3.4 函数的应用（一）（题型解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

(共34张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
题型觉醒
题型一 二次函数模型
1.（2025合肥八中期中）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触
目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却
在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度
（单位:米）与时间（单位:秒）之间的关系式为 ,则烟花在冲击后爆
裂的时刻是( )
A
A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒
【解析】 由题意,
,则当时,
取最大值，即烟花达到最高点,爆裂的时刻是第4秒.
2.（2025广东深圳期中）甲、乙两城相距,在两城之间距甲城 处的丙地建一
核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上）,为保证城市安全,核电站距两
城的距离不少于.已知各城供电费用（元）与供电距离 的平方和供电量
（亿千瓦时）之积都成正比,比例系数均是 ,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城
供电量为10亿千瓦时/月.（1）月供电总费用（元）与 的函数关系式为_________
____________________________；（2）月供电总费用最小为______元.
,
【解析】 （1）由题意知, ，经化简得
,定义域为 .
（2）将（1）中函数配方为 ,
所以当,即核电站距甲城时,月供电总费用最小,为 元.
3.（2025辽宁沈阳一中期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台
的收入（单位：元）函数为 ,其成本（单位：元）函数为
,利润是收入与成本之差.
（1） 求利润函数及利润函数 的最大值；
【答案】 由题意知,, ,
,
所以当或时, 取得最大值,为74 120 元.
所以利润函数, 的最大值为74 120 元.
（2） 为了促销,如果每月还需投入500元的宣传费用,设每台产品的利润为,求
的大值及此时 的值.
【答案】 依题意,得
,
当且仅当,即 时等号成立.
所以当时,每台产品的利润 取得最大值，为1 900元.
题型二 分段函数模型
4.（2025江苏南京期中统考）学校宿舍与办
公室相距 .某同学有重要材料要送交给老
师,从宿舍出发,先匀速跑步 来到办公室,
停留,然后匀速步行 返回宿舍.在
这个过程中,这位同学行进的速度
和行走的路程 都是时间
的函数,则速度函数和路程函数的示意图分
别是下面四个图象中的( )
A
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
【解析】 由题可知,
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图
象分别为①②.
5.（2025广东揭阳检测）某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：如果顾客选购物品的总
金额不超过1 000元,则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元,
则超过1 000元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元部分
超过500元的部分
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元,则他实际所付金额为_______元.
1 610
【解析】 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当
时,；当时, ,令
,得,解得 ,不符合题意.
当 时,
,令 ,所以
,解得,符合题意,所以他实际所付金额为
（元）.
6.（2024湖南衡阳一中月考）长沙市地铁8号线项目正在进行中,通车后将给市民带来便
利.该线路通车后,列车的发车时间间隔（单位：分）满足 ,经市场调研测算,
列车载客量与发车时间间隔相关,当 时,列车处于满载状态,载客量为600人,
当时,载客量会减少,减少的人数与 成正比,且发车时间间隔为2分钟时
的载客量为280人,记列车载客量为 .
（1） 求 的表达式,并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量.
【答案】 显然当时, ,
当时,设 ,
当时,,即,解得 ,
故 ,
故
当时, ,故当发车时间间隔为5分钟时,载客量为475
人.
（2） 若该线路每分钟的净收益（单位：元） ,则当发车时间
间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.
【答案】 由（1）知
当时, ,
当且仅当,即时,等号成立,故此时 ；
当时,单调递减,故此时 .
由于,故当时, ,
即当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收益最大,且最大值为1 400元.
能力觉醒
1.（2024广东河源期中）在一般情况下,过江大桥上的车流速度 （单位：千米/时）是车
流密度 （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时
车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为90千米/时；研究表明,当
时,车流速度是车流密度的一次函数.设当车流密度 时,车流量
（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/时） 可以达到最大.则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知,则当时, ,当
时,,即解得 故
,
当时,的最大值为 ；
当时, ,此
时的最大值为 .
因为,所以, .
2.（2025广东联考）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件,购物节期间这家店铺对
该商品进行促销,顾客支付款不超过100元的部分按照 返现,超过100元的部分按照
返现.若促销活动期间在该店铺购买 件商品,所需费用（支付款减去返现）
为元,则时, _________.
【解析】 因为当时, 元,所以
.
3.（2025江西南昌检测）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备,并立即投入使
用,使用该设备后,每年的总收入预计为50万元.设使用 年后该设备的维修、保养费用为
万元,盈利总额为万元.（1）与 之间的函数关系式为_____________
_________________；
（2）从第___年开始,使用该设备开始盈利.
,
3
【解析】 （1）由已知可得,, .
（2）当 时,开始盈利,
即,整理可得,解得 .
又因为,所以 ,即从第3年开始盈利.
4.（2025云南昭通期中）甲、乙两地相距1 000千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽
车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度
（千米/时）的平方成正比,比例系数为 ,固定部分为720元.为使全程运输成本最小,汽车
的速度是____千米/时.
60
【解析】 已知汽车速度为千米/时,设运输成本为 元，由题意得
,由对勾函数的性质可知, 在
上单调递减,在上单调递增,所以当 时,运输成本最小.
5.（2024山西太原外国语学校检测）某城市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法
计算用户的水费.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 3元/
超过但不超过 的部分 6元/
超过 的部分 9元/
（1） 设每户每月用水量为时,应交纳水费元,写出关于 的函数关系式；
【答案】 依题意,当时,;当 时,
;当时, .
故关于 的函数关系式为
（2） 若某同学家本月交纳的水费为60元,则其本月用水量是多少？
【答案】 因为,所以本月用水量应在至之间,由 ,解
得,即该同学家本月用水量为 .
6.（2024四川成都阶段练习）党的二十大报告明确要求完善中国特色现代企业制度,弘扬
企业家精神,加快建设世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革,现在准备从单一产品
转为生产,两种产品,根据市场调查与市场预测,生产 产品的利润与投资成正比,其关系
如图1；生产 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2（注：所示图中的横
轴表示投资金额,纵轴表示利润,单位均为万元）.
（1） 分别求出生产, 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
【答案】 设投资为万元,产品的利润为万元,产品的利润为 万元,
由题意设, ,
由题图1知,故,由题图2知,所以 .
从而, .
（2） 该企业已筹集到12万元资金,并全部
投入, 两种产品的生产,问：怎样分配这12
万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利
润是多少？
【答案】 设产品投入万元,则产品投入万元,设企业利润为 万元,
则,令 （换元法脱根
号）,则,,所以 ,
当时,,此时 .
故产品投入8万元, 产品投入4万元,才能使企业获得最大利润,最大利润是8万元.
. .
7.（2025海南六校联考）在一个实验中,发现某个物体离地面的高度 （单位：米）随时
间（单位：秒）的变化规律可表示为
（1） 当, 时,若此物体的高度不低于4米,则能持续多长时间？
【答案】 当,时,
由题意可知: ,
若,则,解得 ；
若,则,解得 .
综上所述: ,
所以若此物体的高度不低于4米,则能持续的时间为 （秒）.
（2） 当且仅当时,此物体达到最大高度,为6米,求实数, 满足的条件.
【答案】 令,解得,可得 ,
易知在 上单调递增,
由题意可得:当时,,解得 ；
且在内恒成立,则解得 .
综上所述,, .
8.（2024武汉新洲一中期中）如图1,腰长为的等腰直角与矩形 夹在两条
平行直线之间,其中点与点重合.若矩形位置固定不动,而以 的速
度向右平行移动,移动过程中两图形重叠部分的面积记为,函数 的部分图象如图2
所示,其中 的函数图象被遮住,由虚线代替.
（1） 求函数 的解析式；
【答案】 依题意得,的长应为与 重
合至与 重合时的运动路程,
故 .
当时, ；
当时, ；
当时, ；
当时, ,
所以
（2） 求重叠部分的面积不小于 的持续时间.
【答案】 若,结合函数的解析式,只需考虑 .
当时,由,解得 ；
当时, 成立；
当时,由,解得 ,
所以重叠部分的面积不小于的时间区间为 ,持续时间为3秒.
素养觉醒
1.已知某工厂设计一个零件部件,要求从圆形铁片上进行裁剪,部
件由6个全等的等腰三角形和一个正六边形构成,其中 是圆心,也
是正六边形的中心.如图,设正六边形边长 ,等腰三角
形的腰,要求,该部件的面积为 .
（1） 求关于的关系式,并求出 的取值范围；
【答案】 如图,连接,,取的中点,连接 并延长到
.
因为,等腰三角形的腰 ,又等腰三角形三线
合一得 ,
所以等腰三角形边上的高 ,
则该部件的面积为 ,变形可得
,
所以 .
因为,所以,即 ,解得
,
由,解得 ,
故关于的关系式为, .
（2） 请问当 取何值时,该部件的周长取最小值,并求出此时该圆形铁片的面积.
【答案】 该部件的周长
() ,
当且仅当,即时,等号成立,满足 ,此时
,
易知 ,
此时该圆形铁片的半径
,
则该圆形铁片的面积为 .
故当时,该部件的周长取最小值,此时该圆形铁片的面积为 .
. .