第三章 函数的概念与性质（专项解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共45张PPT)
第三章 函数的概念与性质
专项觉醒1 函数中的恒成立与能成立问题
题型一 单变量问题
1.（2025安徽学业考试）已知函数 ,
,则下列结论:
,恒成立,则实数的取值范围是
,,则实数的取值范围是
,有解,则实数的取值范围是
其中,所有正确结论的编号是( )
C
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】 当时, ,
当时, ,
①若,恒成立,()则,所以实数 的取
值范围是 ；
若,(),则,所以实数 的取值范围
是 ；
③若,有解(),则实数的取值范围是 .
. .
. .
. .
2.（2025山东菏泽检测）已知,不等式对 恒
成立,则 的取值范围是_________.
首先判断函数的单调性,再利用参变分离,转化为在 上恒成立,
求出在 上的最大值即可求解.
【解析】 因为函数是增函数, 也是增函数,
所以是增函数,且 ,
不等式,对 恒成立,
所以, 恒成立,
即恒成立,即, ,
函数在区间上单调递减,在区间 上单调递增,
当时,,当时,,所以函数的最大值为,所以 .
题型二 双变量问题
3.（2025福建泉州期末）已知函数, .若
, ,,使得,则 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
根据,,, 可知该问题考
查双变量中的情况①②.
【解析】 ,令, ,
则令, ,
在上单调递减,上单调递增,所以,则 ,
易知在区间上单调递增,则 ,
又因为,,,使得 ,
所以解得 .
4.（2025黑龙江期中）已知函数,,若, ,
恒成立,则实数 的取值范围为________.
将问题转化为在上的最大值小于等于在 上的最小值的
问题,解不等式可得结论.
【解析】 设 ,
则 ,
因为,所以,, ,
所以，所以 ,
所以函数在区间 上单调递增,
所以当时, ,
则问题转化为当时, 恒成立,
又函数在上单调递减,所以 ,
所以,解得 .
故实数的取值范围为 .
5.（2025四川成都期中）已知函数,,若存在 ,
存在,使,则实数 的取值范围是________.
由题意可知只需,易求出 的值域,进而只需
有解即可,用分离参数的方法即可.
【解析】 因为 ,
所以在 时单调递减,
所以,,即 ；
因为存在,存在,使 ,
所以 ,
所以,使得 ,
即,即 能成立,
令,则要使在 上能成立,
只需使 ,
根据和在上均单调递增易知:函数在 上单调递增,
所以 ,
故只需,所以的取值范围是 .
6.（2025云南玉溪期末）已知函数, ,若对任意的
,总存在,使成立,则实数 的取值范围是____________
________.
根据题意问题化为值域是 值域的子集,由值域的包含关系列不等式
求参数范围.
【解析】 由题意,函数, ,
根据二次函数的性质,当时,,记 ,
对任意的,总存在,使 成立,
当时,在上单调递增,,记 .
所以,则解得 ；
当时,在上单调递减,,记 ,
所以,则解得 .
综上,实数的取值范围是 .
7.已知函数在区间 上有最大值4和最小值1.
（1） 求, 的值；
【答案】 因为，且 ，
可知的图象开口向上，对称轴为直线，在 上单调递增，
则解得
（2） 若存在,使对任意的都成立,求实数 的取值范围.
【答案】 由（1）得 ，
因为存在，使对任意的 都成立，所以
.
由（1）可知，在内单调递增，则，可得
（双变量问题转化为单变量问题），
即对任意的 都成立，
可得解得或 ，
故实数的取值范围为 .
. .
第三章 函数的概念与性质
专项觉醒2 函数的周期性
1.（2025山西适应性考试）已知是定义在上的奇函数,且 的一个周期为4,若
,则 ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 由题可得，故 .又因为
,,故 .
结合 的一个周期为4可知
,故
.
2.（2025贵州毕节期末）若偶函数对任意都有 ,且当
时,,则 ( )
B
A.8 B. C.12 D.
【解析】 由符合【大招41】定理2推论的形式,3为的半周期 ,得
,
故,故的一个周期为6, ,
又因为为偶函数,故 ,
,,故 .
. .
3.（2025辽宁鞍山期中）已知定义域为的偶函数满足 ,则
( )
A
A.3 B.2 C.6 D.10
【解析】 因为是定义域为的偶函数,所以 .
已知,将换为,可得,又因为 ,所
以 .
由和可得 .
令,则,那么,又因为 ,所以
,即,所以函数 的一个周期是8,所以
.
在中,令,可得,即,解得 ,
所以 .
因为是偶函数,所以的图象关于轴对称.因为 满足
,所以的图象关于点,即点对称,所以 一个的周
期为,所以 .
在中,令,可得,即,解得 ,
所以 .
坑神有话说
对称性与周期性之间的常用结论:
（1）若函数的图象关于直线和对称,则函数 的一个周期为
；
（2）若函数的图象关于点和点对称,则函数的周期为 ；
（3）若函数的图象关于直线和点对称,则函数的周期为 .
4.（2024陕西西安关山中学质量检测）已知函数满足：①定义域为, 为
偶函数,为奇函数,④对任意的,,且 ,都有
.则,, 的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
【大招44】定理3：若函数的图象关于点和直线
都对称,则函数是以 为周期的周期函数.
【解析】 在上为偶函数,的图象关于直线对称,
的图象的图象，的图象关于轴对称,则 的图象关
于直线对称 .
在上为奇函数,的图象关于点对称, 的图象
的图象，的图象关于点对称,则 的图象关于
点对称.,且的一个周期为,且 .
在上为偶函数,, 的图象关于直线
对称.在上为奇函数,, 的图象关于点
对称,且 .
. .
. .
,
（将上式中的换成 ）①,
又, ②,
由①②得 ③,
由③得（将③式中的换成 ） ④,
由③④得, 的一个周期为4.
将式中换成 ,
得 .
对任意的,,且,都有 ,
在 上单调递增.
. .
. .
在一个周期内的大致图象如图所示.
又 ,
,结合图象可知,
,即 .
5.（2024河南南阳阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数,当 时,
；当时,.则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 由可知,函数 的横坐标每增加2个单位长度,函
数值变为原来的,因为,所以.因为 为奇函数,所以
,所以 .
.
因为为奇函数,故,所以 .
6.（2024东北师大附中模拟）已知函数的定义域为,且 是奇函数,
是偶函数,设函数若对任意 ,
恒成立,则实数 的最大值为( )
B
A. B. C. D.
由识别出自变量每增加1,函数值变为原函数值的2倍, 为
类周期函数.
【解析】 因为 是奇函数, 是偶函数,所以
解得 ,由
得,当,即 时,
,同理,当,即时,
, 以此类推,可以得到 的部分图象如图所
示. 由图象可知,当时, ；当时,,由 ,
得,解得 或,所以当时, 恒
成立. 又对任意的, 恒成立,所以,所以实数的最大值为 .
7.（多选/2024安徽安庆二中阶段练习）已知函数对任意的 都有
,函数的图象关于直线对称,且对任意的, ,
,都有 .则下列结论正确的是( )
ABD
A.是偶函数 B.
C. D.的图象关于点 对称
【解析】 因为函数对任意的都有 ,所以
每隔2变为其相反数 ,每隔4变为
的相反数,即本身,所以 是周期为4的周期函数.
因为函数的图象关于直线对称,所以的图象关于直线 对称,所以
是偶函数.
因为,以替换,得 ,所
,则的图象关于点,即点对称
以的图象关于点 对称.
. .
. .
由,得,则,又 是以4为周期的
偶函数,所以 .
因为对任意的,,,都有 ,所以在区间 上单
调递增,又因为, ,且
,所以,即 .
8.（2025湖北新高考联考协作体联考）已知函数的定义域为 ,且满足
,,,则 ___.
3
【解析】 ,
,
两式相加得, ,
符合【大招43】定理1推论的形式,3为的半周期
,
函数 的周期为6,
.
, ,
,
.
. .
9.（2024湖北武汉期中）已知函数的定义域为,且满足 ,若
的图象关于直线对称,且,则____； ____.
附注： .
【解析】 因为横坐标和为定值2,纵坐标和为定值0,图象关于点
中心对称,所以函数的图象关于点对称,则, .
又因为的图象关于直线对称,所以的图象关于直线对称,即
为偶函数,所以 ,所
以的周期为4, 根据【大招44】定理3,由的图象关于点 对称,又关于直线
对称,所以的周期为
所以,, ,
,所以 .
因为,所以,即 ,又因为
. .
. .
,,所以, ,
所以.又因为的周期为4,所以, ,
,,所以 .
所以 .
第三章 函数的概念与性质
专项觉醒3 几种特殊函数
1.（2025哈师大附中期末）设,定义符号函数 则关于函数
说法正确的是( )
B
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.在上是减函数 D.
【解析】 由题意知
所以 ,
故函数是奇函数,在上是增函数, .
2.（多选/2025广东执信中学月考）,表示不超过的最大整数,如 ,
,,我们把,称为取整函数,也称为高斯
函数,以下关于“高斯函数”的命题中,是真命题的有( )
BCD
A.,
B.,,
C.,,若,则
D.不等式的解集为
【解析】 , ;
,, ;
令,,则,,所以 ;
解不等式,得或 ,所以不等式的解集为
.
3.（多选/2025云南昆明期末）德国数学家狄利克雷
在1837年时提出:“如果对于的每一个值,
总有一个完全确定的值与之对应,那么是的函数.”例如狄利克雷函数 ,即:当自变量
取有理数时,函数值为1；当自变量取无理数时,函数值为0.下列关于狄利克雷函数 的
性质表述正确的是( )
ABD
A.值域为 B.
C. D.图象关于直线 对称
【解析】 由已知可得
所以函数的值域为 ；
当时,,, ,
当时,,, .
综上， ；
当时,, ；
函数的定义域为 ,定义域关于原点对称,
当时,, ,
所以 ,
当时,, ,
所以 .
综上， ,
所以函数为偶函数,所以的图象关于直线 对称,
所以函数的图象关于直线 对称.
4.定义,,为,,中的最小值,设,,,则 的最大
值为___.
2
【解析】 若利用,,的定义将 转化为分段函
数,则需要对三个式子两两比较,比较烦琐,则可数形结合,
在同一平面直角坐标系内分别画出 ,
,的图象,可得 的图象
（图中实线部分）,如图.
由图象可知,的最大值为与 的
图象在第一象限的交点的纵坐标,
由解得即 .
5.（2024北京二十二中检测）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中
享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过 的最大整数,例如
.
（1） 若,求 的值；
【答案】 由取整函数定义可知,所以 .
（2） 已知,,求函数 的值域.
【答案】 设 ,
则 .（变形,分离常数）
当时,,,, ；
当时,,,, .
所以,所以,所以的值域为 .
. .