A. B. C. D.
复合函数单调性的求解,利用同增异减法则.
【解析】 函数中,,（定义域优先）解得 ,
又因为的图象开口向下,对称轴方程为,时 ,
函数在上单调递减,在 上单调递增,
又因为在 上单调递增,
因此函数在上单调递减,在 上单调递增,（同增异减）
所以函数的单调递减区间是 .
. .
. .
坑神有话
说判定复合函数的单调性,设函数的值域是 ,
.
若函数,在各自区间上的单调性相同,则复合函数 在区间
上单调递增；
若函数,在各自区间上的单调性相反,则复合函数 在区间
上单调递减.
复合函数单调性的判定总结：同增异减（应用中,, 知二求一,均满足“同增异减”）.
8.（多选/2025海南海口检测）下列关于函数 的结论正确的是( )
ABC
A.在和 上单调递增
B.在和 上单调递减
C.在 上单调递增
D.在 上单调递增
【解析】 函数,定义域为 ,
由函数和在和上都单调递增,所以 （增+增=增）
在和 上单调递增；
函数 ,（分离常数法）
其图象可由反比例函数 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,
由于反比例函数在和上单调递减,所以在 和
上单调递减；
当时,函数,所以在 上单调递增；
函数在上单调递减,在 上单调递增.
. .
. .
9.（2025江西宜丰中学等多校质量检测）已知函数满足任意的实数, ,都有
,且当时, .
（1） 求 的值；
【答案】 因为函数满足对任意的实数， ，都有
，
令，则，所以 .
（2） 判断在 上的单调性并证明.
抽象函数单调性的判断，已知 ，则可通过作差比
较与的大小，此时需构造 .
【答案】 在 上单调递增.证明如下：
设，且 ，所以
，
又，所以，所以，所以 ，即
，所以在 上单调递增.
题型三 函数单调性的应用
题组一 根据单调性求参
10.（2025湖北武汉期末）“”是“在 上单调递减”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当在上单调递减时，任取,，且 ，
则 ，
又，所以可得 ，
故“”是“在 上单调递减”的充要条件.
11. （2025山东聊城开学考试）已知函数在区间 上单调递
减,则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 将拆解成外层函数和内层函数 ,外
层函数在上单调递增,要使函数在区间 上单调递
减,只需两个函数单调性相异.由题意得,二次函数 图象的对称轴为直线
,函数在 为增函数,
函数在区间 上单调递减,
（ 保证根号下非负）解得 ,
实数的取值范围是 .
. .
12.（2025辽宁七校协作体联考）函数是增函数,则实数
的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知当时,单调递增,则 ①,
图象的对称轴为直线,开口向下,由函数在 上单调递增，
则 ②,
因为函数 是增函数,所以
（ 分段函数在两段分界点处的函数值
的大小关系）③,
由①②③解得,所以实数的取值范围为 .
. .
坑神有话说
解决此类分段函数的单调性问题时,一般从两个方面思考：一方面考虑每个分段区间上
的函数具有相同的单调性,由此列出相关式子；另一方面要考虑区间端点处的衔接情况,
由此列出另一相关式子,联立求解即可.
13.（2025江苏南京检测）若函数是 上的单调函数,则实数
的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 函数
由函数是上的单调函数，得函数在 上单调.
①当时，在上单调递增，而时， 为常数函数，不单调递增，
因此 ；
②当时，，函数在,上单调递增，在 上
单调递减，
,，函数在上不单调，因此 不
成立；
③当时，，函数在,上单调递增，在 上
单调递减，
因此函数在上单调递增，且，即，解得 ，
此时函数在上单调递增，要使函数在 上单调递增，
则，而，解得 ，
所以实数的取值范围为 .
14. （2025上海长宁区期末）已知函数在 上单调递减,且在
上的函数值不恒为负,则实数 的取值范围为_______.
【解析】 ,
所以的图象可由的图象向左平移2个单位长度,再向上或向下平移 个单位
长度得到,
又因为在上单调递减,且在 上的函数值不恒为负,
所以(保证函数单调递减,在 上的函数值不恒为负只需
最大值 非负)
解得 .
. .
题组二 利用单调性比大小
15.（2024福建福州期中统考）函数为定义在上的增函数,若 ,则( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 由题可知是增函数,当时,,则 ；
当时,,则 ；
,因此,则 ；
当时,,则 .
16.（2024重庆第二外国语学校期中）定义在上的函数 满足以下条件：①函数
的图象关于直线轴对称,在区间上单调递减,则 ,
, 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 由函数的图象关于直线轴对称（由函数图象关于直线 对
称可联想到二次函数的图象）,可得,,又函数 在区间
上单调递减,所以,即 .
. .
题组三 利用单调性解不等式
17.（2025福建泉州期末）已知函数,则不等式
的解集为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 函数,所以定义域为解得 ,
（确定函数的单调区间前先确定函数定义域）
因为在定义域是增函数, 在定义域上是增函数,
所以（增+增=增）在 上单调递增,
由不等式得解得 .
. .
. .
18.（2025江苏镇江期末）已知函数 则不等式
的解集是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 因为当时 单调递增,
当时单调递增,且时, ,
所以分段函数 是一个单调递增函数,（解不等式前先确定分段函数的单调性）
由可得,解得或 .
. .
19.（2024哈尔滨九中月考）定义在上的函数 满足
,且,则使得成立的 的取值范围是______.
【解析】 已知,且,(对比定义法判断函数 单调性的
式子可知判断的不是 的单调性，观察式子结构，需要通过变形确定新函
数),则两边同时除以可得,令, ,则原不等式可化为
,因此函数在上单调递减.由,得 ,又因为
,于是,解得,所以使得成立的 的取值范围
是 .
. .
题型四 函数的最值求解及应用
题组一 利用单调性求最值
20. 函数 的最大值为( )
D
A.0 B.2 C.6 D.12
【解析】 函数,都在上单调递增,则函数在 上单调递
增（【大招识别】增+增=增）,所以 .
. .
. .
21.（2025江苏连云港期中）已知函数,,则函数 的值域为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由题意得,设,,且 ,
则 ,
因为,所以 ,
又因为, ,
若,,则,此时 ,
所以在 上为减函数；
若,,则,此时 ,
所以在 上为增函数.
综上所述,函数在上为减函数,在 上为增函数,
所以,因为, ,
所以,所以函数,的值域为 .
22.（2024浙江9+1高中联盟期中）已知函数的定义域为,对于任意的 ,
,都有.当时,都有,且 .当
时, 的最大值是( )
A
A.5 B.6 C.8 D.12
【解析】 令,则.令,则,故 .
令,则,故.令, ,（ 利用
构造“积”证明单调性）可得 .
不妨设,则,,则,故 在
上单调递增,所以在区间上的最大值是 .
. .
坑神有话说
本题需要先求出特殊值,后判断抽象函数的单调性,确定最大值.判断抽象函数的单调性时
需要构造常见的抽象函数模型.
23.（2025湖南长沙市长郡中学月考）已知, .
（1） 求证:函数在区间 上是减函数；
【答案】 令 ,则
,
又因为,,,所以 ,
所以函数在区间上是减函数.( ,也可由对勾函数的性质得
到单调性以及（2）中的值域)
（2） 求函数在区间 上的值域.
【答案】 由（1）知函数在区间上是减函数,又 ,
所以函数在区间上的值域为 .
. .
题组二 函数最值的应用
24.（2025安徽亳州检测）若函数在上的最大值为,则 ( )
D
A. B.1 C. D.
【解析】 当时，，不符合题意.因为 ，所以函
数含参，需要分情况讨论，当时，在 上单调递减，
则，解得 ，矛盾，不符合题意.
当 时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在 上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在 上单调递减，
所以，解得 ，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在 上单调递增，
函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以，解得，与 矛盾，不符合题意.
综上所述， .
25.（2024黑龙江齐齐哈尔一中期中）已知,函数 有最大值,则
实数 的取值范围是________.
【解析】 当时,（ 反比例函数的定义域不包括 ）
无最大值,不满足题意,所以要使函数存在最大值,则且 ,即
解得 .
. .
26.（2024云南昭通昭阳一中期中）某品牌电动汽车在某路段以每时 千米的速度匀速行
驶400千米.该路段限速为 （单位：千米/时）.充电费为1.5元/（千瓦·时）,
电动汽车行驶时耗电（千瓦·时）/时,轮胎磨损费为 元/千米,道路通行费为
0.2元/千米.
（1） 求这次行车总费用关于 的表达式.
【答案】 由已知得
,所以这次行车总费用关于的表达式为 .
（2） 当行车速度 为何值时,这次行车的总费用最低 最低费用为多少
【答案】 因为函数在时单调递减,在 时也
单调递减,所以函数（【大招识别】减+减=减）在 时单
调递减,所以当时,取得最小值, （元）,
因此当行车速度 时,这次行车的总费用最低,为115元.
坑神有话说
在有关最值的实际问题中,根据题意求函数解析式时,需要根据问题的实际意义确定函数
的定义域,并且利用单调性求函数的最值时,也要时刻注意自变量的取值范围.
. .
题型五 二次函数的最值问题
27.（多选/2024江苏盐城一中阶段练习）已知函数 的最小值
为,则实数 的可能取值是( )
AB
A.1 B.3 C.5 D.7
【解析】 函数（对勾函数）在上单调递减,在 上单
调递增,故当时,函数 .
函数图象的对称轴为直线 ,开口向上，
当,时,(在区间右侧，函数在 处取
得最小值),
要想函数的最小值为,只需,则,解得 ,即
,显然选项A,B符合；
当,时,,函数的最小值显然不是( 在区间
内，函数在 处取得最小值).
综上所述,只有选项A,B符合条件.
. .
. .
. .
. .
. .
28.（2024湖北荆州中学期中）已知函数在上的最大值为 ,
则实数 的值为___.
抛物线的对称轴为直线（动轴）,给定区间为 （定区间）的最值问题.
的图象开口向上,求最大值时应该讨论对称轴与区间两端点距离的关系.
【解析】 函数图象的开口向上，对称轴为直线 .又因为
,所以当时,（对称轴离 更远，在
处取得最大值）,得（舍去）;当时, ,得
.综上所述,实数的值是 .
. .
29.（2025河北保定期中）已知二次函数的图象与 轴交点的横
坐标分别为0,4,且当 时,最大值为10.
（1） 求函数的解析式；
【答案】 由题意可知，的两实数根分别为0，4，所以 ,
，
所以,，所以二次函数为 ，其图象的对称轴方程为
，
当，时，最大值为，所以，所以当 时，函数
解析式为 ；
当，时，最大值为，所以，所以当 时，函
数解析式为 .
（2） 设,当 时,求函数的最小值.
【答案】 由（1）知，当时函数解析式为 ，图象开口向上，对称轴
为直线 ，
当时（轴在区间右侧）， 时，函数单调递减，
当时，函数有最小值，为 ；
当时，（轴在区间内） 时，函数单调递减，
时，函数单调递增，当时，函数有最小值，为 ；
当时，（轴在区间左侧） 时，函数单调递增，
当时，函数有最小值，为 .
综上所述，当时，函数的最小值为
. .
. .
. .
能力觉醒
1.（2025福建泉州检测）函数 的单调递减区间为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 当时,,则在 上单调递减,
在上单调递增；当时, ，
则在上单调递增.所以 的单调递减区间为
.
2.（2024天津蓟州检测）大招36已知函数,则不等式
的解集为( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 因为函数在定义域 上为减函数,所以
（根据减函数的自变量越大,对应函数值越小脱“”）,所以不等式
的解集为 .
. .
3.（2025云南昆明期中）若函数的值域是,则实数 的取值范围
是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 当时,,其图象开口向上,对称轴为直线 ,值域为
,
由函数的值域是 ,
则当时,的值域应包含 ,（分段函数的值域为各段函数值域
的并集）所以 为减函数,
所以解得,故实数的取值范围是 .
. .
4.（2025湖北武汉期末）大招35若函数在 上单调递增,则实
数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
函数可分解成外层函数 和内层函数
,因为在上单调递增,要使函数 在
上单调递增,需要内层函数与在 上有相同的单调
性.
【解析】 当（ 二次项含参,需要对参数分情况讨论确定函数类型）
时,此时,令,则是一次函数,所以在 上单调递
增,且当时,,满足 的定义域要求,所以
在上单调递增,故 符合题意.
当时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 ,
.
所以在 上单调递增.
要使有意义,则在 上恒成立.
. .
,因为,所以,满足,所以 符合
题意.
当时,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线, .
那么在上单调递增,在 上单调递减,所以
不可能在上单调递增,故 不符合题意.
综上,实数的取值范围是 .
5.（2024重庆八中期末）已知函数,记该函数在区间
上的最大值与最小值的差值为,则 的最小值为( )
D
A. B.1 C. D.
【解析】 可知函数 在上单调递减,在 上单调递增.
（对勾函数的性质）
若,即时,在 上单调递减,
所以,此时 的最小值为1.
若,即时,在 上单调递增,所以
,此时的最小值为 .
. .
若且,即时,在上单调递减,在 上单调
递增,所以,此时的最小值为 .
若，即时，且,即 时,在 上单调
递减,在上单调递增,所以,此时 的最小值为
.
综上所述,的最小值为 .
6.（2025湖北武汉期末）大招36已知函数的定义域为,对任意的, ,都有
,当时,,且,若 ,则不等式
的解集是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 因为对任意的,,都有,,且 ,令
,
所以,(确定时的值)令 ，则
.
设任意,则,则 ,
又因为,所以 ,
若,则当时,,则 ,矛盾,
所以,所以,所以函数 是减函数,
所以不等式等价于,所以 ,
（脱“ ”,转化为解不等式）
. .
. .
故即,解得 .
所以不等式的解集是 .
坑神有话说
判断抽象函数单调性时的常见类型
；
；
；
.
7.（多选/2024湖北孝感期中联考）已知函数的定义域为,若,且 ,
都有 ,则( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设,则(对 变形，
得到，从而联想到新函数 )即
,
令（构造函数）,则,所以在 上单调递减,由
,得,即 .
因为,所以,即 ,即
.
因为,所以,即 .
因为,当且仅当,即 时,等号成立,所以
,则 .
. .
. .
8.（2025福建龙岩期末）已知函数 .
（1） 用定义法证明函数在区间 上单调递增；
【答案】 取任意，，且 ，
，
由，可得， ，
所以，即 ，
所以在 上单调递增.
（2） 对任意的都有成立,求实数 的取值范围.
【答案】 由在 上单调递增，
可得在上， .
依题意得， ，
又，当且仅当 ，
即，即 时取等号，
所以，即，解得 ，
所以实数的取值范围是 .
9.（2025江苏南京期中）已知函数 .
（1） 判断并用定义法证明在 上的单调性；
【答案】 函数在上单调递增,在 上单调递减,理由如下:
,,且 ,则
.
当时,, ,
又因为, ,
所以,即 ,
所以在 上单调递增；
当时,, ,
又因为,,所以,即,所以 在
上单调递减.
（2） 若在上的值域为,求 的取值范围.
【答案】 当时,（基本不等式），当且仅当 时等号成
立， 取得最大值.
因为在上的值域为,所以 ,
令,即,解得或,当时, ,则有
;当时,,则有 .
综上所述,的取值范围为 .
. .
10.（2025湖南衡阳期中）大招37已知函数 ,
.
（1） 对任意,都有,求实数 的取值范围；
（1）识别出该问题为单变量恒成立问题,可通过分离参数法转化为解关于 的
不等式,或通过变换主元法求出的范围；（2）由 的解析式识别出函数
与图象的对称轴确定,则需分类讨论与, 的大
小关系确定函数最值.
【答案】 因为,对任意,都有 ,所以
恒成立.
当时,恒成立,即,解得 ；
当时,不等式转化为 ,显然成立；
当时,则需满足恒成立,即,解得 .
综上所述,的取值范围为 .
因为（变换主元法）对任意 ,都有
,又因为为关于的一次函数,所以 ,解
得；且,解得,所以的取值范围为 .
. .
（2） 设,记的最小值为,求 的最小值.
【答案】 由题意可知, （分段函数与两个二次函数有关,
且两个二次函数都是定轴动区间,则需分类讨论与, 的大小关系确定函数最值）
①如图1所示,当时,根据二次函数的性质,可知函数 在
上单调递减,在上单调递增,则函数 的最小
值为 ；
. .
②如图2所示,当时,根据二次函数的性质,可知函数
在上单调递减,在上单调递增,所以函数 的最小
值为 ；
③如图3所示,当时,根据二次函数的性质,可知函数 在
上单调递减,在上单调递增,故函数 的最小值为
.
综上所述,
所以,当时,函数 的最小值为
,此时；当时,函数 的最小值为
,此时；当时,函数的最小值为 ,
此时 .
综上所述,的最小值为 .
坑神有话说
本题第（2）问的难点在于确定分段函数的图象,观察 可知,
当时,与 的函数值相等.
素养觉醒
1. （多选/2024山西晋城一中调研）已知函数的定义域为 ,若存在区间
,使得 同时满足下列条件：
在上是单调函数；在上的值域是 .
则称区间为函数 的“倍值区间”.
下列函数中存在“倍值区间”的有( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 依题意,可知若函数存在“倍值区间”,则满足在 上是单调函数,且
或
,在区间上单调递增,且值域为,则区间是函数 的“倍值
区间”.
在区间上单调递减,且值域为,则区间是函数 的“倍值区间”.
在,上单调递减,在, 上单调递增,假定函数
存在“倍值区间”,若在上单调递增,则有 即有
而，或 ,无解;
若在上单调递减,则有即解得或 ,而
且,矛盾,所以 不存在“倍值区间”.
当时,,因为函数在上单调递减,于是 在
上单调递增,且值域为,因此区间是函数 的“倍值区间”.
2.（17分） （2025陕西商洛期末）设函数的定义域为,一般地, ,
,若,则称 为凹函数；若
,则称为凸函数.对于函数 有如下性质:如果常数
,那么该函数在上是减函数,在 上是增函数.
（1） 已知函数,,利用上述性质,求函数 的单调区间和值域；
【答案】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是 ，（2分）
所以.又， ，
所以，所以 ，
所以在上的值域为 .（5分）
（2） 证明:在 上是凹函数；
【答案】 任取，， ，
则 .（8分）
因为，，且 ，
所以,，，所以 ，
所以 ，
所以当时， 是凹函数.（10分）
（3） 已知函数和函数,若对任意 ,总存在
,使得成立,求实数 的值.
【答案】 ，
设，，，则原函数转化为， .（12分）
由已知性质得，函数在 时，单调递减，
在 时，单调递增.
由时，；时，；时，得 的值域为
.（14分）
因为 为减函数，
所以， .
根据题意，的值域为 的值域的子集，
从而有解得 .（17分）