3.3 幂函数（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共52张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
题型觉醒
高频题型：题型二、题型三
题型一 幂函数定义的理解
1.下面的函数中是幂函数的有( )
C
；；； ； .
A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤
【解析】 由幂函数定义可知,②④是幂函数.
坑神有话说
的系数是1；的底数是自变量；的指数 为常数.只有满足
这三个条件,才是幂函数.
2.（2025辽宁六校联考）已知幂函数满足,则 ( )
B
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】 因为幂函数满足,所以,所以 ,
则,从而 .
3.（2025山西运城期末）已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共
点,则 ( )
A
A. B. C.2 D.
【解析】 由题意知解得.所以,所以 .
题型二 幂函数的图象
4.（2024黑龙江哈尔滨六中阶段练习）函数 的图象大致为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 的定义域为,且 ,
故 为偶函数,排除A,B；
因为,所以函数的图象在 上增长速度越来越快,为下凸函数,C正确,D错误.
坑神小课堂
观察五种特殊幂函数在第一象限内的图象可知,幂函
数 的图象在第一象限内具有如下特征：在
平面直角坐标系中,直线,将直线 的
右侧部分分为（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三个区域,如图所示,
若,则 的图象经过区域（Ⅰ）；若
,则 的图象经过区域（Ⅱ）；若
,则 的图象经过区域（Ⅲ）.在直线的右侧,从 轴向上,幂函数
的指数 由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”.
5.函数,且互质 的图象如图,则( )
C
A.,是奇数,且
B.是偶数,是奇数,且
C.是偶数,是奇数,且
D.,是偶数,且
【解析】 因为函数的图象关于轴对称,所以为奇数, 为偶数,又因为在第一象
限内,函数是上凸函数,所以 .
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幂函数 的奇偶性
的分类 的奇偶性
是偶数 偶函数
是奇数 奇函数
,互质 是奇数 是奇数 奇函数
是偶数 偶函数
是偶数 既不是奇函数,也不是偶函数
6.（多选/2024吉林四平一中月考）下列说法正确的是( )
BD
A.所有幂函数的图象均过点
B.若幂函数 在区间上单调递减,则
C.幂函数一定具有奇偶性
D.任何幂函数的图象都不经过第四象限
【解析】 的图象不过点 ；
当幂函数 在区间上单调递减时, ；
对于函数 ,无奇偶性；
任何幂函数的图象都不经过第四象限.
7.（2025浙江杭州期末）如图所示的幂函数图象对应的
解析式可能为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ,定义域为 ,当
时, ；
当时, ；
,定义域为 ,函数为偶函数,且
在上单调递减,在 上单调递增；
,当时, .
8.（多选/2024湖北省沙市中学月考）已知幂函数的图象经过, ,
,中的三个点,则 的值可能为( )
BC
A. B. C.3 D.9
【解析】 设,由幂函数的性质可知的图象必定经过点 ,
若的图象经过,,三点,由,得 可能为正奇数,
则的解析式可能为,满足,此时 ；
若的图象经过,,三点,由,得 ,
则,满足,此时 ；
若的图象经过,,三点,由,得到,,此时点不在
的图象上,即的图象不同时经过,, 三点.
题型三 幂函数的性质及应用
题组一 幂函数的性质
9.（2024广东汕头期末统考）已知点在幂函数的图象上,则函数 是
( )
A
A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
【解析】 点在幂函数的图象上,则,解得 ,
所以,由幂函数的性质可知,幂函数的定义域为
（判断函数奇偶性时先判断函数定义域是否关于原点对称）, ,函数
是奇函数；
函数在和 上单调递减,但在定义域内不单调.
. .
10.（2025南京师大附中检测）下列函数中,既是奇函数,又在区间 上单调递增的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 函数的定义域为 ,不是奇函数；
函数是 上的偶函数；
幂函数在 上单调递减；
幂函数是奇函数,且在 上单调递增.
11.（2025湖南长郡十八校联考）已知幂函数的定义域是,则 ___.
2
【解析】 因为函数为幂函数,所以 ,即
,
解得或 ,
当时,函数的定义域为 ,合乎题意；
当时,函数的定义域为 ,舍去.
综上所述, .
坑神小课堂
幂函数 为常数
的分类 的定义域
, ,且
,互质,, , 是偶数
是奇数
是偶数
是奇数 ,且
注意:当 为分数时,定义域不好记忆,可先化成根式,再依据根式有意义求定义域.
12.已知函数 ,则其单调递增区间为________.
【解析】 易知, 函数的定义域为 .令
,则其在上单调递减,在上单调递增, ,
由与 复合而成,根据“同增异减”确
定单调区间即可 在定义域内单调递增,
在 上单调递增.
. .
题组二 幂函数性质的应用
13.（2024云南昆明一中阶段练习）若,且,则 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为,所以函数在上为增函数,由 可得
,解得 .
14.（2025重庆期中）已知幂函数,且 ,则下列选项中正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 因为,所以在上单调递增,又因为 ,所以
,所以 .
15.（2025云南昭通期中）已知,,, ,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为,,, ,所以
,又因为,,,,且幂函数在 上单调递
增,所以 .
坑神有话说
对于比较指数值,当底数和指数均不相同时,可以尝试将指数化成相同的,如本题中 ,
,,分别化为,,,,再利用幂函数 的单调性即可比较大小.
16.（2025陕西咸阳检测）已知集合},则集合 的子集个数是
( )
C
A.4 B.7 C.8 D.16
【解析】 因为,（幂函数在上单调递增）所以 ,又
因为,所以,所以的子集有 个.
. .
17.（2024重庆市永川中学期中）已知幂函数在 上
是减函数,.若,则实数 的取值范围为______.
【解析】 由函数为幂函数得,,解得
或,又因为函数在上是减函数,则,即 ,
所以,所以 ,
所以不等式为 .
设函数,则函数的定义域为,且函数在 上单调递减,所
以解得,所以实数的取值范围是 .
坑神小课堂
利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小,常与幂函数的单
调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:
（1）确定可以利用的幂函数;
（2）借助相应幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系;
（3）解不等式（组）求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
18. 比较下列各组数的大小.
（1） 与 ；
【答案】 因为幂函数在定义域 上单调递减,
且 ,所以 .
（2） 与 ；
【答案】 幂函数的定义域为 ,
且在 上单调递减,
又因为 ,
所以函数 为奇函数,
所以在 上单调递减,
又因为 ,
所以 .
（3） , .
【答案】 因为函数在上是单调递增函数，而 ，所以
.
坑神小课堂
比较幂的大小的常用方法
（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.
（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.
（3）中间量法:当底数不同且幂指数也不同,不能运用单调性比较大小时,可选取适当的
中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的.
利用幂函数单调性比较大小时,要注意比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单
调区间内.
能力觉醒
1.（2024福建龙岩期末）若幂函数的图象过点,则 的定义域是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设 ,依题意可得,解得,所以,所以 的定义域
为,值域为,且,对于函数,对于,已知 的
定义域,求的定义域,其中则 解
得,即函数的定义域是 .
. .
2.（2025河南开学考试）已知幂函数 的图象经过第三象限,则
( )
A
A. B.1 C. D.2
【解析】 由题意得,得.当时, 的图象不经过第三象限；
当时,的图象经过第三象限.综上, .
3.（2025陕西咸阳期末）已知,,且,则“”是“ ”
的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为 ,
所以幂函数在 上为增函数,
若,则,即“” “ ”；
若,则且，,即“” “ ”.
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
4.（2024陕西师大附中期中）已知函数,若,则
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 令,因为的定义域为 ,关于原点对称,且
,所以是 上的奇函数,注意到幂函数
,都是上的增函数,所以是上的增函数（增增增）,而 ,
所以,解得,综上所述,的取值范围是 .
. .
5.（2024山东青岛二中期中）在同一直角坐标系中,二次函数 与幂函数
的图象可能为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 二次函数图象的对称轴为直线,当, 时,二次
函数的图象开口向上,,幂函数在 上单调递增.
对于C,由题意可得此时,所以,所以幂函数 的图象为去
掉端点的射线,不满足题意.
当,时,二次函数的图象开口向下,,幂函数在 上单调
递减.显然B不满足题意.
当,时,二次函数的图象开口向下,,幂函数在 上单调
递增.
对于A,由题意可得此时,得,所以幂函数 的图象上凸,不
满足题意.
当,时,二次函数的图象开口向上,,幂函数在 上单调
递减.
对于D,由题意可得此时,得,所以 ,满足题意.
6.（2024黑龙江双鸭山一中阶段练习）若, ,
,则( )
B
A. B. C. D.
【解析】 根据,构造函数 ,结合函数的单调性及中间值“1”比较大小.
设函数,则在 上单调递增,
故,即,又因为,所以 .
7.（多选/2024辽宁省实验中学期中）已知函数, ,则
( )
ABD
A.的值域为 B.的值域为
C.的值域为 D.的值域为
【解析】 要使,都有意义,则有故 .
设,,则 ,
,则的值域为 .
设,,则在 上单
调递减,故 ,
,则的值域为 .
设, ,
由选项A知,的值域为,则的值域为 ,
又因为,所以的值域为 .
变形为与分式函数有关的复合函数值域求解.设,且 ,
则,由,得 ,
令,则,则关于的函数在上单调递减,则 的
值域为,即的值域为 .
8.（2025上海期末）函数的定义域是 ,则它的值域是________.
【解析】 由,设,因为 ,所
以 ,（利用换元法时注意新元的范围）
而函数在上单调递减,在上单调递增,则 ,故函数
的值域为 .
. .
. .
9.（2025重庆沙坪坝区期末）若函数为减函数,则实数 的
取值范围为______.
分段函数单调递减则各段均为递减函数,且左边函数的右端点值不小于右边函
数的左端点值,由此建立不等式,求得 的取值范围.
【解析】 为 上的减函数,
时,单调递减,即,则 ；
时,单调递减,即,则；且,即 .
综上可得,的取值范围是 .
10.（2025上海期末）已知,则实数 的取值范围是_____________
_______.
【解析】 函数（等价形式）的定义域为 ,
且为偶函数,在上单调递减,在 上单调递增,
所以,等价于 ,
所以,即
所以
解得
. .
即且 ,
故实数的取值范围是 .
11.（2024吉林长春市实验中学期中）已知点在幂函数的图象上,点 在幂
函数 的图象上.
（1） 求出幂函数及 的解析式；
【答案】 设 , ,由题设知 , ,解得 ,
,
所以, .
（2） 在同一坐标系中画出及 的图象；
【答案】 图象如图所示.
（3） 观察（2）中的图象,写出当时, 的取值范围（不用说明理由）.
【答案】 由图象知当时,或,所以 .
12.（2024山东新泰一中期中）已知幂函数 为偶函数,
.
（1） 若,求 ；
【答案】 对于幂函数,得 ,
解得或 ,
又当时, 不为偶函数,
, ,
,
,解得 .
（2） 已知,若关于的不等式在上恒成立,求 的取值范围.
【答案】 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,根据单调性可求得最值,进而可得
的取值范围.关于的不等式在 上恒成立,
即在 上恒成立,
即, .
先证明在 上单调递增：
任取,,满足 ,
则 .
,
,,又 ,
,
,即 ,
故在 上单调递增,
,
,结合,解得 .
的取值范围为 .
素养觉醒
1. （2025安徽蚌埠二中开学考试）若函数的定义域与值域均为 ,则
称为“闭区间同域函数”,称为 的“同域闭区间”.
（1） 若函数的定义域为,证明: 是“闭区间同域函数”；
证明：易知函数在 上单调递增,
当时, ,
即函数的定义域与值域均为 ,
是“闭区间同域函数”.
（2） 若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”,求正实数 的值；
【答案】 函数的图象开口向上,对称轴为直线 ,
函数在 上单调递增,
当时, ,
即 ,
,解得或 （舍去）.
当时,是“闭区间同域函数” 的“同域闭区间”,符合题意.
正实数 的值为1.
（3） 设,且,若是“闭区间同域函数” 的“同域闭区
间”,求实数, 的值.
【答案】 由题意得 ,
的图象是开口向上,对称轴为直线的抛物线,且 ,
当时,在 上单调递增,
,是方程 的两根,
令,解得或 ,这与
矛盾,不符合题意.
当时,在上单调递减,在 上单调递增,
,
①当时, ,不符合题意；
②当时,,得 ，
经检验,是“闭区间同域函数” 的“同域闭区间”.
综上,, .