第三章 函数的概念与性质（考向解析练习含答案）数学人教A版必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
真题觉醒
考向一 函数的概念
1.（2022上海）下列幂函数中,定义域为 的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 选项A中函数的定义域为,选项B中函数的定义域为 ,
选项C中函数的定义域为,选项D中函数的定义域为 ,故选C.
2.（2022 上海）设函数满足,定义域为,值域为 ,若集合
,可取得中所有值,则实数 的取值范围为_ __________.
【解析】 令,得或（舍去）,当时, ,
当时,, 对于上任意的,在上都存在 ,使
得,,即, 实数的取值范围为 .
由题意可得,对任意,,结合得,对任意 ,
恒成立,即对任意, 恒成立,
即对任意,恒成立,得 .
考向二 函数的基本性质
3.（2022 天津）函数 的图象大致为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 记,则对任意的 ,都有
,故是奇函数,所以 的图象关于原点对
称,故排除选项C,D.因为,所以当时,,当时, ,故排
除选项B.
4.（2024新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为,,且当
时, ,则下列结论中一定正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 赋值法.因为当时,,所以, .对于
,令,得；令 ,得
；依次类推,得 ；
； ；
； ；
； ；
； ；
；
；….显然,所以 ,故
选B.
5.（2022 全国乙卷）已知函数,的定义域均为,且 ,
.若的图象关于直线对称,,则 ( )
附注： .
D
A. B. C. D.
【解析】 因为的图象关于直线对称,所以 .
由,得,所以 .
因为,所以 .
由,得,于是 ,
即 是以4为周期的周期函数.
由和,得,故 .
由和,得,故 .
由,得,故 .
由,得,故 .
于是 .
因为的图象关于直线对称,所以,则 .
因为 ①,所以,则 .
因为,所以 ②,则 .
因此,即 是以
4为周期的周期函数.
由①②得 .
于是
.
6.（2022 上海）若函数为奇函数,则实数 的值为___.
1
【解析】 若,则,故,.因为 为奇函数,所以
,即,令对应项系数相等,得解得 .
因为为奇函数,且定义域为,所以,即 ,解得
或,,即,解得或.故 .经
检验 符合题意.
7.（2022 北京）设函数若存在最小值,则 的一个取值为
_________________; 的最大值为___.
0（答案不唯一）
1
【解析】 当时,函数存在最小值0,所以 的一个取值可以为0.
当时,若,则,此时函数 不可能存在最小值；
当时,若,则,此时,若 ,则
,若函数存在最小值,则,解得 ；
当时,若,则,此时,若 ,则
,若函数存在最小值,则 ,此时不
等式无解.
综上,,所以 的最大值为1.
8.（2022 浙江）已知函数则___;若当 时,
,则 的最大值是_______.
【解析】 由题意知 ,则
.作出函数 的
图象,如图所示,
结合图象,令,解得或,令 ,
解得或,又因为,所以 ,所
以 .
强基自招
1.（2024第四届英才杯数学竞赛）当,,取得最小值时, 的
值为( )
A
A. B. C. D.
分别作出,, 的图象,找到取得最小值时所
对应的点,建立方程求解即可.
【解析】 分别作出,, 的图象,
根据,, ,（求最大值,各段区间上的只留最上方图象,同样,求
最小值只留最下方的）
. .
如图.
由图象可得取得最小值时,点为,即为和
的交点,
,解得, ,
由图可知点在第二象限,所以的值为 .
2.（2024全国联赛江苏初赛）已知函数是定义在 上的偶函数,若函数
在上单调递增,则不等式
的解集为_________.
【解析】 不等式可变形为,即 ,
,解得 .
3.（2023全国联赛福建预赛）已知函数的定义域为,且 为奇函数,
为偶函数.若,则 的值为_______.
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【解析】 由为奇函数,得 ,即
,所以,的图象关于点 对称.
由为偶函数,得,即 ,所以
,所以的图象关于直线 对称.
的周期为 .
因此,, ,
, ,
所以 .
4.（2024全国联赛北京预赛）已知函数
则函数在区间 上的最大
值为___.
【解析】 若为有理数,且 ,
设 ,
由,知则 ,
①当时, 不存在；
②当时,存在唯一的,此时, ；
③当时,设,其中,且 ,
此时 ,
因为 ,
所以若为有理数,则时,取最大值 ；
若为无理数,且时, .
综上可知,在区间上的最大值为 .