3.2 函数的基本性质-3.2.2 奇偶性（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共68张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
题型觉醒
高频题型：题型一、题型三、题型四
题型一 函数奇偶性概念的理解及判断
1.（2024福建省泉州实验中学月考）若函数是 上的奇函数,则下列结论错误的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】 观察选项,涉及, ,结合题意,考虑到此题考查的是对奇函数概念的理解.
因为是上的奇函数,所以,且 (定义域包含0的奇
函数满足 )；
因为,所以 ；
当时,,此时 无意义.
. .
2.（2024江苏苏州期中统考）已知函数 ,则下列函数中为奇函数的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
,定义域为 ,为非奇非偶函数；
,
定义域为 ,为非奇非偶函数；
,为非奇非偶函数；
,为奇函数.
3.（2025云南楚雄期末）下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 易知,,所以 是偶函数，不是奇函数；
因为,,所以 不是在定义域内的增函数；
因为的定义域,且不关于原点对称,所以 （判断奇偶
性应先判断定义域是否关于原点对称）不是奇函数；
定义域为,,为奇函数,因为, 均
为增函数,所以 为增函数.
. .
坑神小课堂
判断函数奇偶性的方法
定义法 一般地,当给出函数解析式时常用定义法判断.
图象法 在函数图象已知或易画出的情况下可考虑使用.
验证法 求出函数的定义域,当定义域关于原点对称时,判断
是否为0或是否为 .
性质法 利用奇、偶函数的运算性质以及复合函数的奇偶性判断.
说明：证明一个定义域关于原点对称的函数不具有奇偶性,只要举出反例使 即可. 4.（2025贵州毕节期末）已知是定义在上的奇函数,是定义在 上的偶函数,则
( )
D
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.是奇函数 D. 是偶函数
【解析】 因为是定义在上的奇函数,所以 ；
是定义在上的偶函数,所以 .
,所以 为奇函数；
,所以 为偶函数；
,则 为非奇非偶函数；
,则 为偶函数.
5.判断下列函数的奇偶性.
【答案】 先判断函数的定义域,再结合函数奇偶性的定义判断.
（1） ；
【答案】 定义域为 （易忽略定义域）
,关于原点对称,,则 为奇函数.
（2） ；
【答案】 对于函数,因为所以 ,
其定义域为,,关于原点对称.因为对定义域内的每一个,都有 ,
所以, ,
所以 既是奇函数又是偶函数.
. .
（3） ；
【答案】 因为所以,即函数的定义域为 ,不关于原点对称,
故 既不是奇函数也不是偶函数.
（4） ；
【答案】 由可得,且 ,
所以函数的定义域为,且 ,（判断函数的奇偶性时,首先要判断定义
域是否关于原点对称）
关于原点对称，
所以 （由定义域去绝对值）.
因为 ,
所以函数 是奇函数.
. .
. .
（5）
【答案】 由题意知,函数的定义域为,关于原点对称.当时, ,则
;
当时,,则 .
综上所述,,所以函数 是奇函数.
坑神小课堂
对于分段函数奇偶性的判断,首先要判断函数的定义域是否关于原点对称；其次,如果定
义域关于原点对称,要分段讨论,必须判断函数是否在每一段上都满足 或
.
题型二 奇偶函数的图象特征
6.（2024浙江杭州期中）函数 的图象大致为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 的定义域是 ,排除A,B（由解析式识别图象,根据定义域判
断是第一步,可快速排除干扰选项）；定义域关于原点对称,
,所以 为偶函数,排除C.
. .
坑神有话说
1.函数图象的辨识可从以下方面入手:
①从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置.
②从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象.
2.掌握以下两个结论,会给解题带来方便:
①若为偶函数,则 .
②若奇函数在处有意义,则 .
7. （2024四川成都外国语学校月考）设奇函数
的定义域为,若当时, 的图象如图,则不等
式 的解集是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 根据图象,当时,由得,因为函数 为奇函数,
所以当时,,若,即,则,所以 ,解得
.
综上可得,不等式的解集是 .
图象法.因为的定义域为,且 为
奇函数,所以 的图象关于原点对称,由题图可画出
的图象,如图所示,由图可知 的解集为
.
题型三 函数奇偶性的应用
题组一 利用奇偶性求参
8.（2025安徽开学考试）已知是奇函数,则实数 的值为( )
A
A.1 B.2 C. D.1或2
【解析】 易知的定义域为 ,
( 利用奇函数的性质的前提是函数在 处有意义,所以该题不能用
求参)
由奇函数的定义可知, ,
则,整理得 恒成立,
所以,解得 .
. .
特殊值法.易知的定义域为,因为 是奇函数,所
以,即,解得 .经检验,符合题意.
因为是奇函数，为奇函数， 为偶函数，根据奇偶
函数的四则运算性质可知，解得 .
9.（2025陕西西安长安一中质量检测）若函数 是定义在
上的偶函数,则 ( )
B
A. B. C.3 D.1
【解析】 由题意可得,解得 ,
又因为,所以 ,
则,所以,所以 .
坑神有话说
已知函数的奇偶性求参数,主要方法有四个:一是利用 （奇函数）或
（偶函数）在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,如奇函数利用
,等求解,偶函数利用 等求解,但要注意验证；三是
利用奇、偶函数的性质,把原函数看成简单函数的和、差、积商等,转化为研究简单函数
的奇偶性；四是利用奇、偶函数的图象特征求解.
题组二 利用奇偶性求函数值或解析式
10.（2025浙江温州十校联合体期中）函数是定义在上的偶函数,当 时,
,则在 上的表达式为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 方法一：因为函数是定义在上的偶函数,所以 ,
当时, ,
令,则,则 ,
所以当时,,在上的表达式为 .
方法二:特殊值法.由是定义在上的偶函数得,排除B,D；当 时,
,排除C.
11.（2025江苏盐城期中）若奇函数和偶函数满足 ,则
( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 因为奇函数和偶函数满足 ,
所以 ,
即解得因此 .
因为对于任意函数都可以拆解成奇函数 偶函数的形式，所以
可以拆成奇函数和偶函数 ，所以
.
12.（2024广东深圳中学期末）已知函数,若,则
______.
【解析】 因为,所以 ,则
.
(,则 )
两式相加可得,又因为,所以 .
. .
13.（2025安徽滁州检测）若函数在区间 上的最大值为4,则
最小值为___.
0
【解析】 因为（分离常数）,令 ,
,则,又因为 ,所以函
数 为奇函数.
因为奇函数的图象关于原点对称,所以在 上的最大值和最小值之和为
0,即 ,
所以, .
. .
14. （2025湖北云学名校联盟联考）已知为定义在 上的奇函数,且满足当
时, .
（1） 求 的解析式；
【答案】 因为为定义在上的奇函数,所以 ,
（易忽略 处的情况）
又因为当时, ,
设,则,所以 ,
所以
. .
（2） 判断函数在区间 上的单调性,并用定义证明.
【答案】 在上单调递增,证明如下:,，且 ,
则 ,
因为,，且,所以,,, ,
则,故 ,
即 ,
所以在 上单调递增.
题型四 奇偶性与单调性的综合应用
题组一
15.（2025北京期中）如果偶函数在上单调递减且最小值是4,那么 在
上( )
C
A.单调递减,且最小值是4 B.单调递减,且最大值是4
C.单调递增,且最小值是4 D.单调递增,且最大值是4
【解析】 偶函数在 上单调递减，且最小值是4（联想到偶函数的图象关于直线
对称）,所以,则在上单调递增，且最小值为 .
. .
16.（2024浙江杭州萧山区第六高级中学月考）已知函数是偶函数,, ,
当时,都有恒成立,设,, ,
则,, 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ,,当时,都有 （函数单调
性判断的等价形式）恒成立,则在上单调递增,有 ,又函数
是偶函数,,,,所以 .
. .
题组二
17.（2025湖南长沙联考）已知函数是定义在上的奇函数,在 上单调递
减,且,则不等式 的解集为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 因为是定义在上的奇函数, .
所以 ,
因为在上单调递减,当时,,故 ,
因为是定义在上的奇函数,故在 上单调递减,
又因为,所以当时,,故 ,
综上,的解集为 .
18.（2024江苏苏州统考期中）已知函数, ,则满足
的 的取值范围为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 由,,得,所以
为偶函数,又因为在上单调递增,在 上单调递增,则
在上单调递增,在 上单调递减（奇、偶函数单调性满
足“奇同偶异”）,
则,即,即（ 轴两侧“左减右增”
的偶函数,越靠近 轴,函数值越小,反之越大）,
解得 .
. .
. .
. .
19. （2024山东德州一中阶段练习）函数是定义在 上的奇函数,
且 .
（1） 判断在 上的单调性,并用定义证明；
【答案】 由函数是定义在 上的奇函数,
得,解得 .
经检验,时, ,
所以是 上的奇函数,满足题意.
又因为,解得 ,
故, .
函数在 上单调递增.证明如下：
,，且 ,
则
.
因为 ,
所以,,, ,
所以,即 ,
所以在 上单调递增.
（2） 解关于的不等式 .
【答案】 因为 为奇函数,
所以 ,
不等式可转化为,即 ,
又因为在上单调递增,所以（脱“ ”时容易忽略定义域,一定
要时刻注意函数的定义域）解得,所以的解集为 .
. .
对于（2）,由是奇函数, ,识别出问题为解关于奇函数的
不等式,根据奇函数的定义将不等式转化为,即 ,再结合
单调性脱去“ ”求解即可.
题型五 函数图象对称性的应用
20.（2025陕西西安期末）已知定义在上的函数在上单调递增,且
是偶函数,则满足的 的取值范围为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 因为函数(函数的图象向左平移1个单位长度得到 的图象)
是偶函数,所以函数
的图象关于直线 对称,
又因为在 上单调递增,
由,得,即 ,
两边同时平方并化简,得,解得或,即 的取值范围为
.
. .
21.（2024湘豫名校联考）已知定义在上的函数 满足以下条件：①函数
是偶函数；②对任意,,当 时,都有
.则,, 的大小关系为( )
A
A. B.
C. D.
由“函数是偶函数”,识别出函数的图象关于直线 对
称,再借助对称性及单调性比较即可.
【解析】 由函数是偶函数,得函数的图象关于 轴对称,因此函
数的图象关于直线 对称,
(的图象的图象,的图象关于直线 对称,则
的图象关于直线 对称)
则.由对任意,,当 时,都有
,得函数在 上单调递减,而
,则 ,
所以,,的大小关系为 .
. .
. .
22.（2025湖南长沙市长郡中学期中）已知是定义在 上的偶函数,其图象关于点
对称,且当时,,则 ( )
B
A. B.0 C.1 D.
【解析】 由已知可得,.因为是定义在 上的偶函数,所以
.又的图象关于点对称,所以,所以 .
(的图象关于点对称,则 )
. .
23.（多选/2025湖南株洲期末）已知函数的定义域为,其图象关于点 中心对称,
若 ,则( )
BC
A. B.
C.为奇函数 D. 为奇函数
【解析】 因为图象的对称中心为,所以
（【大招40】定理2）,
将变为得,变形得 ；
由A知,,结合已知, ,
即,令,得 ；
的图象可由 的图象向左平移1个单位长度后,
. .
再向下平移2个单位长度得到,
由的图象关于点中心对称知,的图象关于点 中心对称,
即 为奇函数；
由,用替换,得 ,即
, .
令,定义域为,所以,所以 为偶函数.
坑神有话说
函数的对称性:
若,则函数的图象关于点 中心对称；
若,则函数的图象关于直线 对称.
能力觉醒
1.（2025四川期中）若函数的部分图象如图所示,则
的解析式可能是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 根据函数图象的对称性可知 为奇函数,
不是奇函数,故排除A; 可取0,故排除B；
,故排除D.
2.（2025江西景德镇统考）大招39已知是定义在 上的奇函数,设函数
的最大值为,最小值为,则 ( )
A
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】 ( 的奇偶性不易判断,考虑
分离常数),令,因为是奇函数,所以 ,
所以,所以函数 是奇函数,
所以函数的最大值为,最小值为 ,由奇函数的性质可得,
,故 .
. .
3.（2025福建宁德检测）已知函数的图象关于点 对称,则下列函数
是奇函数的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为函数的图象关于点 对称,
所以将函数图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,可以得到函数
的图象,其图象关于原点对称,即 的图象关于原
点对称,函数为奇函数.
4.（2024陕西西安交大附中月考）已知函数 在其定义域内为偶函数,且
,则 ( )
A
A. B. C.2 024 D.0
【解析】 因为为偶函数,所以,所以 ,
所以,且不恒为0,则,.又因为,所以,所以 ,则
,又因为 （不容易求出每一项的函数值,可先观察互为倒数项的函
数值的关系） ,所以
.
. .
5.（2025山东日照检测）定义在上的函数满足以下条件: ；
②对任意,,当时都有 .则,, 的大小
关系是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 因为定义在上的函数满足条件 ,
所以函数 是偶函数,
对任意,,当时都有 ,
所以不妨设,则有 ,
因此时,函数单调递增,因为函数 是偶函数,
所以,,因为时,函数 是增函数,
所以,即 .
6.（多选/2025河北部分学校联考）已知函数 下列命题为真命题
的是( )
AC
A.若是奇函数,则
B.若是奇函数,则
C.若是减函数,则的取值范围为
D.若是减函数,则的取值范围为
【解析】 当时,, .
若是奇函数,则,解得 ,
当时,时,, ,
也满足 是奇函数；
若是减函数,则,解得 .
7.（多选/2024重庆八中期末）大招42已知是定义在 上的不恒为零的函数,且
,则下列说法正确的是( )
ACD
A.若对任意,,总有,则 是奇函数
B.若对任意,,总有,则 是偶函数
C.若对任意,,总有,则
D.若对任意,,总有,则
【解析】 对任意,,总有,令得 ；令
得,所以 ；
令得,所以 ；
令得,所以 是奇函数.
对任意,,总有,令得 ；
令得,所以 是奇函数.
对任意,,总有,由A选项分析知 ,
令,得,又因为 ,
所以 .
对任意,,总有,由B选项分析知且 为奇函数,
令得 ,
令,得,所以 ；
令,得 ；
令,得,所以 ,
所以 .
8.（2024河南郑州外国语学校期末）已知函数为奇函数,,若 与
的图象仅有四个交点,分别为,,,,则
___.
0
【解析】 函数的定义域为 ,关于原点对称,
又因为,所以函数是定义域为 的奇
函数,所以的图象关于原点对称,又因为函数为奇函数,则 的图象也关于
原点对称,
不妨设 ,
则,关于原点对称,, 关于原点对称,
所以 .
9.（2024黑龙江哈尔滨三中期末）大招40设是定义在 上的奇函数,
对任意的,满足,且,则不等式 的解
集为 ________________.
【解析】 设, ,
而是定义在上的奇函数,即 ,
故,即 为偶函数.
对任意的,,不妨设,则 ,
又对任意的,满足 ,
当时,,则,即 ,
而,故,所以 ,
则在 上单调递减,
又因为为偶函数,所以在 上单调递增,
又,故,则 ,
不等式,即或(对结构变形时注意对 的正负分情况
讨论)
即或
故或,即不等式的解集为 .
. .
10.（17分）（2025北京首师大附中月考）大招40已知函数 .
（1） 证明:函数 是奇函数；
【答案】 由函数,可得其定义域为
,关于原点对称,（1分）
又因为 ,（4分）
所以函数为定义域 上的奇函数.（5分）
（2） 用定义证明:函数在 上单调递增；
【答案】 当时, ,
任取,,且 ,（6分）
可得 .（8分）
因为,,且,可得, ,
所以,即 ,（10分）
所以函数在 上单调递增.（11分）
（3） 若关于的不等式对于任意实数恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】 因为函数为定义域上的奇函数,且在 上单调递增,
所以函数在 上单调递增,
又因为,所以函数在 上是增函数,（12分）
又由,可得 ,
（13分）
因为不等式对于任意实数 恒成立,
即不等式对于任意实数 恒成立,
可得不等式对于任意实数 恒成立,
即不等式对于任意实数 恒成立,（14分）
当时,不等式 恒成立,符合题意；（15分）
当时,则满足解得 .（16分）
综上,实数的取值范围为 .（17分）
素养觉醒
1. （2024广东惠州检测）如图1
是惠州市风景优美的金山湖片区地图,其形
状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个
“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的
图象构成,则“心形”在 轴上方部分对应的函
数解析式可能为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 由图可知,“心形”关于 轴对称,所
以“心形”在 轴上方部分对应的函数为偶函
数,
则函数 和
都不满足,故排除B,D；
的图象过点, ,
,
且 时,
,当且仅当
时,等号成立,
即函数 的最大值为2,又“心形”
在 轴上方部分对应的函数的最大值为1,故
排除A；
由的图象过点 ,
, ,且 时,
,
当 时,等号成立,即函数
的最大值为1,满足题意.
2. （2025辽宁大连王府高级中学月考）设函数的定义域为,如果 ,
都有,满足,那么函数的图象称为关于点 的中心
对称图形,点就是其对称中心.如果,且,使得 ,满足
,那么函数的图象称为关于点 的弱中心对称图形,点
就是其弱对称中心.
【答案】 求解此类问题,只需根据所给新定义套定义即可.
（1） 若函数的图象是关于点的中心对称图形,求实数 的值；
【答案】 由,解得 .
（2） 判断函数 的图象是否为关于原点的弱中心对称图形,并说明理由；
【答案】 函数 的图象不是关于原点的弱中心对称图形.
理由如下:假设,使得（反证法）,解得 ,与
矛盾,
所以函数 的图象不是关于原点的弱中心对称图形.
当时,,对于任意的 ,都有
,
所以函数的图象是关于点 的中心对称图形,
故 .
. .
（3） 若函数的图象是弱中心对称图形,且弱对称中心为 ,求
实数 的取值范围.
【答案】 由题意可知,存在,且,使得 ,
当时,,则 ,
所以 ,
又知对勾函数在 上单调递增,所以
,
所以 ；
当时,,则 不成立；
当时,,则 ,
所以 ,
令,,则在上单调递增,所以 ,
所以 .
综上可知,实数的取值范围为 .